1、1河南省开封市金明区水稻中学 2019 年中考数学二模试题一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1下列各数中，最小的数是（ ）A2019 B2019 C D22018 年我市粮食总产量为 69520000000 斤，69520000000 科学记数法表示为（ ）A6.95210 6 B6.95210 9 C6.95210 10 D695.210 83下列不是正三棱柱的表面展开图的是（ ）A B C D4下列计算正确的是（ ）A2 2 4 B2C2 a3+3a25 a5 D（ a5） 2 a75已知关于 x 的不等式组只有 5 个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ）A3 x
2、2 B3 x2 C4 x3 D4 x36已知在 ABC 中，点 D、 E、 F 分别在边 AB、 AC 和 BC 上，且 DE BC， DF AC，那么下列比例式中，正确的是（ ）A B C D7小明调查了班级里 20 位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图的统计图在这 20 位同学中，本学期购买课外书的花费的众数和中位数分别是（ ）A50，50 B50，30 C80，50 D30，508关于 x 的一元二次方程 4x24 kx+k20 根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根9如图，抛物线 y ax2+bx+c（ a0）与 x
3、 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x1，当 y0时， x 的取值范围是（ ）A1 x1 B3 x1 C x1 D3 x110如图，把半径为 2 的 O 沿弦 AB， AC 折叠，使和都经过圆心 O，则阴影部分的面积为（ ）2A B C2 D4二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）111 2018+（1） 0 12如图， ABCD 的对角线相交于点 O，且 AD CD，过点 O 作 OM AC，交 AD 于点 M如果 CDM 的周长为 8，那么 ABCD 的周长是 13已知一组数据 10，15，10， x，18，20 的平均数为 15，则这组数据的方差为 14如图所示，在
4、正方形 ABCD 中， G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点已知 FG2，则线段 AE 的长度为 15如图，在等边三角形 ABC 中， AB2 cm，点 M 为边 BC 的中点，点 N 为边 AB 上的任意一点（不与点 A， B 重合），若点 B 关于直线 MN 的对称点 B恰好落在等边三角形 ABC 的边上，则 BN 的长为 cm三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16（8 分）先化简，再求值：（ +），其中 a， b17（9 分）在甲、乙两个不透明的布袋中，甲袋装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋
5、装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字1，2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，小球上的数字记为 x，再从乙袋中随机抽取一个小球，小球上的数字记为 y，设点 M 的坐标为（ x， y）（1）用树形图或列表法求出点 M 的所有等可能个数；（2）分别求点 M 在函数 y x+1 图象上的概率和点 M 在第四象限的概率18（9 分）如图， CD 是 O 的直径，且 CD2 cm，点 P 为 CD 的延长线上一点，过点 P 作 O 的切线 PA、 PB，切点分别为 A、 B（1）连接 AC，若 APO30，试证明 ACP 是等腰三角形；（2）填空：当的长为 cm 时，四边形 AOBD 是菱形；当 DP
6、 cm 时，四边形 AOBP 是正方形19（9 分）如图， BC 是路边坡角为 30，长为 10 米的一道斜坡，在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有3一探射灯，射出的边缘光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角 DAN 和 DBN 分别是 37和60（图中的点 A、 B、 C、 D、 M、 N 均在同一平面内， CM AN）（1）求灯杆 CD 的高度；（2）求 AB 的长度（结果精确到 0.1 米）（参考数据：1.73sin370.60，cos370.80，tan370.75）20（9 分）2018 年 4 月 8 日11 日，博鳌亚洲论坛 2018 年年会在海南省博鳌镇召开本届博鳌亚
7、洲论坛的主题为“开放创新的亚洲，繁荣发展的世界”围绕这一主题，年会设置了“全球化与一带一路”“开放的亚洲”“创新”“改革再出发”四大板块，展开 60 多场正式讨论某厂准备生产甲、乙两种商品共 8 万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知 2 件甲种商品与3 件乙种商品的销售收入相同，3 件甲种商品比 2 件乙种商品的销售收入多 1500 元（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于 5400 万元，则至少销售甲种商品多少万件？21（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y12 x 的图象与反比例函数y2的图象交于 A（1， n）
