1、- 1 -四川省自贡市 2019 届高三数学上学期第一次诊断性考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知 ， ，则 （ ）A. B. 或C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B，求出 A 与 B 的交集即可【详解】 ，由 B 中不等式变形得： ，解得： ，即 ，AB= ，故选：A【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.若 （其中 为虚数单位） ，则复数 的虚部是（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】计算出 ，即可求
2、出复数 z 的虚部【详解】 复数 的虚部是 2故选 D.【点睛】本题考查了复数的除法运算，其关键是熟练掌握其运算法则3.等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）- 2 -A. 66 B. 99 C. 110 D. 143【答案】D【解析】【分析】由 ，则 由等差数列的前 n 项和公式可求 .【详解】 ，则 则 故选 D.【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列的前 n 项和公式.属基础题.4.若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算即可得到答案【详解】 故选 A.【点睛】本题考查诱导公式及二倍角公式，属基础题.5.在矩形 中， ， ，若向
3、该矩形内随机投一点 ，那么使 与 的面积都小于 4 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题是一个几何概型的概率，以 AB 为底边，要使面积小于 4，则三角形的高要 ，得到两个三角形的高即为 P 点到 AB 和 AD 的距离，得到对应区域，利用面积比求概率- 3 -【详解】 由题意知本题是一个几何概型的概率，以 AB 为底边，要使面积小于 4，由于 ，则三角形的高要 ，同样，P 点到 AD 的距离要小于 ，满足条件的 P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是 ，使得ABP 与ADP 的面积都小于 4 的概率为： ；故选：A【点睛】本题考查几何概型，明确
4、满足条件的区域，利用面积比求概率是关键6.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输入的 分别为 63，36，则输出的 （ ）A. 3 B. 6 C. 9 D. 18【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a，b 的值，即可得到结论【详解】由 a=63，b=36，满足 ab，则 a 变为 63-36=27，由 ab，则 b 变为 36-27=9，由 ba，则 a =27-9=18，由 ba，则，b=18-9=9，- 4 -由 a=b=9，退出循环，则输出的 a 的值为 9故选：C【点睛】本题考查算法和
5、程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题7.已知数列 ，则 是数列 是递增数列的（ ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】若“a 1a 2a 3”，则“数列a n是递增数列” ，不一定，充分性不成立，若“数列an是递增数列” ，则“a 1a 2a 3”成立，即必要性成立，故“a 1a 2a 3”是“数列a n是递增数列”的必要条件故选 B.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.8.将函数 向右平移 个单位后得到函数 ，则 具有性质（ ）A.
6、 在 上单调递增，为偶函数B. 最大值为 1，图象关于直线 对称C. 在 上单调递增，为奇函数D. 周期为 ，图象关于点 对称【答案】A【解析】【分析】由条件根据诱导公式、函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，求得 g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论【详解】将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，- 5 -故当 x 时，2x ，故函数 g（x）在 上单调递增，为偶函数，故选 A【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题9.在四边形 中， ， ，则 （ ）A. 5 B. C. D. 3【答案】C【解析
7、】【分析】利用向量的线性运算化简 .利用向量数量积的运算性质即可得到结论.【详解】【点睛】本题考查向量的线性运算和向量数量积的运算性质，属基础题10.已知函数 （ 为实数）为偶函数，且在 单调递减，则 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，求出 a，c 的关系，结合函数的单调性判断 a 的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可【详解】 =ax2+（c-a）x-c 为偶函数，f（-x）=f（x） ，则 ax2-（c-a）x-c=ax 2+（c-a）x-b，- 6 -即-（b-c）=c-a，得 c-a=0，得 c=a，则 f（x）=ax 2-a=a（
8、x 2-1） ，若 f（x）在（0，+）单调递减，则 a0，由 f（1-x）0 得 a（1-x） 2-1）0，即（1-x） 2-10，得 x2 或 x0，即不等式的解集为（ ，故选 D .【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出 a，c 的关系是解决本题的关键11.若长方体 的顶点都在体积为 的球 的球面上，则长方体的表面积的最大值等于（ ）A. 576 B. 288 C. 144 D. 72【答案】B【解析】【分析】求出球的半径，设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是球的直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值【详解】由球的体积为 ，可得 设长方体的三边为：a
9、，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，由题意可知 ，长方体的表面积为： ；当 a=b=c 时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大故选 B.【点睛】本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力；注意利用基本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用12.对于实数 ，下列说法：若 ，则 ；若 ，则 ；若，则 ； 若 ，且 ，则 ，其中正确的- 7 -命题的个数（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】由不等式可乘性，即可判断；由 f（x）=x|x|在 R 上递增，可判断；运用作差和不等式的性质，可判断；运用绝对值函数
10、 y=|lnx|的图象和性质，以及对勾函数的单调性，可判断【详解】对于实数 ，若 ，则 m=0， ，不成立；由 f（x）=x|x|为奇函数，且 x0 时，f（x）递增，可得 f（x）在 R 上递增，若 ab，则 a|a|b|b|成立；若 ba0，m0，则可得 成立；若 ab0 且|lna|=|lnb|，则 lnalnb，即有 a1，0b1，可得 lna+lnb=0，即在（1，+）递增，可得 成立所以不正确故选：B【点睛】本题考查函数的性质和运用，注意运用函数的单调性和奇偶性、以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. _【答案
11、】【解析】【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果【详解】 即答案为 .【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题- 8 -14.设变量 满足约束条件 ，则 的最小值为 _【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由约束条件 作出可行域如图，令 ，化为 ，由图可知，当直线 过点 时，直线在 y 轴上的截距最小， 有最小值为 故答案为 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15.通常，满分为 分的试卷，
