1、- 1 -河北省大名县第一中学 2018-2018 学年高二数学下学期第七周周考试题 文一、选择题（共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分）1已知全集 ， ，则 =（ ）A B C D2下列结论错误的是A命题 ：“ ，使得 ”，则 ：“ ， ”B “ ”是“ ”的充分不必要条件C等比数列 中的D已知 ， ，则 的最小值为 8.3在 ABC 中， A=30，a=4，b=5，那么满足条件的 ABC（ ）A无解 B有一个解 C有两个解 D不能确定4已知实数 x， y，则“ ”是“ ”的（ ）A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件5已知 是等差数列， 是正项等
2、比数列，且，则 （ ）A2026 B2027 C2274 D25306已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）A B C D7已知等差数列 和等比数列 各项都是正数，且 ， .那么一定有（ ）A B C D8已知函数 为偶函数，当 时， ，则 的解集为（ ）A B C D9若函数 f（ x）=log 2（ x2-2x+a）的最小值为 4，则 a=（ ）- 2 -A16 B17 C32 D3310已知函数 满足 ，且当 时， 成立，若， ， ，则 a， b， c 的大小关系是( )Aa B C Dc11已知定义在 R 上的奇函数 满足 ，且当 时，若 ，则 （ ）A B C D12已
3、知定义在 R 上的函数 f（ x）对于任意的实数 x 都满足 f（ x+3）=- f（ x） ，且当x0，3时， f（ x）= ex-1+3，则 f（1228）=（ ）A B4 C D13已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则实数 a 的取值范围是( )A B C D14已知函数 在 上单调，且函数 的图象关于直线 对称，若数列是公差不为 0 的等差数列，且 ，则 的前 100 项的和为（ ）A300 B100 C D二、填空题（共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）15命题 , ，则 是_；16已知实数 x，y 满足 ，则 的取值范围为_17已知向量 ， ， ，且 ，则 _18设
4、数列 是正项数列，若 ，则 _.三、解答题（共 3 个小题，每小题 10 分，共 30 分）19已知正项等比数列 中， ，且 成等差数列 .（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .- 3 -20直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （其中 为参数） ；以 为极点，以 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，曲线 ：.（1）求曲线 的普通方程和极坐标方程；（2）已知直线 与曲线 和曲线 分别交于 和 两点（均异于点 ） ，求线段 的长.21某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼
5、的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间/分钟总人数 20 36 44 50 40 10将学生日均体育锻炼时间在 的学生评价为“锻炼达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的 列联表；锻炼不达标 锻炼达标 合计男- 4 -女 20 110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出 5 人，进行体育锻炼体会交流，再从这 5 人中选出 2 人作重点发言，求作重点发言的 2 人中，至少 1 人是女生的概率.参考公式： ，其中 .临界值表0.10 0.05 0.025 0.0102.706
