1、121.1 椭圆及其标准方程预习课本 P3236，思考并完成以下问题 1平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？2椭圆的标准方程是什么？新 知 初 探 1椭圆的定义平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距点睛 定义中的条件 2a|F1F2|0 不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的否则：当 2a| F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2；当 2ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2图 形焦点坐标 ( c,0)，( c,0) (0， c)
2、，(0， c)a， b， c 的关系c2 a2 b2点睛 椭圆的标准方程的特征2(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴或 y 轴上(2)代数特征：方程右边为 1，左边是关于 与 的平方和，并且分母为不相等的正值.xa yb小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆( )(2)已知椭圆的焦点是 F1， F2， P 是椭圆上的一动点，如果延长 F1P 到 Q，使得|PQ| PF2|，则动点 Q 的轨迹为圆( )(3)方程 1( a0， b0)表示的曲线是椭圆( )x2a2 y2b2答案：(1) (2) (
3、3)2若椭圆 1 的一个焦点坐标为(1,0)，则实数 m 的值为( )x25 y2mA1 B2 C4 D6答案：C3设 P 是椭圆 1 上的点，若 F1， F2是椭圆的两个焦点，则| PF1| PF2|等于( )x225 y216A4 B5 C8 D10答案：D4若椭圆的焦距为 6， a b1，则椭圆的标准方程为_答案： 1 或 1x225 y216 y225 x216求椭圆的标准方程典例 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(4,0)，(4,0)，椭圆上一点 P 到两焦点距离的和等于 10；(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点 ；(
4、32， 52)(3)椭圆的焦点在 x 轴上， a b21， c .6解 (1)椭圆的焦点在 x 轴上，故设椭圆的标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b22 a10， c4， b2 a2 c29.椭圆的标准方程为 1.x225 y293(2)椭圆的焦点在 y 轴上，故设椭圆的标准方程为 1( ab0)y2a2 x2b2由椭圆的定义，知 2a ( 32 0)2 (52 2)2 2 ，( 32 0)2 (52 2)2 3102 102 10 a .10又 c2， b2 a2 c21046.椭圆的标准方程为 1.y210 x26(3) c ， a2 b2 c26.6又由 a b21，得 a2 b，
5、代入得 4b2 b26， b22， a28.又椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆的标准方程为 1.x28 y22确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定 a2， b2的具体数值，常根据条件列方程求解 活学活用求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2， )， ；2 ( 1，142)(2)过点( ， )，且与椭圆 1 有相同的焦点3 5y225 x29解：(1)法一：(分类讨论法)若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b2由已知条件
6、得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 1( ab0)由已知条件得Error!解得y2a2 x2b2Error!则 a2b0 矛盾，舍去4综上，所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为 Ax2 By21( A0， B0， A B)将两点(2， )， 代入，得Error!解得Error!2 ( 1， 142)所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24(2)因为所求椭圆与椭圆 1 的焦点相同，所以其焦点在 y 轴上，且y225 x29c225916.设它的标准方程为 1( ab0)y2
7、a2 x2b2因为 c216，且 c2 a2 b2，故 a2 b216.又点( ， )在椭圆上，所以 1，3 5 5 2a2 3 2b2即 1.5a2 3b2由得 b24， a220，所以所求椭圆的标准方程为 1.y220 x24椭圆的定义及其应用典例 (1)已知椭圆的方程为 1( a5)，它的两个焦点分别为 F1， F2，且x2a2 y225|F1F2|8，弦 AB 过点 F1，则 ABF2的周长为( )A10 B20C2 D441 41(2)如图所示，已知椭圆的方程为 1，若点 P 在第二象限，x24 y23且 PF1F2120，则 PF1F2的面积为_解析 (1) a5，椭圆的焦点在 x
