1、1课时跟踪检测（十五）几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式层级一 学业水平达标1若指数函数 f(x) ax(a0， a1)满足 f(1)ln 27，则 f(1)( )A2 Bln 3 C. Dln 3ln 33解析：选 C f( x) axln a，由 f(1) aln aln 27，解得 a3，则 f( x)3 xln 3，故 f(1) .ln 332已知 f(x) x2 ，则 f(2)( )xA4 B0 2C. D52 2解析：选 D 原函数化简得 f(x) x 2，所以 f( x) x3，52所以 f(2) 2 5 .故选 D.52 23已知 f(x) x ，若 f(1)2，则 的
2、值等于( )A2 B2 C3 D3解析：选 A 若 2，则 f(x) x2， f( x)2 x， f(1)2(1)2 适合条件故应选 A.4若曲线 y 在点 P(a， )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，则实数x aa 的值是( )A4 B2 C16 D8解析：选 A y ，12x切线方程为 y (x a)a12a令 x0，得 y ，令 y0，得 x a，a22由题意知 a2， a4.12 a25. 曲线 y x3在 x1 处切线的倾斜角为( )13A1 B 4C. D. 4 54解析：选 C y x2， y| x1 1，切线的倾斜角 满足 tan 1，0 ， . 46已知 f(x)
3、 ， g(x) mx，且 g(2) ，则 m_.1x 1f 2解析： f( x) ， f(2) .1x2 14又 g( x) m， g(2) m.由 g(2) ，得 m4.1f 2答案：47曲线 yln x 在点 M(e,1)处的切线的斜率是_，切线方程为_解析： y(ln x) ， y| xe .1x 1e切线方程为 y1 (xe)，即 xe y0.1e答案： xe y01e8设坐标平面上的抛物线 C： y x2，过第一象限的点( a， a2)作抛物线 C 的切线 l，则直线 l 与 y 轴的交点 Q 的坐标为_解析：显然点( a， a2)为抛物线 C： y x2上的点， y2 x，直线 l
4、 的方程为 y a22 a(x a)令 x0，得 y a2，直线 l 与 y 轴的交点的坐标为(0， a2)答案：(0， a2)9求下列函数的导数：(1)y x8；(2) y4 x；(3) ylog 3x；3(4)ysin ；(5) ye 2.(x 2)解：(1) y( x8)8 x81 8 x7.(2)y(4 x)4 xln 4.(3)y(log 3x) .1xln 3(4)y(cos x)sin x.(5)y(e 2)0.10已知 P(1,1)， Q(2,4)是曲线 y x2上的两点，(1)求过点 P， Q 的曲线 y x2的切线方程；(2)求与直线 PQ 平行的曲线 y x2的切线方程解
5、：(1)因为 y2 x， P(1,1)， Q(2,4)都是曲线 y x2上的点过 P 点的切线的斜率 k1 y| x1 2，过 Q 点的切线的斜率 k2 y| x2 4，过 P 点的切线方程： y12( x1)，即 2x y10.过 Q 点的切线方程： y44( x2)，即 4x y40.(2)因为 y2 x，直线 PQ 的斜率 k 1，4 12 1切线的斜率 k y| x x02 x01，所以 x0 ，所以切点 M ，12 (12， 14)与 PQ 平行的切线方程为： y x ，即 4x4 y10.14 12层级二 应试能力达标1质点沿直线运动的路程 s 与时间 t 的关系是 s ，则质点在
6、 t4 时的速度为( )5tA. B.12523 110523C. D.25523 110523解析：选 B s t .当 t4 时， s .15 45 15 1544 1105232直线 y x b 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b 的值为( )12A2 Bln 21Cln 21 Dln 24解析：选 C yln x 的导数 y ，1x令 ，得 x2，切点为(2，ln 2)1x 12代入直线 y x b，得 bln 21.123在曲线 f(x) 上切线的倾斜角为 的点的坐标为( )1x 34A(1,1) B(1，1)C(1,1) D(1,1)或(1，1)解析：选 D 因为 f
7、(x) ，所以 f( x) ，1x 1x2因为切线的倾斜角为 ，所以切线斜率为1，34即 f( x) 1，所以 x1，1x2则当 x1 时， f(1)1；当 x1 时， f(1)1，则点坐标为(1,1)或(1，1)4设曲线 y xn1 (nN *)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则x1x2xn的值为( )A. B.1n 1n 1C. D1nn 1解析：选 B 对 y xn1 (nN *)求导得 y( n1) xn. 令 x1，得在点(1,1)处的切线的斜率 k n1，在点(1,1)处的切线方程为 y1( n1)( xn1)令 y0，得 xn ，nn 1 x1x2xn ，
8、 故选 B.12 23 34 n 1n nn 1 1n 15已知 f(x) a2(a 为常数)， g(x)ln x，若 2xf( x)1 g( x)1，则x_.解析：因为 f( x)0， g( x) ，1x所以 2xf( x)1 g( x)2 x 1.1x解得 x1 或 x ，因为 x0，所以 x1.125答案：16与直线 2x y40 平行且与曲线 yln x 相切的直线方程是_解析：直线 2x y40 的斜率为 k2，又 y(ln x) ， 2，解得 x .1x 1x 12切点的坐标为 .(12， ln 2)故切线方程为 yln 22 .(x12)即 2x y1ln 20.答案：2 x y
9、1ln 207已知曲线方程为 y f(x) x2，求过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程解：设切点 P 的坐标为( x0， x )20 y x2， y2 x， k f( x0)2 x0，切线方程为 y x 2 x0(x x0)20将点 B(3,5)代入上式，得 5 x 2 x0(3 x0)，20即 x 6 x050，20( x01)( x05)0， x01 或 x05，切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为 y12( x1)或 y2510( x5)，即 2x y10 或 10x y250.8求证：双曲线 xy a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数证明：设 P(x0， y0)为双曲线 xy a2上任一点 y .(a2x) a2x2过点 P 的切线方程为 y y0 (x x0)a2x20令 x0，得 y ；令 y0，得 x2 x0.2a2x0则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S |2x0|2 a2.12 |2a2x0|即双曲线 xy a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数 2a2.6
