1、1课时跟踪检测（十） 一般形式的柯西不等式1已知 a2 b2 c2 d25，则 ab bc cd ad的最小值为( )A5 B5C25 D25解析：选 B ( ab bc cd ad)2( a2 b2 c2 d2)(b2 c2 d2 a2)25，当且仅当 a b c d 时，等号成立52 ab bc cd bd的最小值为5.2已知 a a a 1， x x x 1，则 a1x1 a2x2 anxn的最大值21 2 2n 21 2 2n是( )A1 B2C3 D4解析：选 A ( a1x1 a2x2 anxn)2( a a a )(x x x )21 2 2n 21 2 2n111，当且仅当 1
2、 时取等号x1a1 x2a2 xnan a1x1 a2x2 anxn的最大值是 1.3已知 x， y， zR ，且 1，则 x 的最小值是( )1x 2y 3z y2 z3A5 B6C8 D9解析：选 D x 29，当且仅当 时等号成y2 z3 (x y2 z3) 1x 2y 3z 13立4设 a， b， c， x， y， z是正数，且a2 b2 c210， x2 y2 z240， ax by cz20，则 ( )a b cx y zA. B.14 13C. D.12 34解析：选 C 由柯西不等式得，( a2 b2 c2)(x2 y2 z2)( ax by cz)2400，当且仅当 时取等号
3、因此有 .ax by cz 12 a b cx y z 125已知 2x3 y z8，则 x2 y2 z2取得最小值时， x， y， z形成的点( x， y， z)_.2解析：由柯西不等式(2 23 21 2)(x2 y2 z2)(2 x3 y z)2，即 x2 y2 z2 .327当且仅当 z时等号成立x2 y3又 2x3 y z8，解得 x ， y ， z ，87 127 47故所求点为 .(87， 127， 47)答案： (87， 127， 47)6设 a， b， c为正数，则( a b c) 的最小值是_(4a 9b 36c)解析：( a b c)(4a 9b 36c)( )2( )
4、2( )2a b c (2a)2 (3b)2 (6c)2 2(a2a b3b c6c)(236) 2121.当且仅当 k(k为正实数)时，等号成立a2 b3 c6答案：1217已知实数 x， y， z满足 3x2 y z1，则 x22 y23 z2的最小值为_解析：由柯西不等式，得 x2( y)2( z)2 (3 x2 y z)2 3 32 2 2 (13)221，所以 x22 y23 z2 ，334当且仅当 ，即 x ， y ， z 时，等号成立，x3 2y2 3z13 934 334 134所以 x22 y23 z2的最小值为 .334答案：3348在 ABC中，设其各边长为 a， b，
5、c，外接圆半径为 R，求证：( a2 b2 c2)336 R2.(1sin2A 1sin2B 1sin2C)证明： 2 R，asin A bsin B csin C( a2 b2 c2)(1sin2A 1sin2B 1sin2C) 236 R2.(asin A bsin B csin C)9在直线 5x3 y2 上求一点，使( x2 y1) 2(3 x y3) 2取得最小值解：由柯西不等式得(2 21 2)(x2 y1) 2(3 x y3) 22( x2 y1)(3 x y3) 2(5 x3 y1) 29.( x2 y1) 2(3 x y3) 2 .95当且仅当 x2 y12(3 x y3)即
6、 5x4 y70 时取等号解方程组Error!得Error!故所求点的坐标为 .(1335， 97)10已知函数 f(x) m| x2|， mR，且 f(x2)0 的解集为1,1(1)求 m的值；(2)若 a， b， c为正实数，且 m，求证： a2 b3 c9.1a 12b 13c解：(1)因为 f(x2) m| x|，所以 f(x2)0 等价于| x| m.由| x| m有解，得 m0，且其解集为 x| m x m，又 f(x2)0 的解集为1,1，故 m1.(2)证明：由(1)知 1，1a 12b 13c所以 a2 b3 c( a2 b3 c)(1a 12b 13c) 29.(a1a 2b12b 3c13c)4
