1、12018-2019 学年下学期高三 4 月月考卷理科数学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡
2、 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 12019广安期末已知集合 20Ax， BN，则集合 AB=（ ）A 0,2B C 1,D 02x22019齐齐哈尔一模 23i1（ ）A 15iB 5iC 15i2D 15i232019济宁一
3、模如图为某市国庆节 7 天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这 7 天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：日成交量的中位数是 16；日成交量超过日平均成交量的有 2 天；认购量与日期正相关；10 月 7 日认购量的增幅大于 10 月 7 日成交量的增幅则上述判断正确的个数为（ ）A0 B1 C2 D342019乌鲁木齐一模双曲线2136xy的焦点到渐近线的距离为（ ）A 63B C 3D 652019浏阳一中设 a， b都是不等于 1 的正数，则“ 3ab”是“ 3loglab”成立的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条
4、件62019桂林联考已知等比数列 na的前 项和 13nSR，则 8721Sa（ ）A 13B3 C6 D972019福建毕业执行如图所示的程序框图，则输出的 S的值等于（ ）A3 B 3C21 D 2182019鹰潭期末如图所示，过抛物线 20ypx的焦点 F的直线 l，交抛物线于点 A，B交其准线 l于点 C，若 F，且 1A，则此抛物线的方程为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2A 2yxB 2yxC 23yxD 23yx92019南昌一模函数 2ln1xf的图像大致为（ ）A BC D102019大连一模已知 ABC 的内角 ， B， C所对边分别为 a， b
5、， c，且满足3tancosAb，则 （ ）A 6B 56C 3D 23112019南昌一模一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 123B 143C 163D 203122019汉中联考已知函数 exf，若对任意的 ,x， fxm恒成立，则m的取值范围为（ ）A ,1B ,1C ,2D ,2第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 132019临川一中设向量 a， b满足 2， 1b，且 ab，则向量 a在向量 b方向上的投影为_142019榆林一中设 x， y满足约束条件2301xy，则 34zxy的最大值为_152019湘潭一模已知
6、球的半径为 4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为 2，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为_162019铜仁期末已知函数 cos0,2fx， 4x为 fx的零点， 4x为 yfx图象的对称轴，且 f在 ,186上单调，则 的最大值为_三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （12 分）2019新乡期末已知数列 na满足 1， 132na（1）证明：数列 1na是等比数列；（2）设 12331loglog2nnnba，求数列 nb的前 项和 n
7、S318 （12 分）2019南昌一模市面上有某品牌 A型和 B型两种节能灯，假定 A型节能灯使用寿命都超过 5000 小时，经销商对 B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年新店面需安装该品牌节能灯 5 支（同种型号）即可正常营业经了解， A型 20 瓦和 B型 55 瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装已知 A型和 B型节能灯每支的价格分别为 120 元、25 元，当地商业电价为 0.75元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为 3600 小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换 （用频率估计概率
8、）（1）若该商家新店面全部安装了 B型节能灯，求一年内恰好更换了 2 支灯的概率；（2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由19 （12 分）2019南开期末如图所示，四棱锥 PABCD中， P底面 ABCD， ，DAB， 2AP， 1DC， E为 上一点，且 23E（1）求 E的长；（2）求证： AE平面 PBC；（3）求二面角 D的度数20 （12 分）2019临川一中已知椭圆 2:10xyCab，离心率 12e， A是椭圆的左顶点， F是椭圆的左焦点， 1AF，直线 :4m（1）求椭圆 C方程；（2）直线 l过点 与椭圆 交于 P、 Q两点，直线 P