8、 轴上又 c4， a2254 2， a .由椭圆的定义知 ABF2的周长41| BA| F2B| F2A| BF1| BF2| AF1| AF2|4 a4 .41(2)由已知得 a2， b ，3所以 c 1，| F1F2|2 c2.a2 b2 4 3在 PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2| PF1|2| F1F2|22| PF1|F1F2|cos 120，即| PF2|2| PF1|242| PF1|.5由椭圆定义，得| PF1| PF2|4，即| PF2|4| PF1|.将代入解得| PF1| .65所以 S PF1F2 |PF1|F1F2|sin 12012 2 ，12 65 32
9、335即 PF1F2的面积是 .335答案 (1)D (2)335椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若| MF1| MF2|2 a(2a|F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.(2)涉及焦点三角形面积时，可把| PF1|，| PF2|看作一个整体，运用|PF1|2| PF2|2(| PF1| PF2|)22| PF1|PF2|及余弦定理求出| PF1|PF2|，而无需单独求解 活学活用1.如图所示，已知椭圆的两焦点为 F1(1,0)， F2(1,0)， P 为椭圆上一点，且 2|F1F2| PF1| PF2|，则椭圆的标准
10、方程为_解析：设椭圆的标准方程为 1( ab0)，焦距为 2c，则由已x2a2 y2b2知得 c1，| F1F2|2，所以 4| PF1| PF2|2 a，所以 a2，所以b2 a2 c2413，所以椭圆的标准方程为 1.x24 y23答案： 1x24 y232已知椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在椭圆上，若| PF1|4，则x29 y22 F1PF2_.解析：由题意，得 a29， a3， c2 a2 b2927， c ，| F1F2|2 .7 7| PF1|4，| PF2|2 a| PF1|2.cos F1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2
11、|6 ，42 22 27 2242 12 F1PF2120.答案：120与椭圆有关的轨迹问题典例 (1)已知 P 是椭圆 1 上一动点， O 为坐标原点，则线段 OP 中点 Q 的轨x24 y28迹方程为_(2)已知圆 M：( x1) 2 y21，圆 N：( x1) 2 y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C，求 C 的方程解析 (1)设 P(xP， yP)， Q(x， y)，由中点坐标公式得Error!所以Error!又点 P 在椭圆 1 上，所以 1，x24 y28 2x 24 2y 28即 x2 1.y22答案： x2 1y22(2)解：由已知得圆
12、M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径r23.设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R.动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以| PM| PN|( R r1)( r2 R) r1 r24.由椭圆定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭3圆(左顶点除外)，其方程为 1( x2)x24 y23解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另
13、一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法 7活学活用求过点 P(3,0)且与圆 x26 x y2910 相内切的动圆圆心的轨迹方程解：圆方程配方整理得( x3) 2 y210 2，圆心为 C1(3，0)，半径为 R10.设所求动圆圆心为 C(x， y)，半径为 r，依题意有Error!消去 r 得R| PC| CC1|PC| CC1| R，即| PC| CC1|10.又 P(3,0)， C1(3,0)，且| PC1|64 时， m415；当 m0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的( )
14、A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：选 B 利用椭圆定义若 P 点轨迹是椭圆，则| PA| PB|2 a(a0，常数)，甲是乙的必要条件反过来，若| PA| PB|2 a(a0，常数)是不能推出 P 点轨迹是椭圆的这是因为：仅当 2a|AB|时， P 点轨迹才是椭圆；而当 2a| AB|时， P 点轨迹是线段AB；当 2a3 B a3 或 a3 或6a60 得Error!所以Error!所以 a3 或6b0)，且可知左焦点为x2a2 y2b2F(2,0)从而有Error! 解得Error!又 a2 b2 c2，所以 b212，故椭圆 C 的标准方程为 1.
