1、- 1 -广元市高 2019 届第一次高考适应性统考数学试卷（理工类）第卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简集合 M,再求 .【详解】由题得 x-30，所以 x3，所以 M=x|x3，所以 = .故答案为：D【点睛】本题主要考查集合的运算和集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.已知 是虚数单位，复数 的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为 ，所以共轭复数为 ，选 A.考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算
2、和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为3.向量 ，向量 ，若 ，则实数 的值为（ ）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】C- 2 -【解析】试题分析： ， ， ，故选 C.考点：向量的垂直的充要条件.4.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理” ，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的
3、锐角 ，现在向大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】观察这个图可知，大正方形的边长为 ，总面积为 ，而阴影区域的边长为面积为 ，故飞镖落在阴影区域的概率为故答案选5.下列说法中正确的是（ ）A. “ ” 是“函数 是奇函数”的充要条件B. 若 ： ， ，则 ： ，C. 若 为假命题，则 均为假命题D. “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”【答案】D【解析】- 3 -试题分析：对于 A 中，如函数 是奇函数，但 ，所以不正确；B 中，命题，则 ，所以不正确；C 中，若 为假命题，则 ，应至少有一个假命题，所以不正确；D 中，
4、命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”是正确的，故选 D考点：命题的真假判定6.已知函数 ，则其导函数 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析： ，这是一个奇函数，图象关于原点对称，故排除 B，D 两个选项.令， ，所以 在 时切线的斜率小于零，排除 C，故选 A.考点：函数导数与图象.7.在我市举行“四川省运动会”期间，组委会将甲、乙、丙、丁四位志愿者全部分配到三个运动场馆执勤.若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是（ ）A. 24 B. 36 C. 72 D. 96【答案】B【解析】【分析】根据题意，分 2 步进行分析，先将 4 人分为 2、1、1
5、 的三组，再将分好的 3 组对应 3 个场馆，- 4 -由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案【详解】根据题意，将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到 A， B， C 三个场馆执勤若每个场馆至少分配一人，则其中 1 个场馆 2 人，其余 2 个场馆各 1 人，可以分 2 步进行分析：将 4 人分成 3 组，其中 1 组 2 人，其余 2 组每组 1 人，有 C426 种分组方法，将分好的 3 组对应 3 个场馆，有 A336 种对应方法，则一共有 6636 种同分配方案；故答案为：B【点睛】本题考查排列、组合的运用，关键是根据“每个场馆至少分配一名志愿者”的要求，明确
6、分组的依据与要求8.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为 141，则判断框中应填入的条件为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】当 S0， k1 时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，S1， k2，当 S1， k2 时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后， S6， k3，当 S6， k9 时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后， S21， k4，当 S21， k4 时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后， S
7、58， k5，当 S58， k5 时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后， S141， k6，此时，由题意，满足输出条件，输出的数据为 141，- 5 -故判断框中应填入的条件为 k5，故答案为： C【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答9.若 为函数 的最小值，则 的展开式中的常数项为（ ）A. B. 15 C. D. 14【答案】B【解析】【分析】先利用基本不等式求出 a=1，再利用二项式展开式的通项求出常数项.【详解】 （当且仅当 t=1 时取等号）所以 ，其展开式的通项为令所以展开式的常数项为 .故答案为：B【点睛】本题主要考查
8、基本不等式求最值，考查二项式定理求特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10.已知函数 的部分图象如图所示，且 ， ，则（ ）- 6 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据函数的图像和性质求出 ，再根据 ， 求出 ，再利用平方关系求出 .【详解】由题得 A=3,由题得 .所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 .故答案为：C【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查同角的平方关系，考查三角函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的表面积之比为（ ）A. B. C. D.