8、， B 两点（1）求出反比例函数的解析式及点 B 的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足 y2 的取值范围；（3）点 P 是第四象限内反比例函数的图象上一点，若 POB 的面积为 1，请直接写出点 P 的横坐标22（10 分）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题（1）如图 1， ABC 是等边三角形，点 D 是边 BC 下方一点， BDC120，探索线段DA、 DB、 DC 之间的数量关系解题思路：延长 DC 到点 E，使 CE BD，连接 AE，根据 BAC+
9、BDC180，可证 ABD ACE易证得 ABD ACE，得出 ADE 是等边三角形，所以 AD DE，从而探寻线段 DA、 DB、 DC 之间的数量关系根据上述解题思路，请直接写出 DA、 DB、 DC 之间的数量关系是 ；【拓展延伸】4（2）如图 2，在 Rt ABC 中， BAC90， AB AC若点 D 是边 BC 下方一点， BDC90，探索线段 DA、 DB、 DC 之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图 3，两块斜边长都为 14cm 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离 PQ 的长分别为 cm23（11 分）如图，直线 y x+4 与抛物线
10、 y x2+bx+c 交于 A， B 两点，点 A 在 y 轴上，点 B在 x 轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在 x 轴下方的抛物线上存在一点 P，使得 ABP90，求出点 P 坐标；（3）点 E 是抛物线对称轴上一点，点 F 是抛物线上一点，是否存在点 E 和点 F 使得以点E， F， B， O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由5参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】先在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论【解答】解：如图所示，故最小的是：2019故选： A【点评】本题考查的是有理数的大小
11、比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键2【分析】根据科学记数法的方法可以将题目中的数据用科学记数法表示出来【解答】解：695200000006.95210 10，故选： C【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，解答本题的关键是明确题意，利用科学记数法的方法解答3【分析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题【解答】解： A、 B、 C 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图 D 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有故 D 不能围成三棱柱故选： D【点评】本题考查几何体的展开图，记住棱柱表面
12、展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧4【分析】根据负整数指数幂、算术平方根定义、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则逐一判断即可得【解答】解： A、2 2 ，此选项错误；B、2，此选项正确；C、2 a3与 3a2不是同类项，不能合并，此选项错误；D、（ a5） 2 a10，此选项错误；故选： B【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握负整数指数幂、算术平方根定义、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则65【分析】先解每一个不等式，再根据不等式组有 5 个整数解，确定含 a 的式子的取值范围【解答】解：解不等式 x a0，得： x a，解不等式 52 x1，得： x2，则不等式组的
13、解集为 a x2，不等式组的整数解只有 5 个，不等式组的整数解为3、2、1、0、1，则4 a3，故选： C【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含 a 的代数式的取值范围6【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得 A 正确【解答】解： DE BC， DF AC，故选： A【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理解题的关键是注意根据题意作图，利用数形结合思想求解7【分析】根据扇形统计图分别求出购买课外书花费分别为 100、80、50、30、20 元的同学人数，再根据众数、中位数的定义即可求解【解答】解：由扇形统计图可知，购买课外书花费为 10
