1、1三 排序不等式1顺序和、乱序和、反序和设 a1 a2 an， b1 b2 bn为两组实数， c1， c2， cn为 b1， b2， bn的任一排列，称 a1b1 a2b2 anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn a2bn1 anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)称a1c1 a2c2 ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)2排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设 a1 a2 an， b1 b2 bn为两组实数， c1， c2， cn为 b1， b2， bn的任一排列，则有a1bn a2bn1 anb1 a1c1 a2c2 anc
2、n a1b1 a2b2 anbn，等号成立(反序和等于顺序和) a1 a2 an或 b1 b2 bn.排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和点睛 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小用 排 序 不 等 式 证 明 不 等 式 (所 证 不 等 式 ) 例 1 已知 a， b， c 为正数，且 a b c，求证： .a5b3c3 b5c3a3 c5a3b3 1a 1b 1c思路点拨 分析题目中已明确 a b c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可证明 a b0，于是 ，1a 1b又 c0，从而 ，1bc
3、 1ca同理 ，从而 .1ca 1ab 1bc 1ca 1ab又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a5b3c3 b5c3a3 c5a3b3 b5b3c3 c5c3a3 a5a3b3 b2c3 c2a3 a2b3( a2 b2 c2， 1c3 1b3 1a3)2 .c2c3 a2a3 b2b3 1c 1a 1b 1a 1b 1c原不等式成立利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组1已知 0 (sin 2 sin 2 sin 2 )12证明：0cos cos 0.sin cos sin cos sin cos sin
4、 cos sin cos sin cos (sin 2 sin 2 sin 2 )122设 x1，求证：1 x x2 x2n(2 n1) xn.证明： x1，1 x x2 xn.由排序原理得 12 x2 x4 x2n1 xn xxn1 xn1 x xn1即 1 x2 x4 x2n( n1) xn.又因为 x， x2， xn,1 为 1， x， x2， xn的一个排列，由排序原理得 1x xx2 xn1 xn xn11 xn xxn1 xn1 x xn1，即 x x3 x2n1 xn( n1) xn.将相加得 1 x x2 x2n(2 n1) xn.用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大
5、小顺序作出假设)例 2 设 a， b， c 为正数，求证： a10 b10 c10.a12bc b12ca c12ab3思路点拨 本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a， b， c 三个数的大小顺序，且 a， b， c 在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a b c，再利用排序不等式加以证明证明 由对称性，不妨设 a b c，于是 a12 b12 c12， ，1bc 1ca 1ab故由排序不等式：顺序和乱序和，得 .a12bc b12ca c12ab a12ab b12bc c12ca a11b b11c c11a又因为 a11 b11 c11， .1a 1b 1c再次
6、由排序不等式：反序和乱序和，得 .a11a b11b c11c a11b b11c c11a所以由得 a10 b10 c10.a12bc b12ca c12ab在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系3设 a， b， c 都是正数，求证： a b c.bca cab abc证明：由题意不妨设 a b c0，由不等式的单调性，知 ab ac bc， .1c 1b 1a由排序不等式，知 ab ac bc1c 1b 1a ab ac bc a c b，1b 1a 1c即 a b c.bca cab abc4设 a1
7、， a2， a3为正数，求证： a1 a2 a3.a1a2a3 a2a3a1 a3a1a2证明：不妨设 a1 a2 a30，于是 ， a2a3 a3a1 a1a2，1a1 1a2 1a3由排序不等式：顺序和乱序和得4 a2a3 a3a1 a1a2a1a2a3 a3a1a2 a2a3a1 1a2 1a3 1a1 a3 a1 a2.即 a1 a2 a3.a1a2a3 a2a3a1 a3a1a21有两组数：1,2,3 与 10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是( )A100,85 B100,80C95,80 D95,85解析：选 B 由顺序和与反序和的定义可知顺序和为 100，反序和为 80.
8、2若 00，则 lg alg blg c，据排序不等式有：alg a blg b clg c blg a clg b alg c，alg a blg b clg c clg a alg b blg c，以上两式相加，再两边同加 alg a blg b clg c，整理得3(alg a blg b clg c)( a b c)(lg alg blg c)，即 lg(aabbcc) lg(abc)，a b c3故 aabbcc( abc) .a b c39某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投 m 分钟，第二人投 n分钟，第三人投 p 分钟，某班级三名运动员 A， B， C 每分钟能投进的次数分别为6a， b， c，已知 m n p， a b c，如何派三人上场能取得最佳成绩？解： m n p， a b c，且由排序不等式知顺序和为最大值，最大值为 ma nb pc，此时分数最高，三人上场顺序是 A 第一， B 第二， C 第三10已知 00，1a b 1c a 1b c又 0a2 b2 c2，所以 是顺序和， 是乱序和，c2a b b2a c a2b c a2a b b2b c c2c a由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，即不等式 成立c2a b b2a c a2b c a2a b b2b c c2c a