9、A、 Q分别与直线 m交于 M、 N两点，试问：以 MN为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由421 （12 分）2019东北三校已知函数 exf（ 为自然对数的底数） ， gxaR（1）当 ea时，求函数 txfg的极小值；（2）若当 1x时，关于 的方程 lnefxa有且只有一个实数解，求 a的取值范围请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】2019大连一模在平面直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 cosinx
10、ty（ t为参数且0,2t） ，曲线 2C的参数方程为 cosiny（ 为参数，且 ,2） ，以 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 3C的极坐标方程为： 1cos0,，曲线 4C的极坐标方程为 cos1（1）求 3C与 4的交点到极点的距离；（2）设 1与 2交于 P点， 1C与 3交于 Q点，当 在 0,2上变化时，求 OPQ的最大值23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】2019东北三校已知函数 4fxax， R（1）若不等式 2fxa对 R恒成立，求实数 的取值范围；（2）设实数 m为（1）中 的最大值，若实数 x， y， z满足 42xyzm，求 22xyz的最小
11、值2018-2019 学年下学期高三 4 月月考卷理 科 数 学答 案一 、 选 择 题 1 【答案】A【解析】由题意 2x； 0,12AB故选 A2 【答案】B【解析】 3i12i 5ii12z，故选 B3 【答案】B【解析】7 天假期的楼房认购量为 91、100、105、107、112、223、276；成交量为 8、13、16、26、32、38、166对于，日成交量的中位数是 26，故错；对于，日平均成交量为 81362381642.77，有 1 天日成交量超过日平均成交量，故错；对于，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；对于，10 月 7 日认购量的增幅大于 10 月 7 日成交量
12、的增幅，正确故选 B4 【答案】D【解析】根据题意，双曲线的方程为2136xy，其焦点坐标为 3,0，其渐近线方程为 ，即 20xy，则其焦点到渐近线的距离261d，故选 D5 【答案】D【解析】由 3ab，可得 ab；由 logl，得 0所以当“ 1ab”成立时， “ba”不成立；反之，当 “ 0ba”成立时， “ 1ab”也不成立，所以“ 3ab”是“ 3logl”成立的既不充分也不必要条件故选 D6 【答案】D【解析】因为 13nS，所以 2n时， 213nnS，两式相减，可得 13nna， ，1aS， 2，因为 n是等比数列，所以 31，所以 123a， nS， 8S， 6723a，所
13、以 879，故选 D7 【答案】B【解析】由题意得，程序执行循环共六次，依次是 1S， 2i； 1S， 3i；2， 4； ， 5；3， 6i； 3， 7i，故输出 S的值等于 ，故选 B8 【答案】A【解析】如图，过 A作 D垂直于抛物线的准线，垂足为 D，过 B作 E垂直于抛物线的准线，垂足为 E， P为准线与 x轴的交点，由抛物线的定义， BFE， 21AD，因为 2C，所以 2CB，所以 45CA，AD， 1，所以 2FP，即 2pPF，所以抛物线的方程为 2yx，故选 A9 【答案】A【解析】 22ln13ln130xxxfxf ，即 ff，故 f为奇函数，排除 C，D 选项；ln21
14、30f，排除 B 选项，故选 A10 【答案】A【解析】 0， sin0A，由 3tancosbCB，根据正弦定理：可得 3tasiiinsinBA ，所以 tanA，那么 6，故选 A11 【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是由一个正三棱柱（其高为 6，底面三角形的底边长为 4，高为23）截去一个同底面的三棱锥（其高为 3）所得，则该几何体的体积为 1142364230V，故选 D12 【答案】C【解析】令 exgm， 0,x， exgm当 2m时， 0，则 g在 ,上单调递增，又 0g，所以 fx恒成立；当 2时，因为 exgm在 0,上单调递增，故存在 0,x，使得 0gx，所以 g
15、x在 0,上单调递减，在 ,上单调递增，又 ，则 x，这与 0gx恒成立矛盾，综上 2m，故答案为 C二 、 填 空 题 13 【答案】 1【解析】由于 ba，所以 0ba，即 2210abba， 1ab，所以向量 在向量 方向上的投影为 114 【答案】5【解析】作出 x， y满足约束条件2301xy，所示的平面区域，如图：作直线 340xy，然后把直线 l向可行域平移，结合图形可知，平移到点 A时 z最大，由 21,2A，此时 5z，故答案为 515 【答案】6【解析】设两圆的圆心为 12O，球心为 ，公共弦为 AB，中点为 E，因为球心到这两个平面的距离相等，则 12OE为正方形，两圆半