12、分为及格线.若某次满分为 分的测试卷， 人参加测试，将这 人的卷面分数按照 ， ， 分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以 取整”的方法进行换算以提高及格率（实数 的取整等于不超过 的最大整数） ，如：某位学生卷面 分，则换算成 分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为_ （结果用小数表示）- 9 -【答案】【解析】分析：结合题意可知低于 36 分的为不及格，从而算出及格率详解：由题意可知低于 36 分的为不及格，若某位学生卷面 36 分，则换算成 60 分作为最终成绩，由频率直方图可得 组的频率为 ，所以这次
13、测试的及格率为点睛：本题考查了频率分布直方图，频率的计算方法为：频率 ，结合题目要求的转化分数即可算出结果。16.函数 存在唯一的零点 ，且 ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】讨论 a 的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可【详解】（i）当 时， ，令 ，解得 ，函数 有两个零点，舍去（ii）当 时， ，令 ，解得 x=0 或 当 a0 时， 0，当 x 或 x0，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减；当- 10 -0x- 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增故 x= 是函数 f（x）的极大值点，0 是函数 f（x）的极小值点函
14、数 f（x）=ax 3+3x2-1 存在唯一的零点 x0，且 x00，则 即 a24 得 a2（舍）或 a-2当 a0 时 0，当 x 或 x0 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增；当 x0 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减x= 是函数 f（x）的极大值点，0 是函数 f（x）的极小值点f（0）=-10，函数 f（x）在（0，+）上存在一个零点，此时不满足条件综上可得：实数 a 的取值范围是（-，-2） 故答案为：（-，-2） 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题 （本大题共 6 题，共
15、 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.已知向量（1）当 时，求 的值；（2）已知钝角 中，角 为钝角， 分别为角 的对边，且 ，若函数，求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）根据 得出 ，化简 得出结果；（2）根据正弦定理得出 ，代入 f（B） ，求出 f（B）的值【详解】 （1） , ，即 - 11 -,（2） ，由角 为钝角知 ，.【点睛】本题考查了平面向量垂直与坐标的关系，三角函数的化简求值，属于中档题18.某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二
16、孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知 100 人中同意父母生“二孩”占 60%，统计情况如下表：同意 不同意 合计男生 a 5女生 40 d合计 100（1）求 a， d 的值；（2）根据以上数据，能否有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；附：0.15 0.100 0.050 0.025 0.0102.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】 （1） ；（2）能.- 12 -【解析】【分析】（1）由题意填写列联表即可；（2）根据表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论【详解】 （1）因为 100 人中同意父母生“二孩”占 60%，所以 ，
17、（2）由列联表可得而所以有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关.【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题19.若数列 的前 项和为 ，首项 ，且（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） 或 ；（2） .【解析】【分析】（1）令 ，根据 ，由 ，求出 ，当由 可求数列 的通项公式；（2）由 ，可得 ，利用裂项相消法可求数列 的前 项和 .【详解】 （1） 且 ,- 13 -,（2）由,【点睛】本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定与裂项法求和，考查分类讨论思想与推理运算及证明能力，属于中档题20.如图，四棱锥 中
18、，侧面 为等边三角形，且平面 底面 ， .（1）证明： ；（2）点 在棱 上，且 ，若三棱锥 的体积为 ，求实数 的值.【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】【分析】（1）推导出 ABAD，从而 AB平面 PAD，由此能证明 PDAB（2）设点 M 到平面 ACD 的距离为 ，由 求出 ，由 求得实数 的值【详解】 （1）证明：取 AD 的中点 O，连 OC,OP- 14 - 为等边三角形，且 O 是边 AD 的中点平面 底面 ，且它们的交线为 AD （2）设点 M 到平面 ACD 的距离为 【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多
19、面体的体积，是中档题21.已知函数 （1）若 ，求 的单调区间；（2）若 有极值，对任意的 ，当 ，存在 使 ，试比较 与的大小.【答案】 （1）递增区间 ，递减区间 ；（2） .【解析】【分析】（1） 的定义域为 ，求导 ，由此求得 的单调区间；- 15 -（2）由（1）当 时， 存在极值.则 ，设 .则 . 令 ，利用导数研究函数的性质即可得到【详解】解：（1） 的定义域为 ，当 时， ， 单调递增.当 时， , 单调递减.(2) 由（1）当 时， 存在极值.由题设得 .又 ，设 .则 .令 ，则- 16 -所以 在 上是增函数，所以又 ，所以 ，因此 ，即【点睛】本题考查利用导数研究函数
20、单调性，考查函数与方程思想思想，综合性强，难度大22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为： （ 为参数， ） ，以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 的极坐标方程为： （1）求圆 的直角坐标方程；（2）设点 ，若直线 与圆 交于 两点，求 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）消去参数 t，可得直线 l 的普通方程，根据 cos=x，sin=y， 2=x2+y2可得圆C 的普通坐标方程，利用圆心到直线的距离可得 的值（2）利用直线的参数的几何意义，将直线带入圆中，利用韦达定理可得答案【详解】 （1）圆 （2） 将 代入设点 所对应的参数为 则 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，本题考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.23.设函数 - 17 -（1）当 时，求不等式 的解集；（2）对任意实数 ，都有 成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】【分析】（1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为，作图根据图象可知 .【详解】 （1）当 时，当 时 当 时当 时 综上: （2）对任意实数 ，都有 成立，即根据图一所示当 时 则根据图二所示当 时 则根据图三所示当 时 则 .综上可知【点睛】本题考查了绝对值的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题- 18 - 19 -
