1、1第一章 三角形的证明1.等腰三角形的性质与判定的应用(1)应用等腰三角形的性质证明线段或角相等【例 1】如图，ABC=90 ，D，E 分别在 BC，AC 上，ADDE，且 AD=DE .点 F 是 AE 的中点 ，FD 与 AB相交于点 M.(1)求证：FMC=FCM.(2)AD 与 MC 垂直吗 ?并说明理由 .【信息解读破译解题秘钥】信息直译为：ABC 是直角三角形，进而得到DCF 与MAC 互余；信息翻译为：ADE 是等腰直角三角形；信息直译为：AF=EF；破译：整合条件，得到 DFAE，DF=AF=EF.破译：整合条件，得到AMF 与MAC 互余，结合可得DCF=AMF，根据“AAS
2、”定理判定DFCAFM，进而得到FMC=FCM.信息翻译为：猜想结论“ADMC”.信息翻译为：根据已知条件，构建图形：延长 AD 交 MC 于点 G，进而推理说明“ADMC”.破译：整合条件，得到FDE=FMC=45，进而得到 DECM，说明 AGMC，即 ADMC.【标准解答】(1)ADE 是等腰直角三角形，F 是 AE 的中点，DFAE，DF=AF=EF.又ABC=90，DCF，AMF 都与MAC 互余，DCF=AMF.又DFC=AFM=90，DFCAFM(AAS).CF=MF.FMC=FCM.(2)ADMC.理由如下：如图，延长 AD 交 MC 于点 G.由(1)知MFC=90，FD=F
3、E，FM=FC.2FDE=FMC=45，DECM.AGC=ADE=90，AGMC，即 ADMC.(2)判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们经常首先考虑等腰三角形的定义，其次考虑等腰三角形的判定定理.【例 2】已知：如图，在ABC 中，点 D 为 BC 上的一点，AD 平分EDC，且E=B，DE=DC，求证：AB=AC.【标准解答】AD 平分EDC，ADE=ADC，DE=DC，AD=AD，AEDACD，C=E，E=B.C=B，AB=AC.(3)等边三角形的性质与判定等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具备“三线合一”的性质外，还能提供更多的边、角关系，特别是 60的角.【例 3】如图，点 E，
4、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB，AC 上的点 ，且 BE=AF ，CE，BF 交于点 P.(1)求证：CE=BF.(2)求BPC 的度数.【信息解读破译解题秘钥】条件翻译为：AB=BC =AC，BAC=ABC=ACB=60 ；条件直译为：BE=AF ，破译：整合条件，得到FAB=EBC ，破译：整合条件，应用“SAS”定理，判定BCEABF .信息翻译为：CE=BF，PCB=ABF ；破译：读图、析图得，PBC+ABF=60 ，3CPB+PCB+PBC=180 ，破译：整合信息得PCB+PBC=ABF+PBC=60 ，破译：整合信息得到：BPC=180-(PBC+PCB)=180-6
5、0=120.【标准解答】(1)ABC 是等边三角形，BC=AB，A=EBC=60，在BCE 与ABF 中， B=,=,=,BCEABF(SAS)，CE=BF.(2)由(1)知BCEABF，BCE=ABF，PBC+PCB=PBC+ABF=ABC=60，BPC=180-60=120.1.在等边ABC 中，点 D 是 AC 上一点，连接 BD，将BCD 绕点 B 逆时针旋转60，得到BAE，连接 ED，若 BC=5，BD=4，则下列结论错误的是( )A.AEBCB.ADE=BDCC.BDE 是等边三角形D.ADE 的周长是 92.如图，已知：在ABC 中，AB=AC，点 M 是 BC 的中点，点 D
6、，E 分别是 AB，AC 边上的点，且 BD=CE，求证：MD=ME.42.分类讨论思想在等腰三角形中的应用等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在求解有关等腰三角形的问题时经常要注意分类讨论.(1)已知等腰三角形的一角求另两角：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.【例 1】已知等腰三角形的一个内角为 70，则另外两个内角的度数为( )A.55，55 B.70，40C.55，55或 70，40 D.以上都不对【标准解答】选 C.70角可能是顶角，也可能是底角.当 70角是底角时
7、，则顶角的度数为 180-702=40；当 70角是顶角时，则底角的度数为(180-70)2=55.所以这个等腰三角形的另外两个内角的度数为 55，55或 70，40.(2)已知等腰三角形的两边求周长：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.【例 2】如果等腰三角形两边长是 6cm 和 3cm，那么它的周长是( )A.9 cm B.12 cmC.15 cm 或 12 cm D.15 cm【标准解答】选 D.当 6 为腰，3 为底时，6-36，满足三边关系定理，当底边是 4 时，另两边长是 5，5，5+45，5-45，满足三边关系定理，
8、该等腰三角形的底边为 4 或 6.答案：4 或 62.【解析】首先准确画图，如左图，当ABD=36时，易得A=54，从而运用等腰三角形的性质可以求得C=63；如右图，当ABD=36时，DAB=54，从而可以求得C=27.答案：63或 273.【解析】ABC 是等腰三角形，当 AB=AC，则ACB=50，其邻补角为 130，则=130；当CB=AC，则ACB=80，其邻补角为 100，则=100；当 AB=BC，则ACB=65，其邻补角为 115，则=115，因此三种情况三个结果：100或 115或 130.答案：100或 115或 1303.直角三角形(1)运用数学思想处理问题【跟踪训练】1.
