1、1第 4 章 平面向量 第 1 讲A 组 基础关1设 a 是非零向量， 是非零实数，下列结论中正确的是( )A a 与 a 的方向相反 B a 与 2a 的方向相同C| a| a| D| a| |a答案 B解析 因为 0，所以 20，所以 2a 与 a 方向相同，故 B 正确；A 错误，当 0 时， a 与 a 方向相同；C 错误，当| |(0,1)时，| a|a|；D 错误，| a|是实数，| |a 是向量，不能比大小2下列四项中不能化简为 的是( )AD A. MB AD BM B( )( )MB AD BC CM C( )AB CD BC D. OC OA CD 答案 A解析 A 不能，
2、 2 ；MB AD BM MB MB AD MB AD B 能，( )( ) ；MB AD BC CM MB AD BM MB BM AD AD C 能，( ) ；AB CD BC AB BC CD AD D 能， .OC OA CD AC CD AD 3(2018威海模拟)设 a， b 不共线， 2 a pb， a b， a2 b，若AB BC CD A， B， D 三点共线，则实数 p 的值为( )A2 B1 C1 D2答案 B解析 ( a b)( a2 b)2 a b.BD BC CD 若 A， B， D 三点共线，则 ，所以存在实数 ，使 ，即AB BD AB BD 2a pb (2a
3、 b)又因为 a， b 不共线，所以Error!解得 p1.4已知点 O， A， B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2 2 ，则( )OP OA BA 2A点 P 在线段 AB 上B点 P 在线段 AB 的反向延长线上C点 P 在线段 AB 的延长线上D点 P 不在直线 AB 上答案 B解析 因为 2 2 ，所以 2 ，所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上，故选OP OA BA AP BA B.5已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A， C)，则 ( )AP A ( )， (0,1)AB AD B ( )， AB BC (0， 22)C (
4、 )， (0,1)AB AD D ( )， AB BC (0， 22)答案 A解析 根据向量的平行四边形法则，得 .因为点 P 在对角线 AC 上(不包括端AC AB AD 点 A， C)，所以 与 共线，所以 ( )， (0,1)，故选 A.AP AC AP AC AB AD 6如图，在直角梯形 ABCD 中， AB2 AD2 DC， E 为 BC 边上一点， 3 ， F 为 AEBC EC 的中点，则 ( )BF A. B. 23AB 13AD 13AB 23AD C D 23AB 13AD 13AB 23AD 答案 C解析 BF BA AF BA 12AE AB 12(AD 12AB C
5、E ) AB 12(AD 12AB 13CB )3 ( )AB 12AD 14AB 16CD DA AB .23AB 13AD 7设 O 在 ABC 的内部， D 为 AB 的中点，且 2 0，则 ABC 的面积与OA OB OC AOC 的面积的比值为( )A3 B4 C5 D6答案 B解析 D 为 AB 的中点，则 ( )，OD 12OA OB 又 2 0，OA OB OC ， O 为 CD 的中点OD OC 又 D 为 AB 的中点， S AOC S ADC S ABC，12 14则 4.S ABCS AOC8给出下列四个命题：若 a b 与 a b 是共线向量，则 a 与 b 也是共线
6、向量；若| a| b| a b|，则 a 与 b 是共线向量；若| a b| a| b|，则 a 与 b 是共线向量；若| a| b| a| b|，则 b 与任何向量都共线其中为真命题的有_(填上序号)答案 解析 由向量的平行四边形法则可知，若 a b 与 a b 是共线向量，则必有 a 与 b也是共线向量，所以是真命题；若| a| b| a b|，则 a 与 b 同向，或 b 是零向量，或 a， b 均为零向量，所以 a 与 b 是共线向量，所以是真命题；若| a b| a| b|，则 a 与 b 方向相反，或 a， b 中至少有一个零向量，所以 a 与 b 是共线向量，所以是真命题；当 a