14、0 元的同学有：2010%2（人），购买课外书花费为 80 元的同学有：2025%5（人），购买课外书花费为 50 元的同学有：2040%8（人），购买课外书花费为 30 元的同学有：2020%4（人），购买课外书花费为 20 元的同学有：205%1（人），20 个数据为100，100，80，80，80，80，80，50，50，50，50，50，50，50，50，30，30，30，30，20，在这 20 位同学中，本学期计划购买课外书的花费的众数为 50 元，中位数为（50+50）250（元）；7故选： A【点评】本题考查了扇形统计图，中位数与众数，注意掌握通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部
15、分数量同总数之间的关系8【分析】根据方程的系数结合根的判别式，找出（4 k） 244 k216 k216 k20，由此即可得出方程有两个相等的实数根【解答】解：在方程 4x24 kx+k20 中，（4 k） 244 k216 k216 k20，有两个相等的实数根，故选： A【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键9【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一交点坐标，然后结合函数图象可以直接得到答案【解答】解：抛物线 y ax2+bx+c（ a0）与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x1，抛物线与 x 轴的另一交点坐标是（3，0），当
16、 y0 时， x 的取值范围是3 x1故选： D【点评】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征解题时，利用了“数形结合”的数学思想10【分析】作 OD AC 于点 D，连接 AO， BO， CO，求出 OAD30，得到 AOB2 AOD120，进而求得 AOC120，再利用阴影部分的面积2 S AOC求出即可【解答】解：作 OD AC 于 D，连接 AO、 BO、 CO， OD AO1， AD AC， OAD30， AOC2 AOD120，同理 AOB120， BOC120，阴影部分的面积2 S AOC2212，故选： C8【点评】本题主要考查了翻折变换的
17、性质、扇形面积以及圆的面积公式等知识，解题的关键是确定 AOC120二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）11【分析】直接利用幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式1+10故答案为：0【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键12【分析】根据题意， OM 垂直平分 AC，所以 MC MA，因此 CDM 的周长 AD+CD，可得平行四边形 ABCD 的周长【解答】解： ABCD 是平行四边形， OA OC， OM AC， AM MC CDM 的周长 AD+CD8，平行四边形 ABCD 的周长是 2816故答案为 16【点评】此题考查了平行四边形的
18、性质及周长的计算，根据线段垂直平分线的性质，证得AM MC 是解题的关键13【分析】先根据平均数为 15 列出关于 x 的方程，解之求得 x 即可知完整的数据，再根据方差公式计算可得【解答】解：数据 10，15，10， x，18，20 的平均数为 15，15，解得： x17，则这组数据为 10，15，10，17，18，20，这组数据的方差是： 2（1015） 2+（1515） 2+（1715） 2+（1815） 2+（2015） 2，故答案为：【点评】本题主要考查算术平均数、方差，解题的关键是熟练掌握算术平均数的定义与方差的计算公式914【分析】根据正方形的性质可得出 AB CD，进而可得出
19、ABF GDF，根据相似三角形的性质可得出2，结合 FG2 可求出 AF、 AG 的长度，由 CG AB、 AB2 CG 可得出 CG 为 EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出 AE 的长度，此题得解【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， AB CD， AB CD， ABF GDF， BAF DGF， ABF GDF，2， AF2 GF4， AG6 CG AB， AB2 CG， CG 为 EAB 的中位线， AE2 AG12故答案是：12【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出 AF 的长度是解题的关键15【分析】如图 1
20、，当点 B 关于直线 MN 的对称点 B恰好落在等边三角形 ABC 的边 AB 上时，于是得到 MN AB， BN BN，根据等边三角形的性质得到 AC BC， ABC60，根据线段中点的定义得到 BN BM，如图 2，当点 B 关于直线 MN 的对称点 B恰好落在等边三角形 ABC 的边A， C 上时，则 MN BB，四边形 BMB N 是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论【解答】解：如图 1，当点 B 关于直线 MN 的对称点 B恰好落在等边三角形 ABC 的边 AB 上时，则 MN AB， BN BN， ABC 是等边三角形， AB AC BC， ABC60，点 M 为边 BC 的中点
