1、113.1 量 词对 应 学 生 用 书 P12全称量词与全称命题观察下列命题：(1)对任意实数 x，都有 x5.(2)对任意一个 x(xZ)，3 x1 是整数问题：上述两个命题各表示什么意思？提示：(1)表示对每一个实数 x，必定有 x5； (2)对所有的整数 x,3x1 必定是整数全称量词和全称命题全称量词 所有、任意、每一个、任给符号表示 x 表示“ 对任意 x”全称命题 含有全称量词的命题一般形式 x M， p(x)存在量词和存在性命题观察下列语句：(1)存在一个实数 x，使 3x17.(2)至少有一个 xZ，使 x 能被 3 和 4 整除问题：上述两个命题各表述什么意思？提示：(1)
2、表示有一个实数 x，满足 3x17；(2)存在一个整数 Z，满足能被 3 和 4 整除存在量词和存在性命题存在量词 有一个、有些、存在一个符号表示 “x”表示“存在 x”存在性命题 含有存在量词的命题2一般形式 x M， p(x)1判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断2要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题3要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性
3、命题是假命题对 应 学 生 用 书 P12全称命题、存在性命题的判断例 1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题(1)若 a0 且 a1，则对任意 x， ax0；(2)对任意实数 x1， x2，若 x1sin x；(0， 2) xR,3 x0； x R，sin xcos x2； x R，lg x0.其中为真命题的是_(填入所有真命题的序号)解析：中，由于 x ，所以 sin x0,00，所以是真命题；中，函数 y3 x， xR 的值sin xcos x sin x(1 cos x)cos x域是(0，)，所以是真命题；中，函数 ysin xcos x sin ， xR2 (x 4)的值域是 ，
4、 ，又 2 ， ，所以是假命题；中，由于 lg 10，所以2 2 2 2是真命题答案：5判断下列全称命题的真假(1)所有的素数是奇数；(2)xR， x211；(3)对每一个无理数 x， x2也是无理数解：(1)2 是素数，但不是奇数所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题(2)xR x20 x211.所以，全称命题“ xR， x211”是真命题(3) 是无理数，但( )22 是有理数所以， “对每一个无理数 x， x2也是无理数”2 2是假命题6分别判断下列存在性命题的真假：(1)有些向量的坐标等于其起点的坐标；(2)存在 xR，使 sin xcos x2.解：(1)真命题设 A(x1， y
5、1)， B(x2， y2)，AB( x2 x1， y2 y1)，由Error!得Error!如 A(1,3)， B(2,6)，( x2 x1， y2 y1)(1,3)，满足题意(2)假命题由于 sin xcos x sin 的最大值为 ，2(22sin x 22cos x) 2 (x 4) 2所以不存在实数 x，使 sin xcos x2.1判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判6断2要判定全称命题“ x M， p(x)”是真命题，需要对集合 M 中每个元素 x，证明p(x)成立；如
6、果在集合 M 中找到一个元素 x0，使得 p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题3要判定存在性命题“ x M， p(x)”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x0，使 p(x0)成立即可；如果在集合 M 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在，那么这个存在性命题是假命题对应课时跟踪训练(五) 1下列命题：有的质数是偶数；与同一平面所成的角相等的两条直线平行；有的三角形的三个内角成等差数列；与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中是全称命题的是_，是存在性命题的是_(只填序号)解析：根据所含量词可知是全称命题，是存在性命题答案： 2下列命题中的假命题是_ xR,2 x1 0； xN
7、*，( x1) 20； x R，lg x0”为真命题，则实数 a 的取值范围是_解析：当 a0 时，不等式为 10，对 xR,10 成立当 a0 时，若 xR， ax2 2ax10，则Error! 解得 00)；(2)对任意非零实数 x1， x2，若 x1 x2，则 ；1x11x2(3) R，使得 sin( )sin ； 3(4)x R，使得 x210.解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题(1) zx0( z0)恒成立，命题(1)是真命题(2)存在 x11， x21， x1 x2，但 ；12(2) ， ，使 cos( )cos cos ；(3)x， yN，都有( x y) N；
8、(4)x， yZ，使 x y3.2解：(1)法一：当 xR 时， x2 x1 2 ，所以该命题是真命题(x12) 34 34128法二： x2 x1 x2 x 0，由于 14 112 12 12的解集是 R，所以该命题是真命题12(2)当 ， 时，cos( )cos cos cos ，cos 4 2 ( 4 2) ( 4) 4 22 cos cos cos 0 ，此时 cos ( )cos cos ，所以 4 2 22 22该命题是真命题(3)当 x2， y4 时， x y2N，所以该命题是假命题(4)当 x0， y3 时， x y3，即 x， yZ，使 x y3，所以该命题是真命2 2题8(1)对于任意实数 x，不等式 sin xcos xm 恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)存在实数 x，不等式 sin xcos xm 有解，求实数 m 的取值范围解：(1)令 ysin xcos x， xR. ysin xcos x sin(x ) .2 4 2又 xR，sin xcos xm 恒成立只要 mm 有解只要 m 即可2所求 m 的取值范围是(， )29