9、 【答案】D【解析】- 7 -【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，根据对应的长方体求出外接球的半径，由柱体、球体的体积公式求出该几何体的体积与其外接球的表面积之比【详解】由三视图可知该几何体如图中的三棱锥 ，三棱锥外接球的直径 ，从而 ，于是，外接球的表面积为 ，所以该几何体的体积与外接球的表面积之比为 ,故选【点睛】本题考查三视图求几何体的体积及外接球的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力12.设函数 在 上存在导数 ，对任意的 ，有 ，且 时，.若 ，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设 ,
10、 ,所以 既是增函数又是奇函数，- 8 -,由已知,得 ,故选 B.考点：1.导数的性质；2.函数的奇偶性；3.复合函数的性质.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设变量 满足 ，则 的最小值为_【答案】-2【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到 z 的最小值.【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示，由题得 y=2x-z,直线的斜率为 2，纵截距为-z,当直线经过点 A(0,2)时，纵截距最大，z 最小，所以 z 的最小值为 20-2=-2.故答案为：-2【点睛】本题主要考查线性规划求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.14.设
11、 ，若 ，则 _- 9 -【答案】【解析】试题分析： 考点：指数式与对数式的综合运算15.已知方程 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则_【答案】【解析】【分析】把方程（ x22 x+m） （ x22 x+n）0 化为 x22 x+m0，或 x22 x+n0，设 是第一个方程的根，代入方程即可求得 m，则方程的另一个根可求；设另一个方程的根为s， t， （ s t）根据韦达定理可知 s+t2 根据等差中项的性质可知四个跟成的等差数列为 ，s， t，进而根据数列的第一项和第四项求得公差，则 s 和 t 可求，进而根据韦达定理求得n，最后代入| m n|即可【详解】方程（ x22 x+m） （
12、x22 x+n）0 可化为x22 x+m0，或 x22 x+n0，设 是方程的根，则将 代入方程，可解得 m ，方程的另一个根为 设方程的另一个根为 s， t， （ s t）则由根与系数的关系知， s+t2， st n，又方程的两根之和也是 2，- 10 - s+t由等差数列中的项的性质可知，此等差数列为 ， s， t， ，公差为 3 ， s ， t ， n st，| m n| | 故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列的性质考查了学生创造性思维和解决问题的能力16.在 上的函数 满足： （ 为正常数） ；当 时，若 的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则 _【答案】1 或 2【解
13、析】【分析】由已知可得分段函数 f（ x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于 c 的方程，解方程可得答案【详解】当 2 x4 时， f（ x）1（ x3） 2，当 1 x2 时，22 x4，则 f（ x） f（2 x） 1（2 x3） 2，此时当 x 时，函数取极大值 ；当 2 x4 时， f（ x）1（ x3） 2，此时当 x3 时，函数取极大值 1，当 4 x8 时，2 x4则 f（ x） cf（ x） c1（ x3） 2，此时当 x6 时，函数取极大值 c，函数的所有极大值点均落在同一条直线上，- 11 -即点（ ， ） ，
14、（3，1） ， （6， c）共线，解得 c1 或 2故答案为：1 或 2【点睛】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（ x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.设 为数列 的前 项和，已知 ，对任意 ，都有 .（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 的前 项和为 ，求证： .【答案】(1) ；(2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）因为 ，然后再利用采用数列的递推式 ，即可求出结果；（2）因为 ， ， ，所以 ，然后再利用裂项相消即可求出 ，然后再根据 的单调性即可证明结果试题
15、解析：证明：（1）因为 ，当 时， ，两式相减，得 ，即 ，所以当 时， - 12 -所以 因为 ，所以 （2）因为 ， ， ，所以所以因为 ，所以 因为 在 上是单调递减函数，所以 在 上是单调递增函数所以当 时， 取最小值 所以 考点：1等差数列；2裂项相消【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一: 型，通过拼凑法裂解成；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如 型，常见
16、的有；对数运算 本身可以裂解；阶乘和组合数公式型要重点掌握 和 18.在 中， 分别是角 的对边， （1）求角 的大小；（2）若 ，求 的面积 的最大值【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得 ，最后根据三角形内角范围求角 的大小；（2）由余弦定- 13 -理得 ，再根据基本不等式得 ，最后根据面积公式 得最大值试题解析：解：（）因为 ，所以 ，由正弦定理得 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ，在 中， ，所以 ，所以 （）由余弦定理得： ， ， ，当且仅当 时“ ”成立，此时 为等边三角形， 的面积 的最大值为
17、19.2020 年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用 3+3 模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各 150 分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 门科目中自选 3 门参加考试（6 选 3） ，每科目满分 100 分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000 名学生（其中男生 550 人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取 名学生进行调查.（1）已知抽取的 名学生中含女生 45 人，求 的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两
