1、122.2 双曲线的简单几何性质预习课本 P4953，思考并完成以下问题 1双曲线有哪些几何性质？2双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？3双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？新 知 初 探 1双曲线的几何性质标准方程 1x2a2 y2b2(a0， b0) 1y2a2 x2b2(a0， b0)图形焦点 F1( c,0)， F2(c,0) F1(0， c)， F2(0， c)性质焦距 |F1F2|2 c范围 x a 或 x a， y R y a 或 y a， x R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点 A1( a,0)， A2(a,0) A1(0， a)， A2(0， a)性质轴 实轴
2、：线段 A1A2，长： ；2a2虚轴：线段 B1B2，长： ；2b半实轴长： ，半虚轴长：a b离心率 e (1，)ca渐近线 y xba y xab2等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是 y x，离心率为 e .2点睛 对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)双曲线 1 的焦点在 y 轴上( )x22 y24(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔( )(3)以 y2 x 为
3、渐近线的双曲线有 2 条( )答案：(1) (2) (3)2双曲线 y21 的顶点坐标是( )x216A(4,0)，(0,1) B(4,0)，(4,0)C(0,1)，(0，1) D(4,0)，(0，1)答案：B3中心在原点，实轴长为 10，虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是( )A. 1x225 y29B. 1 或 1x225 y29 y225 x29C. 1x2100 y236D. 1 或 1x2100 y236 y2100 x236答案：B34(2017全国卷)双曲线 1( a0)的一条渐近线方程为 y x，则x2a2 y29 35a_.答案：5双曲线的几何性质典例 求双曲线 9y24 x
4、236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解 双曲线的方程化为标准形式是 1，x29 y24 a29， b24， a3， b2， c .13又双曲线的焦点在 x 轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为( ，0)，( ，0)，13 13实轴长 2a6，虚轴长 2b4，离心率 e ，渐近线方程为 y x.ca 133 23由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键；(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a， b 的值；(3)由 c2 a2 b2求出 c 值，从而写出双曲线的几何性质注意 求性质时一定要注意焦点的位置 活学活用1
5、已知双曲线 1 与 1，下列说法正确的是( )x29 y216 y216 x29A两个双曲线有公共顶点B两个双曲线有公共焦点C两个双曲线有公共渐近线D两个双曲线的离心率相等解析：选 C 双曲线 1 的焦点和顶点都在 x 轴上，而双曲线 1 的焦点x29 y216 y216 x29和顶点都在 y 轴上，因此可排除选项 A、B；双曲线 1 的离心率 e1 ，x29 y216 9 169 534而双曲线 1 的离心率 e2 ，因此可排除选项 D；易得 C 正确y216 x29 16 916 542(2017北京高考)若双曲线 x2 1 的离心率为 ，则实数 m_.y2m 3解析：由双曲线的标准方程可
6、知 a21， b2 m，所以 e ，解得 m2.1 b2a2 1 m 3答案：2由双曲线的几何性质求标准方程典例 (1)(2017天津高考)已知双曲线 1( a0， b0)的左焦点为 F，离心x2a2 y2b2率为 .若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )2A. 1 B. 1x24 y24 x28 y28C. 1 D. 1x24 y28 x28 y24(2)过点(2，2)且与 y21 有相同渐近线的双曲线的标准方程为_x22解析 (1)由 e 知，双曲线为等轴双曲线，2则其渐近线方程为 y x，故由 P(0,4)，知左焦点 F 的坐标为(4,0)
7、，所以 c4，则 a2 b2 8.c22故双曲线的方程为 1.x28 y28(2)法一：当焦点在 x 轴上时，由于 .ba 22故可设方程为 1，x22b2 y2b2代入点(2，2)得 b22(舍去)；当焦点在 y 轴上时，可知 ，ab 22故可设方程为 1，y2a2 x22a2代入点(2，2)得 a22.5所以所求双曲线方程为 1.y22 x24法二：因为所求双曲线与已知双曲线 y21 有相同的渐近线，故可设双曲线方程x22为 y2 ( 0)，x22代入点(2，2)得 2，所以所求双曲线的方程为 y22，x22即 1.y22 x24答案 (1)B (2) 1y22 x24求双曲线的标准方程的
8、方法与技巧(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定 a， b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得再结合 c2 a2 b2及 e列关于 a， b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程ca(2)如果已知双曲线的渐近线方程为 y x，那么此双曲线方程可设为ba ( 0) x2a2 y2b2活学活用求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为 12，离心率为 ；54(2)焦点在 x 轴上，离心率为 ，且过点(5,3)；2(3)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y x.32解：(1)设双曲线的标准方程为 1 或 1( a0， b0)x2a2 y2b