21、， BM BC AB， BN BM，如图 2，当点 B 关于直线 MN 的对称点 B恰好落在等边三角形 ABC 的边 A， C 上时，则 MN BB，四边形 BMB N 是菱形，10 ABC60，点 M 为边 BC 的中点， BN BM BC AB，故答案为：或【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a、 b 的值代入计算可得【解答】解：原式（+）（ a b+a+b） b a b，当 a， b时，原式+2【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键
22、是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则17【分析】（1）通过列表展示所有 9 种等可能的结果数；（2）找出满足点（ x， y）落在函数 y x+1 的图象上及点 M 在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）列表如下：0 1 21 （0，1） （1，1） （2，1）2 （0，2） （1，2） （2，2）0 （0，0） （1，0） （2，0）所以点 M 的所有等可能的个数是 9；（2）满足点（ x， y）落在函数 y x+1 图象上的结果有 2 个，即（2，1），（1，0），所以点 M（ x， y）在函数 y x+1 图象上的概率是，因为点（1，1），（2，1），（1，2）和（2，
23、2）落在第四象限，所以点 M 在第四象限的概率是11【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率18【分析】（1）如图 1，连接 AO，根据切线的性质得到 PAO90，根据三角形内角和得到 AOP60，根据等腰三角形的性质得到 C CAO30，即可得到结论；（2）由四边形 AOBD 是菱形，得到 AO AD，由于 AO OD，推出 AOD 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到 AOD60，易得圆心角为 120 度或 240 度根据弧长公式进行计算即可；当四边形
24、 AOBP 为正方形时，则有 PA OA，再结合切割线定理可求得 PD，可得出答案【解答】解：（1）如图 1，连接 AO， PA 是 O 的切线， PAO90， APO30， AOP60， OA OC， C CAO30， C APO， ACP 是等腰三角形；（2）如图 2，四边形 AOBD 是菱形， AO AD， AO OD， AOD 是等边三角形， AOD60，则 AOB120，的长为：或故答案是：或；当四边形 AOBP 为正方形时，则有 PA AO1 cm， PA 为 O 的切线， PA2 PDPC，且 CD2 cm，1 PD（ PD+2），整理可得 PD2+2PD10，12解得 PD1
25、或 PD1（舍去）， PD1（ cm），当 PD（1） cm 时，四边形 AOBP 为正方形；故答案为：（1）【点评】本题考查了切线的性质，菱形的性质，含 30角的直角三角形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键19【分析】（1）延长 DC 交 AN 于 H只要证明 BC CD 即可；（2）在 Rt BCH 中，求出 BH、 CH，在 Rt ADH 中求出 AH 即可解决问题；【解答】解：（1）延长 DC 交 AN 于 H DBH60， DHB90， BDH30， CBH30， CBD BDC30， BC CD10（米）（2）在 Rt BCH 中， CH BC
26、5， BH58.65， DH15，在 Rt ADH 中， AH20， AB AH BH208.6511.4（米）【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型20【分析】（1）可设甲种商品的销售单价 x 元，乙种商品的销售单价 y 元，根据等量关系：2 件甲种商品与 3 件乙种商品的销售收入相同，3 件甲种商品比 2 件乙种商品的销售收入多1500 元，列出方程组求解即可；（2）可设销售甲种商品 m 万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于 5400 万元，列出不等式求解即可【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价是 x
27、 元，乙种商品的单价为 y 元根据题意，得13解得答：甲种商品的销售单价是 900 元，乙种商品的单价为 600 元（2）设销售甲种商品 m 万件，则销售甲种商品（8 m）万件根据题意，得 900m+600（8 m）5400解得 m2答：至少销售甲种商品 2 万件【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系21【分析】（1）把 A（1， n）代入 y2 x，可得 A（1，2），把 A（1，2）代入 y，可得反比例函数的表达式为 y，再根据点 B 与点 A 关于原点对称，即可得到 B 的坐标；（2）观察函数图象即可求解
