1、1第一课时 椭圆的简单几何性质预习课本 P3741，思考并完成以下问题 1椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？2什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？新 知 初 探 椭圆的简单几何性质焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1( a b0)x2a2 y2b2 1( a b0)y2a2 x2b2范围 a x a 且 b y b b x b 且 a y a顶点A1( a,0)， A2(a,0)，B1(0， b)， B2(0， b)A1(0， a)， A2(0， a)，B1( b,0)， B2(b,0)轴长 长轴长 ，短轴长2a 2b焦点
2、F1( c,0)， F2(c,0) F1(0， c)， F2(0， c)焦距 |F1F2| 2c对称性 对称轴 x 轴和 y 轴，对称中心(0,0)离心率 e (0b0)的长轴长等于 a( )x2a2 y2b2(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a c( )2(3)椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆( )答案：(1) (2) (3)2椭圆 25x29 y2225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A5,3， B10,6，45 45C5,3， D10,6，35 35答案：B3已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，则 C 的方程是( )12A. 1 B. 1x23
3、y24 x24 y23C. 1 D. 1x24 y22 x24 y23答案：D4若焦点在 y 轴上的椭圆 1 的离心率为 ，则 m 的值为_x2m y22 12答案：32由标准方程研究几何性质典例 求椭圆 x29 y281 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标解 把已知方程化成标准方程为 1，于是 a9， b3， c 6 ，x281 y29 81 9 2所以椭圆的长轴长 2a18，短轴长 2b6，离心率 e .ca 223两个焦点的坐标分别为 F1(6 ，0)， F2(6 ，0)，四个顶点的坐标分别为 A1(9,0)，2 2A2(9,0)， B1(0，3)， B2(0,3)用标准方程研究几
4、何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式；(2)确定焦点位置；(3)求出 a， b， c；(4)写出椭圆的几何性质3注意 长轴长、短轴长、焦距不是 a， b， c，而应是 a， b， c 的两倍 活学活用已知椭圆 C1： 1，设椭圆 C2与椭圆 C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆x2100 y264C2的焦点在 y 轴上(1)求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆 C2的方程，并研究其性质解：(1)由椭圆 C1： 1 可得其长半轴长为 10，短半轴长为 8，焦点坐标(6,0)，x2100 y264(6,0)，离心率 e ；35(2)椭圆 C2： 1，y2100 x
5、264性质：范围：8 x8，10 y10；对称性：关于 x 轴、 y 轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率： e .35利用几何性质求标准方程典例 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是 10，离心率是 ；45(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6.解 (1)设椭圆的方程为 1( ab0)或 1( ab0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知得 2a10， a5.又 e ， c4.ca 45 b2 a2 c225169.椭圆方程为 1 或 1.x225 y29
6、y225 x29(2)依题意可设椭圆方程为 1( ab0)x2a2 y2b2如图所示， A1FA2为一等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2的中线(高)，且| OF| c，| A1A2|2 b，4则 c b3， a2 b2 c218，故所求椭圆的方程为 1.x218 y29利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数列方程(组)时常用的关系式有 b2 a2 c2， e 等 ca活学
7、活用求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长与短轴长的和为 18，焦距为 6；(2)过点(3,0)，离心率 e ；63(3)过点 M(1,2)，且与椭圆 1 有相同离心率x212 y26解：(1)设椭圆的长轴长为 2a，短轴长为 2b，焦距为 2c，由题意可知Error!解得a5， b4.因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x225 y216 x216 y225(2)当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2由题意，得 a3，因为 e ，所以 c ，从而 b2 a2 c23，63 6所以椭圆的标准方程为 1；x29 y
8、23当椭圆的焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 1( ab0)，y2a2 x2b2由题意，得 b3，因为 e ，所以 ，63 a2 b2a 63把 b3 代入，得 a227，5所以椭圆的标准方程为 1.y227 x29综上可知，所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x29 y23 y227 x29(3)设所求椭圆方程为 k1(k10)或 k2(k20)，x212 y26 y212 x26将点 M 的坐标代入可得 k1或 k2，112 46 412 16解得 k1 ， k2 ，故 或 ，34 12 x212 y26 34 y212 x26 12即所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x29 y292