9、2 y2a2 x2b2由题意知 2b12， 且 c2 a2 b2，ca 54 b6， c10， a8，双曲线的标准方程为 1 或 1.x264 y236 y264 x236(2) e ， c a， b2 c2 a2 a2.ca 2 26又焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程为 1( a0)x2a2 y2a2把点(5,3)代入方程，解得 a216.双曲线的标准方程为 1.x216 y216(3)设以 y x 为渐近线的双曲线方程为32 ( 0)，x24 y29当 0 时， a24 ，2 a2 6 .494当 0， b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，x2a2 y2b2交 C 于点 P.若点
10、 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为_解析 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为 ，又ba直线 l 过右焦点 F(c,0)，则直线 l 的方程为 y (x c)因为点 P 的ba横坐标为 2a，代入双曲线方程得 1，化简得 y b 或 y4a2a2 y2b2 3b(点 P 在 x 轴下方，故舍去 )，故点 P 的坐标为(2 a， b)，代入直线方程得3 3 b (2a c)，化简可得离心率 e 2 .3ba ca 3答案 2 3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知 a， c 可直接利用 e 求解，若已知 a， b，可利用 e 求ca 1 (ba)2解(2)方程法：若无
11、法求出 a， b， c 的具体值，但根据条件可确定 a， b， c 之间的关系，可通过 b2 c2 a2，将关系式转化为关于 a， c 的齐次方程，借助于 e ，转化为关于 eca7的 n 次方程求解 活学活用1如果双曲线 1 右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异x2a2 y2b2点，则双曲线离心率的取值范围是_解析：如图，因为 AO AF， F(c,0)，所以 xA ，因为 A 在右支上且不在顶点处，所以 a，所以 e 2.c2 c2 ca答案：(2，)2设 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的两个焦点， P 是 C 上一点，若x2a2 y2b2|PF1| PF
12、2|6 a，且 PF1F2的最小内角为 30，则 C 的离心率为_解析：不妨设| PF1|PF2|，则| PF1| PF2|2 a，又| PF1| PF2|6 a，得|PF1|4 a，| PF2|2 a，| F1F2|2 c，则在 PF1F2中， PF1F230，由余弦定理得(2 a)2(4 a)2(2 c)22(4 a)(2c)cos 30，整理得( e )20，所以 e .3 3答案： 3层级一 学业水平达标1双曲线 2x2 y28 的实轴长是( )A2 B2 2C4 D4 2解析：选 C 双曲线方程可变形为 1，所以 a24， a2，从而 2a4，故选 C.x24 y282已知双曲线的实
13、轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )A. 1 B. 1x225 y225 x29 y29C. 1 D. 1y216 x216 x216 y216解析：选 D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为 x2 y2 ( 0)，将点(5,3)代入方程，可得 5 23 216，所以双曲线方程为 x2 y216，即 1.x216 y2163(2017全国卷)若 a1，则双曲线 y21 的离心率的取值范围是( )x2a2A( ，) B( ，2)2 2C(1， ) D(1,2)28解析：选 C 由题意得双曲线的离心率 e .a2 1a即 e2 1 .a2 1a2 1a2 a1，0 1，1
14、a211 2，1 e .1a2 24若一双曲线与椭圆 4x2 y264 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A y23 x236 B x23 y236C3 y2 x236 D3 x2 y236解析：选 A 椭圆 4x2 y264 可变形为 1，x216 y264a264， c2641648，焦点为(0,4 )，(0，4 )，离心率 e ，3 332则双曲线的焦点在 y 轴上， c4 ， e ，323从而 a6， b 212，故所求双曲线的方程为 y23 x236.5已知双曲线 y21( a0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐x2a2近线方程为( )A
15、y x B y x35 53C y x D y x34 43解析：选 D 由双曲线方程为 y21，知 b21， c2 a21，2 b2,2 c2 .x2a2 a2 1实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，2 a2 c4 b4，2 a2 4，解得 a .a2 134双曲线的渐近线方程为 y x.436已知点(2,3)在双曲线 C： 1( a0， b0)上， C 的焦距为 4，则它的离心率x2a2 y2b2为_9解析：由题意知 1， c2 a2 b24，解得 a1，4a2 9b2所以 e 2.ca答案：27已知双曲线 1( a0， b0)的一个焦点为 F(2 ，0)，且离心率为 e ，则x2a2 y2
16、b2 5 52双曲线的标准方程为_解析：由焦点坐标，知 c2 ，由 e ，可得 a4，所以 b 2，则5ca 52 c2 a2双曲线的标准方程为 1.x216 y24答案： 1x216 y248已知双曲线过点(4， )，且渐近线方程为 y x，则该双曲线的标准方程为312_解析：法一：双曲线的渐近线方程为 y x，12可设双曲线的方程为 x24 y2 ( 0)双曲线过点(4， )， 164( )24，3 3双曲线的标准方程为 y21.x24法二：渐近线 y x 过点(4,2)，而 0， b0)x2a2 y2b2由已知条件可得Error!解得 Error!双曲线的标准方程为 y21.x24答案：
