1、- 1 -上海市鲁迅中学 2018-2019 学年高一上学期期中考试数学试题（时间 90 分钟满分 100 分）一、填空题（每题 3 分，共 30 分）1.若 ，则满足条件的集合 的个数为_【答案】8【解析】【分析】根据 n 元集合有 个子集，结合集合 共有 n=3 个元素，代入可得答案【详解】解：若 ，即 M 为集合 的子集，由集合 共有 3 个元素,故集合共有 个子集.故答案为：8【点睛】本题考查的知识点是子集与真子集，熟练掌握 n 元集合有 2n个子集，有 2n-1个真子集，是解答的关键2.若 _【答案】【解析】【分析】根据集合的交集的定义即可求出.【详解】解：故答案是： .【点睛】本题
2、主要考查了集合的运算,属基础题.3.已知集合 ， ，且 ，则 的值为_【答案】0【解析】【分析】由 A=1，m，B=1，m 2，且 A=B，知 m2=m，由此能求出实数 m 的值，m=1 不满足集合中元素的互异性，舍去- 2 -【详解】解： ，且 ， ，解得 或者 .不满足集合中元素的互异性，舍去 符合题意故答案是：0【点睛】本题考查集合相等的概念及集合元素的互异性，是基础题4.函数 的定义域是_【答案】 【解析】【分析】要使该函数有意义，则需满足 ，这样解该不等式即可得出该函数得定义域 .【详解】由题可得 ，得 且 ， 该函数定义域为 .故答案是： .【点睛】考查函数三要素之一定义域的概念及
3、求法 ，是基础题.5.已知函数 ，则 _【答案】-23【解析】【分析】从已知函数解析式可令 即可得到答案.【详解】解：当 时， .故答案是：-23.【点睛】本题考查已知函数解析式求函数值，属于基础题.6.不等式 的解为_【答案】 【解析】【分析】分别根据 x 正负情况，按照解一元一次不等式的步骤进行解题，即可得出答案。【详解】解：由于 x 为分母，故 ；若 ，则 ，与 相矛盾，舍去；- 3 -若 ，则 ，即 .故答案为 .【点睛】本题考查了分式不等式的解法，掌握求不等式解的方法。7.已知不等式 ax2 bx20 的解集为 x|1 x2，则不等式 2x2 bx a0 的解为_【答案】 【解析】【
4、分析】不等式 的解集为x|-1x2，可得-1，2 是一元二次方程 的两个实数根，且 a 0，利用根与系数的关系可得 a，b，即可得出【详解】解：不等式 的解集为x|-1x2，-1，2 是一元二次方程的两个实数根，且 a0， 解得解得 a=-1，b=1则不等式化为 ，解得 . 不等式 的解集为 .故答案为： .【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了计算能力，属于中档题8.集合 ,若 ,则 的取值范围为_。【答案】 【解析】【分析】由题意可得 B 的范围为-2,4，而 表示 ，解不等式可得 的范围.【详解】解： ，又 ，可得 ,即 .故答案为： .【点睛】本题
5、考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集的性质- 4 -和分类讨论的合理运用9.已知 且 则 的最小值为_【答案】9【解析】略10.设 ， 表示不超过 的最大整数，若存在实数 ，使得 ， ， 同时成立，则正整数 的最大值是 【答案】【解析】试题分析： ，则 ； ，则 ； ，则 ； ，则； ，则 ；其中 ，由此可得 时，可以找到实数 ，使 ，但当 时，上述区间没有公共部分，故 的最大值为 .考点：取整函数.二、选择题（每题 4 分，共 16 分）11.下列写法正确的是（ ）A. B. 0 C. D. 【答案】A【解析】【分析】概念：不含任何元素的集合及 的性质.【详解】 是
6、任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，集合与集合间是包含关系，集合与元素间是属于 符号.故答案为:A.【点睛】集合与集合间是包含关系，集合与元素间是属于 符号,解决此问题的关键是掌握空集的性质.12.下列函数中，与函数 为同一函数的是（ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可【详解】解：函数 的定义域为 R，值域解析式为 ,对于 A： 定义域为 ， 不是同一个函数；对于 B：值域为 ， 不是同一个函数；对于 C：定义域为 x1， 不是同一个函数；对于 D：当 时， ；当 时， ，定义域值域都相同.故选:D
7、.【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目13.下列四个命题为真命题的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ,则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质可以知道 D 正确.【详解】对于选项 A 若 a=1,b=-3 则 A 错误；对于选项 B 才对，若 则错；对于选项C 中若 a=1,b=-2 则错.故选:D.【点睛】本题主要考查不等式的性质，记熟公式的适用条件是关键.14.命题：“若 ，则 ”的逆否命题为（ ）A. 若 ，则 或 B. 若 ，则 且C. 若 ，则 或 D. 若 ，则 且- 6 -【答案】B【解析】【分析】根据命题“若 p 则
8、q”的逆否命题为“若 则 ”，写出即可.【详解】根据命题“若 p 则 q”的逆否命题为“若 则 ”，所以 命题：“若 ，则”的逆否命题为若 ，则 且 .故选:B.【点睛】掌握四种命题是解决本题的关键.三、简答题（共 54 分）15.解不等式组【答案】 【解析】【分析】将 转化为 ，不等式则转化为 或 .【详解】解：由题意 等价 或 ，即 或 ，故原不等式组等价于 ,综上 .【点睛】本题主要考查用因式分解法解一元二次方程，难易程度适中.16.已知 ，求证： .【答案】见解析【解析】【分析】将多项式第二项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和大于等于 0，即证.【详解】解：由题意
9、成立.- 7 -【点睛】本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用非负数的性质和配方法解答.17.解关于 的不等式： 【答案】当 时，即 或 时， ；当 时，即 时， ；当时，时，即 时， .【解析】【分析】转化不等式为 ；讨论 a2 与 a 的大小，解不等式 即可.【详解】解：原式可化为 ，则所对应的方程的两个根为 ，当 时，即 或 时， ； 当 时，即 时， ； 当 时，时，即 时， .【点睛】本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论的数学思想，是综合性题目18.某商品每件成本为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件。若售价
10、降低 成（1 成即为10%） ，售出商品的数量就增加 成，要求降价幅度不能导致亏本，记该商品一天营业额为。（1）求：该商品一天营业额 的表达式，并指出定义域；（2）若要求该商品一天的营业额至少为 10260 元，求 的取值范围【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）根据营业额=售价售出商品数量，列出解析式，再利用售价不能低于成本价，列出不等式，求出 x 的取值范围；- 8 -（2）根据题意，列出不等式，求解即可【详解】解：（1） ,化简得： ,又 解得.（2） 即 ,化简得, .【点睛】本题考查利用函数知识解决应用题及解不等式的有关知识新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键19.命题 ：集合 满足不等式 对一切 恒成立 ，命题 集合（1）用区间表示集合 A；（2）若命题 是命题 的充分条件，求 的取值范围.【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）根据一元二次方程曲线位置特征求得 a 的范围；（2）由于 是 的充分条件，故 ,求出解集即可.【详解】解：（1）当 时，原式化为 ，恒成立， 成立，当 ，则 解得 ,综上， .（2） ， .【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目- 9 -
