1、1课时跟踪检测（九） 二维形式的柯西不等式1已知 a， bR 且 a b1，则 P( ax by)2与 Q ax2 by2的大小关系是( )A P Q B P QC P Q D P Q解析：选 A 设 m( x， y)， n( ， )，a b a b则| ax by| mn| m|n| ax 2 by 2 a 2 b 2 ，ax2 by2 a b ax2 by2( ax by)2 ax2 by2，即 P Q.2若 a， bR，且 a2 b210，则 a b 的取值范围是( )A2 ，2 5 5B2 ，2 10 10C ， 10 10D( ， )5 5解析：选 A ( a2 b2)12(1) 2
2、( a b)2， a2 b210，( a b)220.2 a b2 .5 53已知 x y1，那么 2x23 y2的最小值是( )A. B.56 65C. D.2536 3625解析：选 B (2 x23 y2)( )2( )2( x y)2 (x y)26，3 2 6 6 6当且仅当 x ， y 时取等号，35 25即 2x23 y2 .65故 2x23 y2的最小值为 .654函数 y 2 的最大值是( )x 5 6 xA. B.3 5C3 D5解析：选 B 根据柯西不等式，知y1 2 ，x 5 6 x 12 22 x 5 2 6 x 2 5当且仅当 x 时取等号26525设 xy0，则
3、的最小值为_(x24y2)(y2 1x2)解析：原式 x y29，当且仅当 xy 时取等号x2 (2y)2(1x)2 y2 1x 2y 2答案：96设 a(2,1,2)，| b|6，则 ab 的最小值为_，此时 b_.解析：根据柯西不等式的向量形式，有| ab| a|b|，| ab| 618， 2 2 12 22当且仅当存在实数 k，使 a kb 时，等号成立18 ab18， ab 的最小值为18，此时 b2 a(4，2，4)答案：18 (4，2，4)7设实数 x， y 满足 3x22 y26，则 P2 x y 的最大值为_解析：由柯西不等式得(2x y)2( x)2( y)2 (3 x22
4、y2) 6 11，3 2 (23)2 (12)2 (43 12) 116当且仅当 x ， y 时取等号，故 P2 x y 的最大值为 .411 311 11答案： 118已知 x， yR ，且 x y2.求证： 2.1x 1y证明： (x y)1x 1y 12 (1x 1y) ( )2( )212 x y (1x)2 (1y)2 22，12(x 1x y1y)当且仅当Error!时等号成立，此时 x1， y1.所以 2.1x 1y9若 x24 y25，求 x y 的最大值及此时 x， y 的值解：由柯西不等式得x2(2 y)2 ( x y)2，12 (12)2即( x y)25 ， x y .
5、54 254 523当且仅当 ，即 x4 y 时取等号x1 2y12由Error! 得Error!或Error!(舍去) x y 的最大值为 ，52此时 x2， y .1210求函数 f(x)3cos x4 的最大值，并求出相应的 x 的值1 sin2x解：设 m(3,4)， n(cos x， )，1 sin2x则 f(x)3cos x4 1 sin2x| mn| m|n| cos2x 1 sin2x 32 425 ，2当且仅当 mn 时，上式取“” 此时，3 4cos x0.1 sin2x解得 sin x ，cos x .75 325故当 sin x ，cos x 时75 325f(x)3cos x4 取最大值 5 .1 sin2x 2