16、径相等，设两圆半径为 r， 216Or， 3r，又 22EA， 31， 29， 这两个圆的半径之和为 616 【答案】5【解析】由题意可得 442kT，即 2124kT，解得 21,k*N，又因为 fx在 ,86上单调，所以 2689T，即 9，验证 9，7，5，得知 5满足题意，所以 的最大值为 5三 、 解 答 题 17 【答案】 （1）详见解析；（2） 21nS【解析】 （1）证明：数列 na满足 ， 32na，可得 3nna，即有数列 1是首项为 2，公比为 3 的等比数列（2）由（1）可得 1nna，即有 112333221loglloglog2n nnnb nn ，数列 n的前 项
17、和 1211nSn 18 【答案】 （1） 3265；（2）应选择 A型节能灯【解析】 （1）由频率分布直方图可知， B型节能灯使用寿命超过 3600 小时的频率为 0.2，用频率估计概率，得 B型节能灯使用寿命超过 3600 小时的概率为 15所以一年内一支 型节能灯在使用期间需更换的概率为 4，所以一年内 5 支恰好更换了 2 支灯的概率为2351C65（2）共需要安装 5 支同种灯管，若选择 A型节能灯，一年共需花费 3512036520.7180元；若选择 B型节能灯，由于 B型节能灯一年内需更换服从二项分布 45,B，故一年需更换灯的支数的期望为 45支，故一年共需花费 345236
18、0.7510967.5 元因为 967.580，所以该商家应选择 A型节能灯19 【答案】 （1） 263；（2 ）见解析；（3） 120【解析】 （1） 四棱锥 PBCD中， P底面 BCD， A ， AB，ABP， 1A， E为 上一点，且 3EP，2CD， 2426A，63E（2）以 A为原点， B为 x轴， D为 y轴， P为 z轴，建立空间直角坐标系，则 0,A， 1,0C， ,2P， 2,3E， ,0B，2,3E， ,B， 1,C，40AP， 2403AEP， AEPB， C，又 BC， 平面 B（3） 0,1D， 2,0A， 0,1AD， 2,3E，设平面 BE的法向量 ,xyz
19、m，则203Axyz，取 1，得 0,1m，设平面 DE的法向量 ,abcn，则023Abacn，取 1，得 ,01n，设二面角 BAED的度数为 ，则 1coscs, 2mn 10，二面角 BAE的度数为 2020 【答案】 （1）2143xy；（2）以 MN为直径的圆能过两定点 1,0、 7,【解析】 （1）ca，得 ac，所求椭圆方程243xy（2）当直线 l斜率存在时，设直线 :10lyk， 1,P、 2,Qxy，直线 1:2yPAx，令 4x，得 1,M，同理 24,yNx，以 N为直径的圆 1240xyy，整理得 2 12212 1404xxxxykk 2143ykx，得 2243
20、8410kxk，218xk，2143xk将代入整理得 26870y，令 y，得 1x或 7当直线 l斜率不存在时， 31,P、 3,2Q、 4,3M、 ,N，以 MN为直径的圆 249xy，也过点 1,0、 7,两点，综上：以 为直径的圆能过两定点 ,、 ,21 【答案】 （1）0；（2） e1a【解析】 （1）当 时， xt， ext，令 0tx则 列表如下： x,11 1,tx0 t单调递减 极小值 单调递增所以 1e0txt极 小 值 （2）设 lnelnexFfxgxaa， 1x，1exa， ，设 xh， 21eexxh，由 1得， 2， 20x， h， x在 1,单调递增，即 Fx在
21、 ,单调递增， 1eFa，当 e10a，即 e时， ,x时， 0Fx， x在 1,单调递增，又 ，故当 1x时，关于 的方程 lnefga有且只有一个实数解，符合题意当 e10a，即 e1时，由（1）可知 ex，所以 xFxa， e0aF，又 e1a，故 0e1,ax， 0，当 01,x时， x， Fx单调递减，又 F，故当 01,x时， F，在 01,x内，关于 的方程 lnefxgxa有一个实数解 1又 ,时， 0， 单调递增，且 22elne1aaF，令 2e1xk，xsxk， e0xs ，故 在 ,单调递增，又 10， 1当 时 ， k， kx在 1,单调递增，故 ka，故 0Fa，又
22、 0ex，由零点存在定理可知， 10,xa， 10Fx，故在 0,xa内，关于 x的方程 lnefxgxa有一个实数解 1x又在 1,内，关于 的方程 lf 有一个实数解 1，不合题意综上， ea22 【答案】 （1） 52；（2） 15【解析】 （1）联立曲线 3C， 4的极坐标方程 1cos,0,2得 20，解得 152，即交点到极点的距离为 52（2）曲线 1C的极坐标方程为 ,0,2，曲线 2的极坐标方程为 2sin,联立得 sin,0,2，即 sin,0,OP，曲线 1C与曲线 3的极坐标方程联立得 1cos,02,，即 1co0s,2OQ，所以 2sinco5inOPQ，其中 的终边经过点 2,，当 k， Z，即 2arsi时， P取得最大值为 1523 【答案】 （1） 4a；（ 2） 16【解析】 （1）因为函数 244fxaxaxa恒成立，解得 4a（2）由第一问可知 m，即 224xyzxyz，由柯西不等式可得 2441y ，化简 2216xyz，即 216xyz，当且仅当 421xyz时取等号，故最小值为 162