9、 y26 x23求椭圆的离心率典例 设椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 是 C 上的点，x2a2 y2b2PF2 F1F2， PF1F230，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.36 13 12 33解析 法一：由题意可设| PF2| m，结合条件可知| PF1|2 m，| F1F2| m，故离心3率 e .ca 2c2a |F1F2|PF1| |PF2| 3m2m m 33法二：由 PF2 F1F2可知 P 点的横坐标为 c，将 x c 代入椭圆方程可解得 y ，所b2a以| PF2| .又由 PF1F230可得| F1F2| |PF2|，故 2c
10、，变形可得 (a2 c2)b2a 3 3 b2a 32 ac，等式两边同除以 a2，得 (1 e2)2 e，解得 e 或 e (舍去)333 3答案 D一题多变1变条件若将本例中“ PF2 F1F2， PF1F230”改为“ PF2F175， PF1F245” ，求 C 的离心率解：在 PF1F2中， PF1F245， PF2F175， F1PF260，设| PF1| m，| PF2| n，| F1F2|2 c，椭圆的长轴长为 2a，6则在 PF1F2中，有 ，msin 75 nsin 45 2csin 60 ，m nsin 75 sin 45 2csin 60 e .ca 2c2a sin
11、60sin 75 sin 45 6 222变条件，变设问若将本例中“ PF2 F1F2， PF1F230”改为“ C 上存在点 P，使 F1PF2为钝角” ，求 C 的离心率的取值范围解：由题意，知 cb， c2b2.又 b2 a2 c2， c2a2 c2，即 2c2a2. e2 ，c2a212 e .故 C 的离心率的取值范围为 .22 (22， 1)求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知 a， c 可直接利用 e 求解若已知 a， b 或 b， c 可借助于caa2 b2 c2求出 c 或 a，再代入公式 e 求解ca(2)方程法：若 a， c 的值不可求，则可根据条件建立 a，
12、 b， c 的关系式，借助于a2 b2 c2，转化为关于 a， c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围 层级一 学业水平达标1已知椭圆 C1： 1， C2： 1，则( )x212 y24 x216 y28A C1与 C2顶点相同 B C1与 C2长轴长相同C C1与 C2短轴长相同 D C1与 C2焦距相等解析：选 D 由两个椭圆的标准方程可知： C1的顶点坐标为(2 ，0)，(0，2)，3长轴长为 4 ，短轴长为 4，焦距为 4 ； C2的顶点坐标为 (4,0)，(0，2 )，长轴长3 2 2为 8，短轴长为
13、 4 ，焦距为 4 .故选 D.2 22焦点在 x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为 2，到左顶点的距离为 3 的椭圆的标准方程是( )A. 1 B. y21x24 y23 x247C. 1 D x2 1y24 x23 y24解析：选 A 依题意，得 a2， a c3，故 c1， b ，故所求椭圆的22 12 3标准方程是 1.x24 y233若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A. B.12 32C. D.34 64解析：选 A 依题意， BF1F2是正三角形，在 Rt OBF2中，| OF2| c，| BF2| a， OF2B60，cos 60 ，即椭圆
14、的离心率 e ，故选 A.ca 12 124与椭圆 9x24 y236 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程为( )A. 1 B x2 1x22 y24 y26C. y21 D. 1x26 x28 y25解析：选 B 椭圆 9x24 y236 可化为 1，可知焦点在 y 轴上，焦点坐标为x24 y29(0， )，故可设所求椭圆方程为 1( ab0)，则 c .又 2b2，即 b1，所5y2a2 x2b2 5以 a2 b2 c26，则所求椭圆的标准方程为 x2 1.y265已知椭圆 1( ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF xx2a2 y2b2轴，直线 AB
15、 交 y 轴于点 P.若 2 ，则椭圆的离心率是( )AP PB A. B.32 22C. D.13 12解析：选 D 2 ，| |2| |.AP PB AP PB 又 PO BF， ，|PA|AB| |AO|AF| 23即 ， e .aa c 23 ca 126若椭圆 x2 my21 的焦点在 y 轴上，且长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 的值为8_解析：椭圆 x2 my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍， 2， m1m.14答案：147已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ， 且过 P(5,4)，则椭圆的55方程为_解析： e ，ca 55 ，c2a2 a2 b
16、2a2 155 a25 b2 a2即 4a25 b2.设椭圆的标准方程为 1( a0)，x2a2 5y24a2椭圆过点 P(5,4)， 1.25a2 5164a2解得 a245.椭圆方程为 1.x245 y236答案： 1x245 y2368设 F1， F2分别为椭圆 y21 的左，右焦点，点 A， B 在椭圆上，若x235 ，则点 A 的坐标是_F1A F2B 解析：设 A(m， n)由 5 ，得 B .F1A F2B (m 625 ， n5)又 A， B 均在椭圆上，所以有Error!解得Error! 或Error!所以点 A 的坐标为(0,1)或(0，1)答案：(0,1)或(0，1)9在
