1、122.1 双曲线及其标准方程预习课本 P4548，思考并完成以下问题 1平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么？2什么是双曲线的标准方程？新 知 初 探 1双曲线的定义把平面内与两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于| F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距点睛 平面内到两定点 F1， F2的距离的差的绝对值为非零常数，即|MF1| MF2|2 a，关键词“平面内” 当 2a|F1F2|时，轨迹不存在2双曲线的标准方程焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1x2a2 y2b2(a0， b
2、0) 1y2a2 x2b2(a0， b0)图形焦点坐标 F1( c,0)， F2(c,0) F1(0， c)， F2(0， c)2a， b， c 的关系 c2 a2 b2点睛 (1)标准方程的代数特征：方程右边是 1，左边是关于 x， y 的平方差，并且分母大小关系不确定(2)a， b， c 三个量的关系：标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里 b2 c2 a2，与椭圆中 b2 a2 c2相区别，且椭圆中 ab0，而双曲线中， a， b 大小不确定小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平面内到两定点的距离的差等
3、于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线( )(2)在双曲线标准方程 1 中， a0， b0 且 a b( )x2a2 y2b2(3)双曲线标准方程中， a， b 的大小关系是 ab( )答案：(1) (2) (3)2已知双曲线 1，则双曲线的焦点坐标为( )x216 y29A( ，0)，( ，0) B(5,0)，(5,0)7 7C(0，5)，(0,5) D(0， )，(0， )7 7答案：B3平面内有两个定点 F1(5,0)和 F2(5,0)，动点 P 满足| PF1| PF2|6，则动点 P的轨迹方程是( )A. 1( x4) B. 1( x3)x216 y29 x29 y216C.
4、1( x4) D. 1( x3)x216 y29 x29 y216答案：D4双曲线的两焦点坐标是 F1(0,3)， F2(0，3)， b2，则双曲线的标准方程是_答案： 1y25 x243双曲线标准方程的认识典例 已知方程 1 对应的图形是双曲线，那么 k 的取值范围是( )x2k 5 y2|k| 2A k5 B k5 或22 或 k0.即Error! 或Error!解得 k5 或20， b0)，x2a2 y2b2则有 a2 b2 c28， 1，解得 a23， b25.9a2 10b2故所求双曲线的标准方程为 1.x23 y251求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在
5、标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定 a2， b2的数值，常由条件列方程组求解2双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的 a， b， c，再写出双曲线的标准方程(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程 1 或 1( a， b 均为正数)，x2a2 y2b2 y2a2 x2b2然后根据条件求出待定的系数代入方程即可注意 若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2 ny21 的形式，注意标明条件 mn0， b0)，则 c ，即x2a2 y2b2 5a2 b25.设 P(x， y)，由线段 PF1的中点坐标为(0
6、,2)，可知Error! 得Error!即点 P 的坐标为( ，4)，5代入双曲线方程，得 1.5a2 16b2联立，得 a21， b24，即双曲线的标准方程为 x2 1.故选 B.y246设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线 1 的一个焦点，则 m_.y2m x298解析：由点 F(0,5)可知该双曲线 1 的焦点落在 y 轴上，所以 m0，且y2m x29m95 2，解得 m16.答案：167设点 P 在双曲线 1 上， F1， F2为双曲线的两个焦点，且x29 y216|PF1| PF2|13，则 F1PF2的周长等于_解析：由题意知| F1F2|2 10，| PF2| PF1|6
7、，又9 16|PF1| PF2|13，| PF1|3，| PF2|9， F1PF2的周长为 391022.答案：228已知定点 A， B 且| AB|4，动点 P 满足| PA| PB|3，则| PA|的最小值为_解析：如图所示，点 P 是以 A， B 为焦点的双曲线的右支上的点，当P 在 M 处时，| PA|最小，最小值为 a c 2 .32 72答案：729求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a2 ，经过点 A(2，5)，焦点在 y 轴上；5(2)与椭圆 1 有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为 4.x227 y236解：(1)因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为
8、 1( a0， b0)y2a2 x2b2由题设知， a2 ，且点 A(2，5)在双曲线上，5所以Error! 解得Error!故所求双曲线的标准方程为 1.y220 x216(2)椭圆 1 的两个焦点为 F1(0，3)， F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(x227 y236， 4)(或( ，4)15 15设双曲线的标准方程为 1( a0， b0)，y2a2 x2b2则Error! 解得Error!故所求双曲线的标准方程为 1.y24 x2510已知双曲线过点(3，2)且与椭圆 4x29 y236 有相同的焦点9(1)求双曲线的标准方程；(2)若点 M 在双曲线上， F1， F2是双曲线
9、的左、右焦点，且| MF1| MF2|6 ，试判断3 MF1F2的形状解：(1)椭圆的方程可化为 1，焦点在 x 轴上，且 c .故可设双曲x29 y24 9 4 5线方程为 1( a0， b0)依题意得Error!解得 a23， b22.x2a2 y2b2故双曲线的标准方程为 1.x23 y22(2)不妨设 M 在双曲线的右支上，则有| MF1| MF2|2 .3又| MF1| MF2|6 ，3解得| MF1|4 ，| MF2|2 .3 3又| F1F2|2 c2 ，5因此在 MF1F2中，| MF1|边最长，由余弦定理可得 cos MF2F1|MF2|2 |F1F2|2 |MF1|22|M
10、F2|F1F2| 0)，则 1 ，y225 132144 25144所以 y ，即| AF1| .又| AF2| AF1|2 a24，2512 2512所以| AF2|24 .即所求距离分别为 ， .2512 31312 2512 31312答案： ，2512 313127已知 ABC 的两个顶点 A， B 分别为椭圆 x25 y25 的左焦点和右焦点，且三个内角 A， B， C 满足关系式 sin Bsin A sin C.12(1)求线段 AB 的长度；(2)求顶点 C 的轨迹方程解：(1)将椭圆方程化为标准形式为 y21.x25 a25， b21， c2 a2 b24，则 A(2,0)，
11、 B(2,0)，| AB|4.(2)sin Bsin A sin C，由正弦定理得12|CA| CB| |AB|21)y238设圆 C 与两圆( x )2 y24，( x )2 y24 中的一个内切，另一个外切5 5(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程；12(2)已知点 M ， F( ，0)，且 P 为 L 上动点求| MP| FP|的最大值(355， 455) 5解：(1)两圆的圆心分别为 A( ，0)， B( ，0)，半径为 2，设圆 C 的半径为 r.由5 5题意得| CA| r2，| CB| r2 或| CA| r2，| CB| r2，两式相减得|CA| CB|4 或| CA| CB|4，即| CA| CB|4.则圆 C 的圆心轨迹为双曲线，其中 2a4， c ， b21，5圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为 y21.x24(2)由(1)知 F 为双曲线 L 的一个焦点，如图，连接 MF 并延长交双曲线于一点 P，此时| PM| PF| MF|为| PM| FP|的最大值又| MF| 2，| MP| FP|的最大值为 2.(355 5)2 (455)2