9、【解析】当 3，4 为直角边时，则第三边是斜边，其长为 5；当长为 4 的边是斜边时，第三边是直角边，其长是 .故第三边长为 5 或 .7 7答案：5 或 72.【解析】EFC=90时，如图 1，AFE=B=90，EFC=90，15点 A，F，C 共线，长方形 ABCD 的边 AD=8，BC=AD=8，在 RtABC 中，AC= = =10，A2+2 62+82设 BE=x，则 CE=BC-BE=8-x，由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x，CF=AC-AF=10-6=4，在 RtCEF 中，EF 2+CF2=CE2，即 x2+42=(8-x)2，解得 x=3，即 BE=3；CEF=
10、90时，如图 2，由翻折的性质得，AEB=AEF= 90=45，12四边形 ABEF 是正方形，BE=AB=6，综上所述，BE 的长为 3 或 6.答案：3 或 63.【解析】由题意得NEH=90，所以DEH+AEN=90，又因为A=90，所以ANE+AEN=90，所以ANE=DEH，在 RtEDH 中，设正方形边长为 2a，则 DE=a，设 DH=x，则 EH=HC=2a-x，所以由勾股定理得 a2+x2=(2a-x)2，解得 x= a，所以 tanANE= .34 34答案：34(2)折叠问题及最短路径问题【跟踪训练】1.【解析】选 C.设 BN=x，则依据折叠原理可得 DN=AN=9-x
11、，又 D 为 BC 的中点，所以 BD=3，在 RtBDN 中，利用勾股定理，16可得 BN2+BD2=DN2，则有 32+x2=(9-x)2，解得 x=4，即 BN=4.2.【解析】选 A.在 RtABC 中，ACB=90，AB，CM 是斜边 AB 上的中线，AM=MC=BM，A=MCA，将ACM 沿直线 CM 折叠，点 A 落在点 D 处，CM 平分ACD，A=D，ACM=MCD，A+B=B+BCD=90，A=BCD，BCD=DCM=MCA=30，A=30.4.线段的垂直平分线和角平分线的应用【跟踪训练】1.【解析】选 B.ABC=50，ACB=60，BAC=180-ABC-ACB=70，
12、A 正确；BD 平分ABC，DBC= ABC=25，12BOC=180-DBC-ACB=95，DOC=180-BOC=85，故 B 错误；ACE=180-ACB=120，CD 平分ACE，DCE= ACE=60 ，BDC=DCE-DBC=35，C 正确；12点 D 在ABC 和ACE 的角平分线上，点 D 到 AB，BC，AC 的距离相等，点 D 在BAC 外角的平分线上，DAC=55，D 正确.2.【解析】过点 D 作 DEAB，AD 是ABC 的角平分线，C=90，DE=CD=3，AB=10，ABD 的面积为 ABDE= 103=15.12 12答案：153.【解析】DE 是 AB 的垂直
13、平分线，AE=BE，ABC 的周长=AB+AC+BC，EBC 的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，ABC 的周长-EBC 的周长=AB，AB=40-24=16(cm).17答案：164.【解析】(1)如图，BAC+EAD=180，BAE=90，DAC=90，在ABE 与ACD 中 A=,=90,=, ABEACD(SAS)，CD=BE，在 RtABE 中，F 为 BE 的中点，BE=2AF，CD=2AF.(2)成立.如图，延长 EA 交 BC 于点 G，在 AG 上截取 AH=AD，连接 BH.BAC+EAD=180，EAB+DAC=180，EAB+BAH=180，BAH=DAC，在ABH 与ACD 中 A=,=,=,ABHACD(SAS).BH=DC，AD=AE，AH=AD，AE=AH，EF=FB，BH=2AF，CD=2AF.18
