1、1专题 09 平面向量的线性表示【自主热身，归纳总结】1、设 a,b不共线, =2a+pb, =a+b, =a-2b,若 A,B,D三点共线,则实数 p= . 【答案】 -1【解析】因为 =2a+pb, =a+b, =a-2b,所以 = + =2a-b.因为 A,B,D三点共线,所以 = ,即2a+pb=(2a-b)=2a-b,所以 解得 所以实数 p的值是-1.2、设 1e与 2是两个不共线向量， 12eCBk，若 A， B， D三点共线，则 k 【答案】： 49k【解析】，设 ABD则 )3(k且，解得 493、在 C中，若点 ， E， F依次是边 AB上的四等分点，设 1eCB， 2A，
2、用 1e， 2表示CF，则 F【解析】 在 AB中， ， 34F，所以4设点 A， B， C是直线 l上不同的三点，点 O是直线 l外一点，若 ，则 的值为 【答案】：1【解析】 因为点 ， ， 三点共线，所以 ACxB，又因为，所以 15、如图，在 ABC中， D， E分别为边 B， 的中点. F为边 AB上的点，且 3AF，若， ,xyR，则 xy的值为 .2AB CO【答案】：52 【解析】：因为 D为 BC的中点，所以 ，故3,12xy， 52x。6、已知 O为 A 的外心，若 ，则 C= 【答案】： 34误点警示：若 C为锐角，则 AOB与 C分别是同弧所对的圆心角与圆周角，此时AO
3、B=2 ；若 为钝角，由 与 的关系是 ，因此，必须对 C进行分类讨论.本题从条件 判断知， 必为钝角 .7、已知点 C， D， E是线段 AB的四等分点， O为直线 AB外的任意一点，若 ，则实数 m的值为 【答案】： 23【解析】 因为 m()AB，所以 3Dm2O238如图，平面内有三个向量 O， ， C，其中 与 B的夹角为 10，A与 OC的夹角为 30，且，若，则 _， _ 【答案】： =2， 43【解析】 设与 OA， B同方向的单位向量分别为 a， b，依题意有 42abC，又 =a， 32OB，则 ，所以 ， 4339、如图，一直线 EF与平行四边形 ABCD的两边 ,A分别
4、 交于 ,EF两点，且交其对角线于 K，其中， 25AB， 12， K，则 的值为 【答案】： 9【解析】 因为点 F， K， E共线，故可设又，所以，解得 2【问题探究，变式训练】例 1、在 ABC中， AB2， AC3，角 A的平分线与 AB边上的中线交于点 O，若 x y (x， yR)，AO AB AC 则 x y的值为_. 课本探源 本题的难点是 关系的建立，借助于正弦 定理，可以证明 .实际上， 必修 5P54EOOC 13 AEAC EOOC例 5已经证明了此结论，若能够想到这一点，理顺本题的解题 思路就容易多了：在 ABC中， AD是 BAC的平分线，用正弦定理证明： .ABA
5、C BDDC【变式 1】 、如图，在平行四边形 ABCD中， AC， BD相交于点 O， E为线段 AO的中点，若 ( ， R)，则 _.BE BA BD 4【答案】34【解析】： 因为 O， E分别是 AC， AO的中点，所以 ( ) .BE BA AE BA 14AC BA 14BC BA 34BA 14BC 又 ( )( ) ，故 .BE BA BD BA BC CD BA BC 34.【变式 2】 、在 AB中， 2，若 ，则 12的值为 【答案】：29因为 ，而 ,所以 ，所以 ，则 12的值为 9.【关联 1】 、如图，在 ABC中， BO为边 AC上的中线， 2BGO，设 CD
6、AG，若()R，则 的值为 【答案】 65【解析】思路一： ，因为 CD AG，所以 1 5， 6思路二：不妨设 =CDmAG，则有5A C BO【关联 2】 、如图,在同一个平面内，向量OA、 B，C的模分别为 1,1， 2， OA与 C的夹角为 ，且 tan7， OB与 C的夹角为 45，若 , 则 mn的值为_【答案】： +3m【解析】 由 ta可得 72sin10， 2cos10，根据向量分解易得： ，即 ，解得547mn所以 +3mn例 2、在 ABC中， C45， O是 ABC的外心，若 m n (m， nR)，则 m n的取值范围是OC OA OB _【答案】 ，1) 2思路分析
7、 本题中三点在圆 O上是一个关键条件，可以建立坐标系求出 m， n的关系式，再利用三角换元求解，也可以对向量等式两边平方后得到 m， n的关系式，再利用线性规划求解因为 C ， O是 ABC外心，所以 AOB90， m n ，所以 C在优弧 上4 OC OA OB AB建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设半径为 1，则 A(0,1)， B(1,0)设 C(cos ，sin ) ，( (2， 2 )6代入 m n ，可得 ncos ， msin ，即 m ncos sin sin .OC OA OB 2 ( 4)又 ，所以 m n ，1)4 (34， 94) 2解后反思 本题易错在没有注意点 C
8、在优弧 上，错误的认为点 C在整个圆上本题是典型的二元函数的AB值域问题，解题方法比较多，可以用基本不等式、线性规划、三角换元，但由于点 C在圆弧上，最好的方法建立坐标系，利用三角函数求解，定义域的寻找也较为简单【变式 1】 、 如图，直角梯形 ABCD中， AB CD， DAB90， AD AB4， CD1，动点 P在边 BC上，且满足 m n (m， n均为正实数)，则 的最小值为_AP AB AD 1m 1n【答案】：. 7 434解法 1 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(4,0)， D(0,4)， C(1,4)又 kBC ，故43BC： y (x4)又 m n ，
