1、1四 渐开线与摆线1渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆2摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线3圆的渐开线和摆线的参数方程 (1)圆的渐开线方程：Error!( 为参数)(2)摆线的参数方程：Error!( 为参数)圆的渐开线的参数方程例 1 求半径为 4 的圆的渐开线的参数方程思路点拨 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系解 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为
2、 M0，向量 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点 M(x， y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA AM，按渐开线定义，弧 A0的长和线段 AM 的长相等，记 和 x 轴正向所夹的角为 (以弧度为单OA 位)，则| AM| 4 .作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得(4cos ，4sin )OA 2由几何知识知 MAB ， (4 sin ，4 cos )，AM 所以 OM OA AM (4cos 4 sin ，4sin 4 cos )(4(cos sin )，4(sin cos )又 ( x， y)，OM 因此有Error!这就是
3、所求圆的渐开线的参数方程圆的渐开线的参数方程中，字母 r 表示基圆的半径，字母 是指绳子外端运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程1已知圆的渐开线的参数方程Error!( 为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是_解析：圆的渐开线的参数方程可化为Error!( 为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径 r3.答案：32已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点 A， B 对应的参数分别是 和 ，求 A， B 两点的距离 3 2解：根据条件可知圆的半径是 1，所以对应的渐开线参数方程是Error!( 为参数
4、)，分别把 和 代入，可得 A， B 两点的坐标分别为 A ， B 3 2 (3 36 ， 33 6 ).( 2， 1)那么，根据两点之间的距离公式可得 A， B 两点的距离为|AB| (3 36 2)2 (33 6 1)2 .16 (13 6r(3) 2 6 363 72即 A， B 两点之间的距离为3.16 (13 6r(3) 2 6 363 72圆的摆线的参数方程例 2 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程(如图所示，开始时定点 M 在原点 O 处，取圆滚动时转过的角度 (以弧度为单位)为参数)思路点拨 利用向量知识和三角函数的有关知识求解解 当圆滚过 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切
5、点为 A，定点 M 的位置如图所示， ABM .由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 的长相等，它们的长都等于2 ，从而 B 点坐标为(2 ，2)，向量 (2 ，2)，向量 (2sin ，2cos )，OB MB (2sin ，2cos )，BM 因此 OM OB BM (2 2sin ，22cos )(2( sin )，2(1cos )又动点 M 的坐标为( x， y)，向量 ( x， y)OM 所以Error!这就是所求摆线的参数方程(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母 r 是指
6、定圆的半径，参数 是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小3摆线Error!(0 t2)与直线 y2 的交点的直角坐标是_答案：(2,2)，(32,2)4圆的半径为 r，沿 x 轴正向滚动，圆与 x 轴相切于原点 O.圆上点 M 起始处沿顺时针已偏转 角试求点 M 的轨迹方程解：如图所示，作 MA x 轴于点 A，作 CB MA 于点 B，则4xM r rcos r( sin )， yM r rsin r(1cos )即( 2) ( 2)点 M 的轨迹方程为Error!一、选择题1半径为 3 的圆的摆线上某点的纵坐标为 0，那么其横坐标可能是( )A B2C12 D14解析：选 C 根据
7、条件可知，圆的摆线方程为Error!( 为参数)，把 y0 代入，得 2 k( kZ)，此时 x6 k( kZ)2给出下列说法：圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点其中正确的说法有( )A BC D解析：选 C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数
8、方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置3已知一个圆的参数方程为Error!( 为参数)，那么圆的摆线方程中参数取 对应的 2点 A 与点 B 之间的距离为( )(32， 2)A. 1 B. 2 2C. D.1032 1解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为 3，那么它的摆线的参数方程为Error!( 为参数 )，把 代入参数方程中可得Error! 25即 A ，(3( 2 1)， 3)| AB| .3( 2 1) 322 (3 2)2 104如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线 AEFGH叫做“正方形的渐开线” ，其中 AE， EF， FG，
9、GH的圆心依次按 B， C， D， A 循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH 长是( )A3 B4C5 D6解析：选 C 根据渐开线的定义可知， 是半径为 1 的 圆周长，长度AE14为 ，继续旋转可得 是半径为 2 的 圆周长，长度为 ； 是半径为 3 的 圆周长，长度 2 EF 14 FG 14为 ； 是半径为 4 的 圆周长，长度为 2，所以曲线 AEFGH 的长是 5.32 GH 14二、填空题5我们知道关于直线 y x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线Error!( 为参数)关于直线 y x 对称的曲线的参数方程为_解析：关于直线 y x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过
10、程主要体现了 x 与 y 的互换，所以要写出摆线方程关于 y x 对称的曲线方程，只需把其中的 x， y 互换答案：Error! ( 为参数)6已知圆的渐开线的参数方程是Error!( 为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数 时对应的曲线上的点的坐标为_ 4解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当 时对应的坐标只需把 代入曲线的参数方程，得 x 4 4 22， y ，由此可得对应的坐标为 . 28 22 28 (22 28 ， 22 28 )答案：2 (22 28 ， 22 28 )7已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方
11、程为_解析：圆的摆线的参数方程为Error!令 r(1cos )0，得 2 k，代入 x r( sin )，得 x r(2ksin 2k)，又过(1,0)， r(2ksin 2 k)1， r .又 r0， kN .12k答案：Error! ( 为参数， kN )6三、解答题8有一个半径是 2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点 M，与轮子中心的距离是 a，求点 M 的轨迹方程解：设轮子中心为 O，则 OM a.点 M 的轨迹即是以 O 为圆心， a 为半径的基圆的摆线由参数方程知点 M 的轨迹方程为Error!9已知一个圆的摆线方程是Error!( 为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开
12、线的参数方程解：根据摆线的参数方程可知圆的半径为 4，所以面积是 16，该圆对应的渐开线参数方程是Error!( 为参数)10已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程解：令 y0，可得 a(1cos )0，由于 a0，即得 cos 1，所以 2 k( kZ)代入 x a( sin )，得 x a(2ksin 2 k)( kZ)又因为 x2，所以 a(2ksin 2 k)2( kZ)，即得 a (kZ)1k又由实际可知 a0，所以 a (kN )1k易知，当 k1 时， a 取最大值为 .1代入即可得圆的摆线的参数方程为Error!( 为参数)圆的渐开线的参数方程为Error!( 为参数)7