15、x216 y212法二：依题意，可设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，则Error!解得 b212 或x2a2 y2b29b23(舍去)，从而 a216.所以椭圆 C 的标准方程为 1.x216 y212答案： 1x216 y2128椭圆的两焦点为 F1(4,0)， F2(4,0)，点 P 在椭圆上，若 PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为_解析：如图，当 P 在 y 轴上时 PF1F2的面积最大， 8b12， b3.12又 c4， a2 b2 c225.椭圆的标准方程为 1.x225 y29答案： 1x225 y299求符合下列条件的椭圆的标准方程(1)过点 和 ；(63， 3) (2
16、23， 1)(2)过点(3,2)且与椭圆 1 有相同的焦点x29 y24解：(1)设所求椭圆方程为 mx2 ny21( m0， n0， m n)椭圆过点 和(63， 3)，(223， 1)Error! 解得Error!所求椭圆的标准方程为 x2 1.y29(2)由题意得已知椭圆 1 中 a3， b2，x29 y24且焦点在 x 轴上， c2945.设所求椭圆方程为 1.x2a 2 y2a 2 5点(3,2)在所求椭圆上， 1. a 215 或 a 23(舍去)9a 2 4a 2 5所求椭圆的标准方程为 1.x215 y21010已知椭圆 1( ab0)的焦点分别是 F1(0，1)， F2(0,
17、1)，且 3a24 b2.y2a2 x2b210(1)求椭圆的标准方程；(2)设点 P 在这个椭圆上，且| PF1| PF2|1，求 F1PF2的余弦值解：(1)依题意，知 c21，又 c2 a2 b2，且 3a24 b2，所以 a2 a21，即 a21，所以 a24， b23，34 14故椭圆的标准方程为 1.y24 x23(2)由于点 P 在椭圆上，所以| PF1| PF2|2 a224.又| PF1| PF2|1，所以|PF1| ，| PF2| .又| F1F2|2 c2，所以由余弦定理得 cos F1PF2 .52 32(52)2 (32)2 2225232 35故 F1PF2的余弦值
18、等于 .35层级二 应试能力达标1下列说法中正确的是( )A已知 F1(4,0)， F2(4,0)，平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆B已知 F1(4,0)， F2(4,0)，平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 6 的点的轨迹是椭圆C平面内到点 F1(4,0)， F2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到 F1， F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D平面内到点 F1(4,0)， F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选 C A 中，| F1F2|8，则平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是线段，所以 A 错误；B 中，到 F1，
19、F2两点的距离之和等于 6，小于| F1F2|，这样的轨迹不存在，所以 B 错误；C 中，点 M(5,3)到 F1， F2两点的距离之和为 5 4 2 324 |F1F2|8，则其轨迹是椭圆，所以 C 正确；D 中，轨迹应是线段 5 4 2 32 10F1F2的垂直平分线，所以 D 错误故选 C.2椭圆 1 的焦点为 F1， F2， P 为椭圆上的一点，已知 0，则x225 y29 PF1 PF2 F1PF2的面积为( )A9 B12C10 D8解析：选 A 0， PF1 PF2.PF1 PF2 | PF1|2| PF2|2| F1F2|2且| PF1| PF2|2 a.又 a5， b3， c
20、4，11Error! 2，得 2|PF1|PF2|36，| PF1|PF2|18， F1PF2的面积为 S |PF1|PF2|9.123若 ，方程 x2sin y2cos 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 的(0， 2)取值范围是( )A. B.( 4， 2) (0， 4C. D.(0， 4) 4， 2)解析：选 A 易知 sin 0，cos 0，方程 x2sin y2cos 1 可化为 1.因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以 0，即 sin cos x21sin y21cos 1cos 1sin 0.又 ，所以 b0)或 1( ab0)，x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知条件得Er
21、ror!解得Error!所以 b2 a2 c212.于是所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x216 y212 y216 x212法二：设所求的椭圆方程为 1( ab0)或 1( ab0)，两个焦点分别为x2a2 y2b2 y2a2 x2b2F1， F2.由题意知 2a| PF1| PF2|358，所以 a4.在方程 1 中，令 x c，得| y| ；x2a2 y2b2 b2a在方程 1 中，令 y c，得| x| .y2a2 x2b2 b2a依题意有 3，得 b212.b2a于是所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x216 y212 y216 x2128. 如图在圆 C：( x1) 2 y225 内有一点 A(1,0) Q 为圆 C 上一点， AQ 的垂直平分线与 C， Q 的连线交于点 M，求点 M 的轨迹方程解：如图，连接 MA.由题意知点 M 在线段 CQ 上，从而有|CQ| MQ| MC|.又点 M 在 AQ 的垂直平分线上，则| MA| MQ|，故| MA| MC| CQ|5.又 A(1,0)， C(1,0)，故点 M 的轨迹是以(1,0)，(1,0)为焦点的椭圆，且 2a5，故 a ， c1， b2 a2 c2 1 .52 254 214故点 M 的轨迹方程为 1.x2254y221413