6、3.841 5.024 6.635- 5 -参考答案1C【详解】解： ， ，.故选 C.2D【解析】对 A,由特称命题的否定判断即可；对 B，求出 的充要条件即可判断；对 C,由等比中项即可判断；对 D,利用基本不等式求最值即可判断【详解】对 A, 由特称命题否定为全称命题可知 ：“ ， ”，故 A 正确；对 B， 的充要条件为 x=4 或 x=-1,所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 B 正确；对 C,由等比中项知 ,解得 x ,故 C 正确；对 D, ,当且仅当 a=b= 取等，故 D 错误3C【解析】根据余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 的式子，代入题中数据化简得 c2-5
7、 c+9=0，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得ABC 有两个解【详解】在ABC 中，A=30，a=4，b=5，由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA，得16=25+c2-10ccos30，得 c2-5 c+9=0（*）=（5 ） 2-419=390，且两根之和、两根之积都为正数，方程（*）有两个不相等的正实数根，即有两个边 c 满足题中的条件，由此可得满足条件的ABC 有两个解4B【解析】找出 与 所表示的区域，再根据小范围推大范围可得结果- 6 -【详解】表示的区域是以 为顶点的正方形及内部，表示的区域是以 为圆心，1 为半径的圆及内部，正方形是圆的内接
8、正方形， 推不出 ，“ ”是“ ”的充分而不必要条件5C【解析】设等差数列 的公差为 ，正项等比数列 的公比为 ，利用等差数列和等比数列的通项公式，求得 的值，即可求解.【详解】设等差数列 的公差为 ，正项等比数列 的公比为 ，因为 ，所以 ，解得 ，则 ，故选 C.6B【解析】先求得函数的对称轴，再由函数在 上单调递增，则对称轴在区间的左侧求解【详解】函数 y4 x2 kx8 的对称轴为： x函数在 上单调递增 5 k40【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴7B- 7 -【解析】由已知得 ，利用均值不等式即可比
9、较 大小.【详解】因为等差数列 和等比数列 各项都是正数，且 ， ，所以 ，所以 .当且仅当 时，取等号，此时公比为 1.8A【解析】根据 x0，+）时， f（ x） x1，需分 x10 与 x10 讨论解决，最后取其并集即可【详解】当 x0，+）时， f（ x） x1， x10，即 x1 时， f（ x1）（ x1）1 x20，解得 x2，1 x2；即 x1 时，不等式 f（ x1）0 的解集为 x|1 x2；又函数 f（ x）是偶函数， x10 即 x1 时， f（ x1） f（1 x）（1 x）1 x0，解得 x0，0 x1即 x1 时，不等式 f（ x1）0 的解集为 x|0 x1；不
10、等式 f（ x1）0 的解集为 x|1 x2 x|0 x1 x|0 x2【点睛】本题考查奇偶性与单调性的综合，难点在于对 x10 与 x10 的分类讨论与应用，综合考查函数的奇偶性与单调性，属于难题9B【解析】由对数函数的单调性可得 y= x2-2x+a 的最小值为 16，配方即可得到所求最小值，解方程可得 a【详解】函数 f（ x）=log 2（ x2-2x+a）的最小值为 4， - 8 -可得 y= x2-2x+a 的最小值为 16， 由 y=（ x-1） 2+a-1， 可得 a-1=16，即 a=17， 10C【解析】根据题意，构造函数 h（ x） xf（ x） ，则 a h（2 0.6
11、） ， b h（ ln2） ， c（ ）f（ ） h（3） ，分析可得 h（ x）为奇函数且在（，0）上为减函数，进而分析可得 h（ x）在（0，+）上为减函数，分析有 0 ln212 0.6，结合函数的单调性分析可得答案【详解】解：根据题意，令 h（ x） xf（ x） ，h（ x）（ x） f（ x） xf（ x） h（ x） ，则 h（ x）为奇函数；当 x（，0）时， h（ x） f（ x）+ xf（ x）0，则 h（ x）在（，0）上为减函数，又由函数 h（ x）为奇函数，则 h（ x）在（0，+）上为减函数，a（2 0.6） f（2 0.6） h（2 0.6） ， b（ ln2）
12、f（ ln2） h（ ln2） ， c（ ）f（ ） h（ ） h（3） ，因为 0 ln212 0.6，则有 ；11A【解析】根据题意，分析可得函数的周期为 4，进而可得 ， ，据此可得，则有 ，结合函数的周期性可得 ，结合函数的解析式可得答案【详解】根据题意，函数 满足 ，则有 ，即函数的周期为 4，故 ， ，- 9 -若 ，则有 ，又由函数 为奇函数，则有 ，变形可得 ，又由当 时， ，则有 ，解可得 ；12A【解析】由 f（ x+3）=- f（ x）推导函数的周期，利用周期和0，3的解析式可求 f（1228）的值【详解】定义在 R 上的函数 f（x）对于任意的实数 x 都满足 f（x+