18、个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目） ，下表是根据调查结果得到的 列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的 45 名女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出 9 名女生，再从这 9 名女生中抽取 4 人，设这 4 人中选择“地理”的人数为 ，求 的分布列及期望.选择“物理” 选择“地理” 总计- 14 -男生 10女生 25总计，其中 .0.05 0.013.841 6.635【答案】 （1） ，男生
19、人数为 55 人（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）由题意得 ，解方程即得 的值及抽取到的男生人数.(2)根据已知完成 22 列联表，再利用独立性检验求出 ，所以有 99%的把握认为选择科目与性别有关 （3）先写出 的分布列再求其期望.【详解】 （1）由题意得 ，解得 ，男生人数为：550 =55 人（2）22 列联表为：选择“物理” 选择“地理” 总计男生 45 10 55女生 25 20 45总计 70 30 100- 15 -，所以有 99%的把握认为选择科目与性别有关（3）从 45 名女生中分层抽样抽 9 名女生，所以这 9 名女生中有 5 人选择物理，4 人选择地理，9 名
20、女生中再选择 4 名女生，则这 4 名女生中选择地理的人数 可为 0，1，2，3，4。 设事件 发生概率为 ，则 ， ， ， . 的分布列为：0 1 2 3 4期望 .【点睛】本题主要考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20.如图所示，三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 4,的正三角形，是顶角 的等腰三角形，点 为 上的一动点（1）当 时，求证： ；（2）当直线 与平面 所成角为 时，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）证明见解析；（2） .- 16 -【解析】【分析】（1）证明；取 中点为 ，连接 ， ，由 为正三角形知 ，
21、由余弦定理可证 ，即 平面 ，即可证明 ；（2）以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角 的余弦值.【详解】 （1）证明；取 中点为 ，连接 ， ，由 为正三角形知 ，在 中 ，可得 ，中，由余弦定理可得 ，从而 ，即 ， 所以 平面 ，于是 ，即 ； （2）由（1）知 平面 ，则 与平面 的夹角为 ，在直角 中，可得 ，则点 为线段 的中点， 以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系（由（1）知点 为靠近 的三等分点）,则点 ，从而 ， ， ， 于是 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，不妨取 ，得 ， - 1
22、7 -又平面 的一个法向量为 ，从而 ，故二面角 的余弦值为 .【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属中档题.21.已知函数 .（1）当 时，求函数 的最大值；（2）若 ，且对任意的 恒成立，求实数 的取值范围【答案】(1)0；(2) .【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可；（2）令 （x）=f（x）+1，根据函数的单调性分别求出 （x）的最小值和 g（x）的最大值，得到关于 m 的不等式，解出即可试题解析：（1）函数 的定义域为 ，当 时， ，当 时， ，函数 在 上单调递增，当 时， ，函数 在 上单调递减， .（2
23、）令 ，因为“对任意的 ， 恒成立” ，所以对任意的 ， 成立，由于 ，当 时，对 有 ，从而函数 在 上单调递增，所以 ，- 18 -，当 时， ， 时， ，显然不满足 ，当 时，令 得 ， ，当 ，即 时，在 上 ，所以 在 上单调递增，所以，只需 ，得 ，所以 .当 ，即 时，在 上 ， 单调递增，在 上 ，单调递减，所以 ，只需 ，得 ，所以 .当 ，即 时，显然在 上 ， 单调递增，所以 ，不成立.综上所述， 的取值范围是 .22.在平面直角坐标系 中，已知直线 ： （ 为参数）.以坐标原点 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的直角坐标方程；
24、（2）设点 的直角坐标为 ，直线 与曲线 的交点为 ，求 的值.【答案】(1) (2)3【解析】【分析】(1)把 展开得 ，两边同乘 得 ,再代极坐标公式得曲线 的直角坐标方程.(2) 将 代入曲线 C 的直角坐标方程得 ，再利用直线参数方程 t 的几何意义和韦达定理求解.【详解】 （1）把 ，展开得 ，- 19 -两边同乘 得 将 2=x2+y2，cos=x，sin=y 代入，即得曲线 的直角坐标方程为 （2）将 代入式，得 ，点 M 的直角坐标为（0，3） 设这个方程的两个实数根分别为 t1，t 2，则 t1+t2=-3 . t1.t2=3 t 10， t 20则由参数 t 的几何意义即得
25、 .【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程 t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.23.已知函数 .（1）解不等式 ；（2）若方程 在区间 有解，求实数 的取值范围 .【答案】 （I） ；（II） .【解析】分析：（I）根据零点分段法去掉绝对值符号，写出分段函数，即可解出不等式的解集；（II）方程 在区间 有解等价于函数 和函数 图象在区间 上有交点，求出函数 的值域，即可求得实数 的取值范围详解：（I） 可化为 , 或 或 ；或 或 ； 不等式的解集为 .（II）由题意： ,故方程 在区间 有解 函数 和函数 图象在区间 上有交点.当 时，- 20 - . 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合的思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活使用.- 21 -