9、 (4,0)， (0,4)，所以 (4 m,4n)，故 P(4m,4n)，又点 P43 AP AB AD AB AD AP 在直线 BC上，即 3n4 m4，即 4（ ）(3 n4 m)（ ）7 72 74 ，所以1m 1n 1m 1n 3nm 4mn 12 3（ ） min ，当且仅当Error! 即 m ， n 时取等号1m 1n 7 434 12 633 83 1237AP QCBOG解法 2 因为 m n ，所以 m n( ) m n n .又 C， P， B三点共AP AB AD AP AB AC CD AB AC n4AB (m n4)AB AC 线，故 m n1，即 m 1，以下
10、同解法 1.n4 3n4解后反思 向量的基本运算分为线性运算和坐标运算，本题建立坐标系转化为坐标的运算也可以转化为基底运算，其中 三点共线可以转化为点在直线上也可以用共线向量基本定理来转化基底法运算量小于坐标法、坐标法的思维难度低于基底法【变式 2】 、 如图，经过 ABO的重心 G的直线与 OA， OB交于点 P， Q，设 OmA，QnOB，R,nm，则 n1的值为 【答案】：3【解析】 连接 OG并延长，交 AB于点 C，因为 G是 ABC的重心，即 O是 ABC的中线，所以23OGC， 因为PmA，所以 1OP，同理可得 1OBQn，将代入可得 ，即 ，设 ，则有 ，8根据平面向量基本定
11、理，有 ， 故 1mn的值为 3【关联 1】 、如图，在等腰三角形 ABC中，已知 AB AC1， A120， E， F分别是边 AB， AC上的点，且 m ， n ，其中 m， n .若 EF， BC的中点分别为 M， N，且 m4 n1，则 的最小值为AE AB AF AC (0， 1) |MN |_【答案】 77思路分析：本题易求 ，所以可以利用点 M， N是 EF， BC的中点将 转化用 和 表示，再求|AB AC 12 MN AB AC |的最小值；另外也可以通过建立平面直角坐标系将 点 M， N的坐标表示出来再求解MN 【解析】1 由于 M， N是 EF， BC的中点， m ， n
12、 ， m4 n1，所以 ， AE AB AF AC AN 12AB 12AC AM 12AE 12 ，所以 2 n .而 11cos120 ，所AF m2AB n2AC (12 2n)AB n2AC MN AN AM AB 1 n2AC AB AC 12以| | ，显然当 n 时，| |min .MN 2 1221n2 6n 1 321 MN 77【解析】2 如图，以点 N为坐标原点，直线 BC为 x轴，直线 NA为 y轴建立平 面直角坐标系，由AB AC1， A120得 N(0,0)， A0， B ，0， C ，0，所以 n n， n， m 12 32 32 AF AC 32 12 AE A
13、B 2 n ，2 n (由于 m4 n1)，从而点 E ，点 F n， n ， 线段(32m， 12m) 3 32 12 (23n 32， 2n) 32 12 12EF的中点 M n ， n ，所以| | ，显然当 n 时，|534 34 34 14 MN (534n 34)2 (34n 14)2 1221n2 6n 1 321|min . MN 779【关联 2】 、 已知 ABC是边长为 3的等边三角形，点 P是以 A为圆心的单位圆上一动点，点 Q满足 AQ 23 ，则| |的最小值 是_. AP 13AC BQ 【答案】： 723思路分析 求| |的最小值，就是求线段 BQ长的最小值，因
14、为点 B为定点，而点 Q是随着点 P的运动而运BQ 动的，那么就要关注点 Q是如何运动的，即要先求出点 Q的轨迹方程，通过建系运用相关点法即可求得点Q的轨迹方程，通过点 Q的轨迹方程发现其轨迹是一个圆，接下来问题就转化为定点与圆上的动点的距离的最小值问题，那就简单了一般与动点有关的最值问题，往往运用轨迹思想，首先探求动点的轨迹，在了解其轨迹的基础上一般可将问题转化为点与圆的关系或直线与圆的关系或两圆之间的关系解法 1 以 A为原点， AB为 x轴建立平面直角坐标系，则 (3,0)， ，设 Q(x， y)，AB AC (32， 332)P(x， y)，由 ，得 ，AQ 23AP 13AC AQ
15、(23x 12， 23y 32)即Error! 所以Error!两式平方相加得 2 2 (x 2 y 2)，因为点 P(x， y)在以 A为圆心(x12) (y 32) 49的单位圆上，所以 x 2 y 21，从而有 2 2 ，所以点 Q是以 M 为圆心， R 的(x12) (y 32) 49 (12， 32) 23圆上的动点，因此 BQmin BM R .(3 12)2 (0 32)2 23 7 23解法 2 .BQ AQ AB 23AP 13AC AB 23(AP 12AC 32AB )令 ，则 ( )，那么| | | |，求| |的最小值，就转化为求| |的最AN 32AB 12AC B
16、Q 23AP AN BQ 23AP AN BQ AP AN 小值，根据不等式的知识有：| | ，而AP AN | AN | |AP | | AN | 1| |2 2 2 2 2 32 33 32 ，即| | ，所以|AN AN (32AB 12AC ) 94AB 32AB AC 14AC 94 32 12 14 634 AN 372 | 1，从而 | | | | ，当且仅当 与 同向时，取等号 AP AN |372 1| 372 BQ 23AP AN 7 23 AN AP 10【关联 3】 、在 ABC中， E为边 A上一点，且 3CAE， P为 B上一点，且满足，求 mn的最小值【解析】 因为 3，所以 ，又因为 P为 BE上一点，不妨设 ，所以 ,，因为 ,ABE不共线， 所以 13mn，则 所以 ，当且仅当 mn，即 3n时等号成立AB CEP11