7、 是零向量， b 是非零向量时，| a| b| a| b|成立，而 b 不能与任何向量都共线，所以是假命题9(2019青岛质检)已知 D， E， F 分别为 ABC 的边 BC， CA， AB 的中点，且 a，BC 4 b，给出下列命题：CA a b； a b； a b； 0.AD 12 BE 12 CF 12 12 AD BE CF 其中正确命题的序号为_答案 解析 a b，所以错误；AD CD CA 12BC CA 12 a b，故正确； ( ) (b a) a b，故正BE BC CE BC 12CA 12 CF 12CA CB 12 12 12确；综上知 a b) 0，故正确AD BE
8、 CF 12 (a 12b) ( 12a 12b)10已知向量 a， b 不共线，且 c a b， d a(2 1) b，若 c 与 d 共线反向，则实数 _.答案 12解析 由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 c kd(k0)，于是 a b ka(2 1) b整理得 a b ka(2 k k)b.由于 a， b 不共线，所以有Error!整理得 2 2 10，解得 1 或 .12又因为 k0，所以 0，故 .12B 组 能力关1已知点 O 为 ABC 的外接圆的圆心，且 0，则 ABC 的内角 A 等于( )OA OB OC A30 B60 C90 D120答案 A解析 因为 0
9、，OA OB OC 所以 .OC OA OB 所以四边形 OACB 是平行四边形，又因为| | | |，OA OB OC 所以四边形 OACB 是菱形， OAC 是等边三角形所以 BAC OAC30.1252在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 3 ，点 O 在线段 CD 上(与点BC CD C， D 不重合)，若 x (1 x) ，则 x 的取值范围是( )AO AB AC A. B.(0，12) (0， 13)C. D.(12， 0) ( 13， 0)答案 D解析 设 y ，CO BC y y( )AO AC CO AC BC AC AC AB y (1 y) .AB AC
10、 3 ，点 O 在线段 CD 上(与点 C， D 不重合)，BC CD y ，(0，13) x (1 x) ，AO AB AC x y， x .(13， 0)3设 D， E， F 分别是 ABC 的边 BC， CA， AB 上的点，且2 ， 2 ， 2 ，则 与 ( )DC BD CE EA AF FB AD BE CF BC A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直答案 A解析 因为 2 ，所以 ，则 ，同理DC BD BD 13BC AD BD BA 13BC BA ， ，则 ，即 与 反向平行，故选BE 13BC 23BA CF 13BA BC AD BE CF 13BC A
11、D BE CF BC A.4如图，直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB， AD 分别交于 E， F 两点，且交其对角线于 K，其中， ， ， ，则 的值为( )AE 25AB AF 12AD AK AC 6A. B. C. D.29 27 25 23答案 A解析 因为 ， ，AE 25AB AF 12AD 则 ， 2 ，AB 52AE AD AF 由向量加法的平行四边形法则可知 ，AC AB AD 所以 ( ) 2 ，由 E， F， K 三点共线可AK AC AB AD (52AE 2AF ) 52 AE AF 得 2 1，所以 .52 295(2018南宁模拟)已知 e1， e2
12、是不共线向量， a me12 e2， b ne1 e2，且mn0，若 a b，则 _.mn答案 2解析 a b， a b，即 me12 e2 (ne1 e2)，则Error!故 2.mn6已知点 M 是 ABC 所在平面内的一点，若点 M 满足| |0 且 SAM AB AC ABC3 S ABM，则实数 _.答案 3解析 如图，设 D 为 BC 的中点，则 2 ，AB AC AD 因为| |0，AM AB AC 所以 0，AM AB AC 所以 2 .AM AB AC AD 于是 A， M， D 三点共线，且 ，|AM |AD | 2| |又 S ABC3 S ABM，所以 .S ABMS ABC 137又因为 S ABD S ABC，12且 ，S ABMS ABD|AM |AD | 2| |所以 ，解得 3.13 S ABM2S ABD 12 2| |