13、3）=-f（x） ，f（x+6）=-f（x+3）=f（x） ， 即函数周期为 6，当 x0，3时，f（x）=e x-1+3， f（1228）=f（2046+4）=f（4）=-f（1）=-（e 1-1+3）=-4 13D【解析】由题意可得 ， ；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可【详解】 ， ，又 。当 时， 有两个零点，不合题意；当 时， 在 上有零点，不合题意；当 时， 在 上有且只有一个零点；故 在 上没有零点；而当 时， 在 上取得最小值；故 ，解得 。综上所述实数 的取值范围是 ；14D【解析】【分析】- 10 -由函数 y f（ x2）的图象关于 x1 轴对称，平移可得 y f（
14、 x）的图象关于 x1 对称，由题意可得 a50+a512，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和【详解】函数 f（ x）在（1，+）上单调，且函数 y f（ x2）的图象关于 x1 对称，可得 y f（ x）的图象关于 x1 对称，由数列 an是公差不为 0 的等差数列，且 f（ a50） f（ a51） ，可得 a50+a512，又 an是等差数列，所以 a1+a100 a50+a512，则 an的前 100 项的和为 10015【详解】由题命题 p 的否定为：故答案为16【解析】画出不等式组表示的可行域， 表示（x,y）与（3,1）连线斜率即可求解【详解】由题不等式组表示的可行
15、域如图阴影所示表示（x,y）与 M（3,1）连线斜率,当连线过 A, 斜率 k 最小,联立 得 A(-1,8)，此时 k=当连线过 B，斜率 k 最大，联立 得 B(-1,-1), 此时 k=的取值范围为- 11 -17【详解】因为 ， ，所以 ，因为 ，所以 ，因此 ，从而 .18【解析】 数列 是正项数列，且 ， 可得： ，可得则点睛：本题主要考查的知识点是数列的概念及简单表示法。通过已知的条件求出数列的通项公式，然后化简所求的数列的各项，最后再利用等差数列求出数列的和。19 （1） （2） 【解析】（1）由等比数列和等差数列的通项公式列出方程可求公比 q,由此能求数列a n的通项公式 （
16、2）写出数列 的通项公式，然后利用裂项相消求和法可得结果.【详解】（1）设等比数列 的公比为因为 成等差数列，所以 ，得 ，- 12 -又 ，则 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以显然 ，所以 ，解得故数列 的通项公式（2）由（1）知，所以则 【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的应用，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题.20 （1） 的普通方程为 ， 的极坐标方程为 ；（2） .【解析】（1）根据参数方程和极坐标方程化普通方程的公式得到结果；（2）设 ，将点 M，N 代入极坐标方程得到极径，进而得到结果.【详解】（1）因为曲线 的参数方程为 （其中 为参数） ，所以 的普通方程为
17、在极坐标系中，将 代入得 ，化简得， 的极坐标方程为 （2）因为直线 的极坐标方程为 ，且直线 与曲线 和曲线 分别交于 ， ，则可设 ， ，将 代入得 ，将 代入曲线 ： 得 .所以 .【点睛】- 13 -这个题目考查了极坐标和参数方程与普通方程的互化，考查了极坐标下两点间的距离的计算.极坐标下，极径代表了距离，两点间距离可以转化为极径的差与和.21 （1）见解析（2）【详解】（1）锻炼不达标 锻炼达标 合计男 60 30 90女 90 20 110合计 150 50 200由 列联表中数据，计算得到 的观测值为 .所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关.（2） “锻炼达标”的学生有 50 人，男、女生人数比为 ，故用分层抽样方法从中抽取 5 人，有 3 人是男生，记为 ，有 2 人是女生，记为 ，则从这 5 人中选出 2 人，选法有 共 10 种，设事件 表示“作重点发言的 2 人中，至少有 1 人是女生” ，则事件 发生的情况为 ，共 7 种.所以所求概率为 .- 14 -
