1、1模块综合检测(时间：90 分钟，总分 120分)一、选择题(本大题共 10小题，每小题 5分，满分 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1不等式|3 x2|4 的解集是( )A x|x2 B.Error!C.Error! D.Error!解析：选 C 因为|3 x2|4，所以 3x24 或 3x22或 xb，则下列不等式一定成立的是( )A a2b2 B. 0 D. ab，所以 a0，使不等式| x4| x3|1.6若关于实数 x的不等式| x1| x3| a22 a1 的解集为，则实数 a的取值范围是( )A(，1)(3，) B(，0)(3，)C(1,3) D1,3解
2、析：选 C | x1| x3|的几何意义是数轴上对应的点到 1,3对应的两点的距离之和，故它的最小值为 2.原不等式的解集为， a2 2a11， y1，所以 x ，y 8y 1所以 xy y ( y1) 10y 8y 1 y2 8yy 1 y 1 2 10 y 1 9y 1 9y 12 1016， y 1 9y 1当且仅当 y4 时等号成立二、填空题(本大题共 4个小题，每小题 5分，满分 20分把答案填写在题中的横线上)11. 3 的解集是_|2x 1x |解析： 3，|2x 1x |2 x1|3| x|.两边平方得 4x24 x19 x2，5 x24 x10，解得 x 或 x1.15所求不
3、等式的解集为Error!.答案：(，1) (15， )12若 x1.所以不等式的解集为 x|x1答案：1，)14设实数 a， b， c满足 a2 b3 c4， a2 b2 c2的最小值为_解析：由柯西不等式，得( a2 b2 c2)(122 23 2)( a2 b3 c)2，因为 a2 b3 c4，故 a2 b2 c2 ，87当且仅当 ，a1 b2 c3即 a ， b ， c 时取“” 27 47 67答案：87三、解答题(本大题共 4个小题，满分 50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12分)设函数 f(x) .|x 1| |x 2| a(1)当 a5 时，求
4、函数 f(x)的定义域；(2)若函数 f(x)的定义域为 R，试求 a的取值范围解：(1)由题设知：| x1| x2|50，在同一坐标系中作出函数y| x1| x2|5 的图象，可知定义域为(，23，)(2)由题设知，当 xR 时，恒有| x1| x2| a0，即| x1| x2| a.|x1| x2| x12 x|3， a3， a3. a的取值范围是3，)516(本小题满分 12分)设不等式20，所以|14 ab|24|a b|2，故|14 ab|2|a b|.17(本小题满分 12分)已知函数 f(x)| x1| x1|.(1)求不等式 f(x)3 的解集；(2)若关于 x的不等式 f(x
5、) a2 a在 R上恒成立，求实数 a的取值范围解：(1)原不等式等价于Error!或Error!或Error!解得 x 或 x或 x .32 32不等式的解集为Error!.(2)由题意得，关于 x的不等式| x1| x1| a2 a在 R上恒成立| x1| x1|( x1)( x1)|2， a2 a2，即 a2 a20，解得1 a2.实数 a的取值范围是1,218(本小题满分 14分)已知 f(n)1 ， g(n) ， nN .123 133 143 1n3 32 12n2(1)当 n1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小；(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明
6、解：(1)当 n1 时， f(1)1， g(1)1，所以 f(1) g(1)；当 n2 时， f(2) ， g(2) ，所以 f(2)g(2)；98 118当 n3 时， f(3) ， g(3) ，所以 f(3)g(3)251216 312216(2)由(1)猜想 f(n) g(n)，下面用数学归纳法给出证明6当 n1,2,3 时，不等式显然成立，假设当 n k(k3， kN )时不等式成立，即 1 .123 133 143 1k332 12k2那么，当 n k1 时，f(k1) f(k) .1 k 1 332 12k2 1 k 1 3因为 f(k1) g(k1) 32 12k2 1 k 1 3 32 12 k 1 2 12 k 1 212k2 1 k 1 3 0，k 32 k 1 3 12k2 3k 12 k 1 3k2所以 f(k1) g(k1)由可知，对一切 nN ，都有 f(n) g(n)成立
