1、1第 6 章 不等式 第 3 讲A 组 基础关1已知 a0， b0， a， b 的等比中项是 1，且 m b ， n a ，则 m n 的最小值是1a 1b( )A3 B4 C5 D6答案 B解析 由题意知 ab1， m b 2 b， n a 2 a， m n2( a b)1a 1b4 4，当且仅当 a b 1 时取等号，故 m n 的最小值为 4.ab2已知 p a ， q x22 ，其中 a2， xR，则 p， q 的大小关系是( )1a 2 (12)A p q B p q C p q D p q答案 A解析 由 a2，故 p a ( a2) 2224，当且仅当 a3 时取等1a 2 1a
2、 2号因为 x222，所以 q x22 2 4，当且仅当 x0 时取等号，所以 p q.(12) (12)故选 A.3(2018武汉模拟)下列命题中正确的是( )A函数 y x 的最小值为 21xB函数 y 的最小值为 2x2 3x2 2C函数 y23 x (x0)的最小值为 244x 3D函数 y23 x (x0)的最大值为 244x 3答案 D解析 对于 A，当 x1 时， y2，故 A 不正确；对于 B， y 2，x2 3x2 2 x2 2 1x2 2当且仅当 时取等号，此时无解x2 21x2 2故最小值不为 2，B 不正确；对于 C，D，因为 x0，所以 3x 2 4 ，4x 3x4x
3、 3当且仅当 3x 时等号成立，则 2 24 ，故 C 不正确，D 正确4x (3x 4x) 34已知 a0， b0，且 a2 b8，那么 ab 的最大值等于( )A4 B8 C16 D322答案 B解析 a0， b0，且 a2 b8，则 ab a2b 2 168，当且仅当12 12 (a 2b2 ) 12a2 b4 时取得等号则 ab 的最大值为 8.5函数 f(x)log m(x1)1( m0 且 m1)过定点 P，已知直线ax by10( a0， b0)过定点 P，则 的最小值为( )1a 1bA5 B4 C3 D32 2答案 D解析 函数 f(x)log m(x1)1 过定点 P(2,
4、1)，代入直线 ax by10( a0， b0)的方程可得 2a b10，所以 2a b1，可知 3 321a 1b 2a ba 2a bb ba 2ab32 ，当且仅当 b a 时，取等号，所以最小值为 32 .故选 D.ba2ab 2 2 26若正数 a， b 满足 1，则 的最小值为( )1a 1b 1a 1 9b 1A1 B6 C9 D16答案 B解析 正数 a， b 满足 1， b 0，解得 a1，同理 b1，1a 1b aa 1 9( a1)2 6，当且仅当1a 1 9b 1 1a 1 9aa 1 1 1a 1 1a 19 a 19( a1)，即 a 时等号成立，最小值为 6.1a
5、 1 437(2018河南平顶山一模)若对任意 x0， a 恒成立，则 a 的取值范围是xx2 3x 1( )A a B a C a D a15 15 15 15答案 A解析 因为对任意 x0， a 恒成立，xx2 3x 1所以对 x(0，)， a max，(xx2 3x 1)而对 x(0，)， ，xx2 3x 1 1x 1x 3 12x1x 3 15当且仅当 x1 时等号成立， a .故选 A.1538设 a0， b0， a b ，则 3a81 b的最小值为_1a 1b答案 18解析 由 a b ， a0， b0，得 ab1.1a 1b a bab所以 3a81 b3 a3 4b2 3a34
6、b2 2 23a 4b 32a4b 32223 218，当且仅当 a4 b2 时等号成立9(2018湖南长郡中学月考)设正项等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S20174034，则 的最小值为_1a9 9a2009答案 4解析 由题意得 S20172017 a1 a20172 4034，所以 a9 a20094.2017 a9 a20092又 a90， a20090，所以 (a9 a2009)1a9 9a2009 14(1a9 9a2009) 14(10 a2009a9 9a9a2009) 14(10 2 a2009a99a9a2009)4.当且仅当 ，即 3 时等号成立，所以 的最小
7、值为 4.a2009a9 9a9a2009 a2009a9 1a9 9a200910(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_答案 30解析 一年的总运费为 6 (万元)600x 3600x一年的总存储费用为 4x 万元总运费与总存储费用的和为 万元(3600x 4x)因为 4 x2 240，当且仅当 4 x，即 x30 时取得等号，3600x 3600x4x 3600x所以当 x30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小B 组 能力关1(2018东北育才学
8、校模拟)设 (1，2)， ( a，1)， ( b,0)OA OB OC (a0， b0， O 为坐标原点)，若 A， B， C 三点共线，则 的最小值是( )2a 1b4A4 B. C8 D992答案 D解析 ( a1,1)， ( b1,2)，AB OB OA AC OC OA 若 A， B， C 三点共线，则有 ，AB AC ( a1)21( b1)0，2 a b1，又 a0， b0， (2a b)2a 1b (2a 1b)5 52 9，2ba 2ab 2ba2ab当且仅当Error!即 a b 时等号成立故选 D.132若正数 x， y 满足 4x29 y23 xy30，则 xy 的最大值
9、是( )A. B. C2 D.43 53 54答案 C解析 由 x0， y0，得 4x29 y23 xy2(2 x)(3y)3 xy(当且仅当 2x3 y 时等号成立)，12 xy3 xy30，即 xy2， xy 的最大值为 2.3(2019河北石家庄模拟)若 a， b 是正数，直线 2ax by20 被圆 x2 y24 截得的弦长为 2 ，则 t a 取得最大值时 a 的值为 ( )3 1 2b2A. B. C. D.12 32 34 34答案 D解析 因为圆心到直线的距离 d ，则直线被圆截得的弦长 L2 224a2 b2 r2 d22 ，所以 4a2 b24.则4 44a2 b2 3t
10、a (2 a) (2 a)2( )21 2b2122 2 1 2b2 122 12 2 1 2b2 8a212(44 a2) ，当且仅当Error!142 942时等号成立，此时 a ，故选 D.344(2018河北衡水中学调研)已知 ab， ax22 x b0 对于一切实数 x 恒成立，又x0R，使 ax 2 x0 b0 成立，则 的最小值为( )20a2 b2a bA1 B. C2 D22 2答案 D5解析 ax22 x b0 对一切实数 x 恒成立，Error!又 x0R，使 ax 2 x0 b0 成立，20 44 ab0，故只能 44 ab0，即 ab1. ( a b) 2 ，a2 b2a b a b 2 2aba b 2a b 2故选 D.5设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 C ， a b12，则 ABC 6面积的最大值为_答案 9解析 ab 236，当且仅当 a b6 时，等号成立， S(a b2 )ABC absinC 36 9.12 12 126若函数 f(x) (ag(3)， g(x)min ，173 3 ， a ，(x8x) 83 836故 a 的取值范围是 .83， )