28、；（3）设 P（ m，），根据 S 梯形 MBPN S POB1，可得方程（2+）（ m1）1 或（2+）（1 m）1，求得 m 的值，即可得到点 P 的横坐标【解答】解：（1）把 A（1， n）代入 y2 x，可得 n2， A（1，2），把 A（1，2）代入 y，可得 k2，反比例函数的表达式为 y，点 B 与点 A 关于原点对称， B（1，2）（2） A（1，2）， y2 的取值范围是 x1 或 x0；（3）作 BM x 轴于 M， PN x 轴于 N， S 梯形 MBPN S POB1，设 P（ m，），则（2+）（ m1）1 或（2+）（1 m）1整理得， m2 m10 或 m2+m+
29、10，解得 m或 m， P 点的横坐标为【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次14函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式22【分析】（1）由等边三角形知 AB AC， BAC60，结合 BDC120知 ABD+ ACD180，由 ACE+ ACD180知 ABD ACE，证 ABD ACE 得AD AE， BAD CAE，再证 ADE 是等边三角形得 DA DE DC+CE DC+DB（2）延长 DC 到点 E，使 CE BD，连接 AE，先证 ABD ACE 得 AD AE， BAD CAE，据此可得 DAE BAC90，由勾股定理知 DA2+AE
30、2 DE2，继而可得 2DA2（ DB+DC） 2；（3）由直角三角形的性质知 QN MN7， MQ7，利用（2）中的结论知 PQ QN+QM7+7，据此可得答案【解答】解：（1）如图 1，延长 DC 到点 E，使 CE BD，连接 AE， ABC 是等边三角形， AB AC， BAC60， BDC120， ABD+ ACD180，又 ACE+ ACD180， ABD ACE， ABD ACE（ SAS）， AD AE， BAD CAE， ABC60，即 BAD+ DAC60， DAC+ CAE60，即 DAE60， ADE 是等边三角形， DA DE DC+CE DC+DB，即 DA DC+
31、DB，故答案为： DA DC+DB；（2） DA DB+DC，如图 2，延长 DC 到点 E，使 CE BD，连接 AE， BAC90， BDC90， ABD+ ACD180， ACE+ ACD180，15 ABD ACE， AB AC， CE BD， ABD ACE， AD AE， BAD CAE， DAE BAC90， DA2+AE2 DE2，2 DA2（ DB+DC） 2， DA DB+DC；（3）如图 3，连接 PQ， MN14， QMN30， QN MN7， MQ7，由（2）知 PQ QN+QM7+7， PQ，故答案为：【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定
32、和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键23【分析】（1）由直线表达式求出点 A、 B 的坐标，把 A、 B 点坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2） OA OB4，则 OB 为 AC 的垂直平分线，则点 C 坐标为（0，4），求出直线 BC 的表达式，即可求解；（3）存在；分 OB 是平行四边形的一条边或一条对角线两种情况，分别求解即可【解答】解：（1） y x+4，令 x0，则 y4，令 y0，则 x4，故：点 A、 B 的坐标分别为（0，4）、（4，0），把 A、 B 点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，则：求抛物线的解析式为： y
33、x2+x+4；（2） OA OB4， ABO45，16 ABP90，则 OB 为线段 AC 的垂直平分线，则点 C 坐标为（0，4），则：直线 BC 的表达式为： y kx4，把点 B 点坐标代入上式，解得： k1，故：直线 BC 的表达式为： y x4，将联立解得： x4（舍去正值），故点 P 的坐标为（4，8）；（3）存在；当 OB 是平行四边形的一条边时，以 E， F， B， O 为顶点的四边形是平行四边形时，有如下图所示的两种情况：先求解左侧图中 F 点的坐标，此时 EF OB4，则：点 F 的横坐标为 5，把点 F（或 F）的横坐标代入二次函数表达式，解得： y，即点 F 坐标为（5
34、，），同理：点 F 的坐标为（3，）；当 OB 是平行四边形的对角线时，以 E， F， B， O 为顶点的四边形是平行四边形时，有如下图所示的一种情况： OE BF为平行四边形， OE BF， BOE F BO，过点 E、 F分别作 x 轴的平行线，分别交 y 轴和 y 轴的平行线与点 M、 N， MOE90 BOE， NBF90 F BO， MOE NBF，又 OE BF， OME BNF90， OME BNF（ AAS）， OM BN1， ME F N，设： BN m，则：点 F坐标为：（3， m），把点 F坐标代入二次函数表达式，解得： m，故：点 F坐标为（3，），综上所述：点 F 的坐标为（5，）或（3，）或（3，）【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数基本知识、平行四边形、全等三角形等相关知识，难点在于（3）中分情况确定平行四边形所处的位置17