17、 y21x24109求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)与双曲线 1 具有相同的渐近线，且过点 M(3，2)；y24 x23(2)过点(2,0)，与双曲线 1 离心率相等；y264 x216(3)与椭圆 1 有公共焦点，离心率为 .x225 y216 32解：(1)设所求双曲线方程为 ( 0)y24 x23由点 M(3，2)在双曲线上得 ，得 2.44 93故所求双曲线的标准方程为 1.x26 y28(2)当所求双曲线的焦点在 x 轴上时，可设其方程为 ( 0)，x264 y216将点(2,0)的坐标代入方程得 ，116故所求双曲线的标准方程为 y21；x24当所求双曲线的焦点在 y 轴上时
18、，可设其方程为 ( 0)，y264 x216将点(2,0)的坐标代入方程得 0， b0)x2a2 y2b2因为 e ，所以 a2，则 b2 c2 a25，ca 32故所求双曲线的标准方程为 1.x24 y25法二：因为椭圆焦点在 x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为 1(16a，所以 e2 1 2，则 e2.a2 b2a2 b2a2于是双曲线的离心率为 2.层级二 应试能力达标1若双曲线与椭圆 1 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 y x，则双曲x216 y264线的方程为( )A y2 x296 B y2 x2160C y2 x280 D y2 x224解析：选 D 设双曲线方程为 x2
19、y2 ( 0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，4 )，所以 0， b0)由题意，知过点(4，2)x2a2 y2b2的渐近线方程为 y x，所以2 4，即 a2 b.设 b k(k0)，则ba ba12a2 k， c k，所以 e .故选 D.5ca 5k2k 523已知双曲线 E 的中心为原点， F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A， B两点，且 AB 的中点为 N(12，15)，则 E 的方程为( )A. 1 B. 1x23 y26 x24 y25C. 1 D. 1x26 y23 x25 y24解析：选 B 设双曲线的标准方程为 1( a0， b0
20、)，由题意知x2a2 y2b2c3， a2 b29，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)则有Error!两式作差得 ，y1 y2x1 x2 b2 x1 x2a2 y1 y2 12b2 15a2 4b25a2又 AB 的斜率是 1， 15 0 12 3所以 4b25 a2，代入 a2 b29 得 a24， b25，所以双曲线标准方程是 1.x24 y254已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为( )A. B25C. D.3 2解析：选 D 不妨取点 M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为 1( a0，
21、 b0)，则| BM| AB|2 a， MBx180x2a2 y2b212060， M 点的坐标为 .(2a， 3a) M 点在双曲线上， 1， a b，4a2a2 3a2b2 c a， e .故选 D.2ca 25已知双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线x2a2 y2b2l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是_解析：由题意，知 ，则 3，所以 c2 a23 a2，ba 3 b2a213即 c24 a2，所以 e2 4，所以 e2.c2a2答案：2，)6双曲线 1 的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 平行于双曲线的
22、一条渐近线x29 y216的直线与双曲线交于点 B，则 AFB 的面积为_解析：双曲线 1 的右顶点 A(3,0)，右焦点 F(5,0)，渐近线方程为 y x.不x29 y216 43妨设直线 FB 的方程为 y (x5)，代入双曲线方程整理，得 x2( x5) 29，43解得 x ， y ，所以 B .175 3215 (175， 3215)所以 S AFB |AF|yB| (c a)|yB|12 12 (53) .12 3215 3215答案：32157已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一个焦点是 F2(2,0)，离心率 e2.x2a2 y2b2(1)求双曲线 C 的方程；(2)若斜
23、率为 1 的直线 l 与双曲线 C 交于两个不同的点 M， N，线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，求直线 l 的方程解：(1)由已知得 c2， e2，所以 a1， b .3所以所求的双曲线方程为 x2 1.y23(2)设直线 l 的方程为 y x m，点 M(x1， y1)， N(x2， y2)联立Error! 整理得 2x22 mx m230.(*)设 MN 的中点为( x0， y0)，则 x0 ， y0 x0 m ，所以线段 MN 垂直平分线x1 x22 m2 3m2的方程为y ，即 x y2 m0，3m2 (x m2)与坐标轴的交点分别为(0,2 m)，(2 m
24、,0)，可得 |2m|2m|4，得 m22， m ，此时(*)的判别式 0，故直线 l 的方程12 2为 y x .2148已知双曲线 C： x2 y21 及直线 l： y kx1.(1)若直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围；(2)若直线 l 与双曲线 C 交于 A， B 两点， O 为坐标原点，且 AOB 的面积是 ，求实数2k 的值解：(1)由Error!消去 y，得(1 k2)x22 kx20.由直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点，得Error! 解得 0 时， S AOB| S OAD S OBD| |x1 x2| .综上可知，| x1 x2|2 ，12 2 2所以( x1 x2)2( x1 x2)24 x1x2(2 )2，2即 2 8，解得 k0 或 k .( 2k1 k2) 81 k2 62由(1)，可知 k 且 k1，故 k0 或 k 都符合题意2 262
