1、1课时跟踪检测（十二） 数学归纳法1数学归纳法证明中，在验证了 n1 时命题正确，假定 n k 时命题正确，此时 k 的取值范围是( )A kN B k1， kN C k1， kN D k2， kN 解析：选 C 数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法，所以 k 是正整数，又第一步是递推的基础，所以 k 大于等于 1.2用数学归纳法证明“122 22 n2 2 n3 1” ，在验证 n1 时，左边计算所得的式子为( )A1 B12C122 2 D122 22 3.解析：选 D 当 n1 时，左边122 22 3.3用数学归纳法证明“ n3( n1) 3( n2) 3(nN )能被 9
2、 整除” ，利用归纳法假设证明 n k1 时，只需展开( )A( k3) 3 B( k2) 3C( k1) 3 D( k1) 3( k2) 3解析：选 A 假设 n k 时，原式 k3( k1) 3( k2) 3能被 9 整除，当 n k1 时，(k1) 3( k2) 3( k3) 3为了能用上面的归纳假设，只需将( k3) 3展开，让其出现 k3即可4平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为( )A n1 B2 nC. D n2 n1n2 n 22解析：选 C 1 条直线将平面分成 11 个区域；2 条直线最多可将平面分成 1(12)4 个区域；3 条直
3、线最多可将平面分成 1(123)7 个区域； n 条直线最多可将平面分成 1(123 n)1 个区域n n 12 n2 n 225观察式子 11,14(12)，149123，猜想第 n 个式子应为_答案：14916(1) n1 n2(1) n1 n n 126用数学归纳法证明：“1427310 n(3n1) n(n1) 2.nN ”时，若 n1，则左端应为_解析： n1 时，左端应为 144.答案：427记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k1 边形的内角和 f(k1) f(k)_.解析：由凸 k 边形变为凸 k1 边形时，增加了一个三角形图形故 f(k1) f(k).答案：8用数学归纳
4、法证明对于整数 n0， An11 n2 12 2n1 能被 133 整除证明：(1)当 n0 时， A011 212133 能被 133 整除(2)假设 n k 时， Ak11 k2 12 2k1 能被 133 整除当 n k1 时，Ak1 11 k3 12 2k3 1111 k2 12 2122k11111 k2 1112 2k1 (12 211)12 2k111(11 k2 12 2k1 )13312 2k1 . n k1 时，命题也成立根据(1)(2)可知，对于任意整数 n0，命题都成立9有 n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这 n 个圆将平面分成 f(n)
5、 n2 n2( nN )个部分证明：(1)当 n1 时，一个圆将平面分成两个部分，且 f(1)1122，所以n1 时命题成立(2)假设 n k(k1)时命题成立即 k 个圆把平面分成 f(k) k2 k2 个部分则 n k1 时，在 k1 个圆中任取一个圆 O，剩下的 k 个圆将平面分成 f(k)个部分，而圆 O 与 k 个圆有 2k 个交点，这 2k 个点将圆 O 分成 2k 段弧，每段弧将原平面一分为二，故得 f(k1) f(k)2 k k2 k22 k( k1) 2( k1)2.当 n k1 时，命题成立综合(1)(2)可知，对一切 nN ，命题成立10试用 n(n2， nN )表示 的
6、值，并用数学归(114)(1 19) (1 116) (1 1n2)纳法证明解：当 n2 时，原式1 ；14 34当 n3 时，原式 ；(114)(1 19) 46当 n4 时，原式 .(114)(1 19)(1 116) 58猜想 .(114)(1 19) (1 1n2) n 12n3下面用数学归纳法证明这个结论(1)当 n2 时，易知结论成立(2)假设 n k(kN ， k2)时结论成立，即 ，(114)(1 19) (1 1k2) k 12k则当 n k1 时，(114)(1 19) (1 1k2)1 1 k 1 2 ，k 12k k k 2 k 1 2 k 22 k 1 k 1 12 k 1即当 n k1 时，结论成立由(1)(2)可知对一切 nN ，结论都成立