17、平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1， F2在 x 轴上，离心率为 ，过点 F1的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，且 ABF2的周长为 16，求椭圆 C 的标准方22程9解：设椭圆 C 的标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b2由 e 知 ，故 ，从而 ， .由 ABF2的周长为22 ca 22 c2a2 12 a2 b2a2 12 b2a2 12|AB| BF2| AF2| AF1| AF2| BF1| BF2|4 a16，得 a4， b28.故椭圆 C 的标准方程为 1.x216 y2810椭圆 1( ab0)的右顶点是 A(a,0)，其上存在一点
18、P，使 APO90，求x2a2 y2b2椭圆离心率的取值范围解：设 P(x， y)，由 APO90知，点 P 在以 OA 为直径的圆上，圆的方程是2 y2 2.(xa2) (a2) y2 ax x2.又 P 点在椭圆上，故 1.x2a2 y2b2把代入化简，得( a2 b2)x2 a3x a2b20，即(x a)(a2 b2)x ab20， x a， x0， x ，又 0 .22又0b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，线段 F1F2被点 分成x2a2 y2b2 (b2， 0)53 的两段，则此椭圆的离心率为( )10A. B.1617 41717C. D.45 255解析：选 D 依题意得
19、 ， c2 b，c b2c b2 53 a b， e .b2 c2 5ca 2b5b 2553(2017全国卷)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且x2a2 y2b2以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay2 ab0 相切，则 C 的离心率为( )A. B.63 33C. D.23 13解析：选 A 以线段 A1A2为直径的圆的方程为 x2 y2 a2，由原点到直线bx ay2 ab0 的距离 d a，得 a23 b2，所以 C 的离心率 e .2abb2 a2 1 b2a2 634若 O 和 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点， P 为椭圆上的任意一点，x2
20、4 y23则 的最大值为( )OP FP A2 B3C6 D8解析：选 C 由题意得点 F(1,0)设点 P(x0， y0)，则有 1，可得 y 3x204 y203 20. ( x01， y0)， ( x0， y0)， x0(x01) y x0(x01)(1x204) FP OP OP FP 203 x03.此二次函数的图象的对称轴为直线 x02.又2 x02，所以当(1x204) x204x02 时， 取得最大值，最大值为 236.OP FP 2245过椭圆 1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为_x24 y23解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为 2a4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为
21、c1，将 x1 代入 1，得 1，解得 y2 ，即 y ，所以最短弦的x24 y23 124 y23 94 3211长为 2 3.32答案：4,36已知椭圆 1( ab0)， A， B 分别为椭圆的左顶点和上顶点， F 为右焦点，且x2a2 y2b2AB BF，则椭圆的离心率为_解析：在 Rt ABF 中，| AB| ，| BF| a，| AF| a c，由a2 b2|AB|2| BF|2| AF|2，得 a2 b2 a2( a c)2.将 b2 a2 c2代入，得 a2 ac c20，即 e2 e10，解得 e . 152因为 e0，所以 e .5 12答案：5 127已知椭圆 x2( m3
22、) y2 m(m0)的离心率 e ，求实数 m 的值及椭圆的长轴长和32短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标解：椭圆方程可化为 1，由 m 0，可知 m ，所以x2m y2mm 3 mm 3 m m 2m 3 mm 3a2 m， b2 ， c ，由 e ，得 ，解得 m1.于是mm 3 a2 b2 m m 2m 3 32 m 2m 3 32椭圆的标准方程为 x2 1，则 a1， b ， c .所以椭圆的长轴长为 2，短轴长为y214 12 321；两焦点坐标分别为 ， ；四个顶点坐标分别为 (1，0)，(1,0)，(32， 0) (32， 0)， .(0， 12) (0， 12)8设 F1， F2
23、分别是椭圆 E： 1( ab0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 x2a2 y2b2E 于 A， B 两点，| AF1|3| F1B|.(1)若| AB|4， ABF2 的周长为 16，求| AF2|；(2)若 cos AF2B ，求椭圆 E 的离心率35解：(1)由| AF1|3| F1B|，| AB|4，12得| AF1|3，| F1B|1.因为 ABF2的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a16，| AF1| AF2|2 a8.故| AF2|835.(2)设| F1B| k，则 k0 且| AF1|3 k，| AB|4 k.由椭圆定义可得，| AF2|2 a3 k，| BF2|2 a k.在 ABF2中，由余弦定理可得，| AB|2| AF2|2| BF2|22| AF2|BF2|cos AF2B，即(4 k)2(2 a3 k)2(2 a k)2 (2a3 k)(2a k)65化简可得( a k)(a3 k)0，而 a k0，故 a3 k.于是有| AF2|3 k| AF1|，| BF2|5 k.因此| BF2|2| F2A|2| AB|2，可得 F1A F2A，故 AF1F2为等腰直角三角形从而 c a，所以椭圆 E 的离心率 e .22 ca 22
