1、- 1 -2018 学年第一学期杭州八校联盟期中联考高一年级数学学科试题一、选择题。1.设集合 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据元素和集合的关系可得解.【详解】由集合 ，又 ,所以集合 .故选 D.【点睛】本题主要考查了元素和集合的关系，属于基础题.2.函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数可知 ，解不等式组即可得定义域.【详解】由函数 ，可得 ，解得 .所以函数的定义域为： .故选 C.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域，属于基础题.3.已知 ，且 ，则函数 与函数 的图象可能是（ ）A. B. - 2 -C. D.
2、 【答案】B【解析】【分析】由函数 与函数 互为反函数，图像关于 对称易得解.【详解】由函数 与函数 互为反函数，则图像关于 对称，从而排除A,C,D.易知当 时，两函数图像与 B 相同.故选 B.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数互为反函数的性质，属于基础题.4.已知函数 ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数的解析式结合对数的运算法则可得 ，从而代入条件可得解.【详解】函数 ，可得 .从而有： .所以由 ，可得 .故选 D.【点睛】本题主要考查了部分奇偶性的应用，利用对数的运算法则可得中心对称性，属于基础题.5.函数 的定义域为 R，则实数 的取值
3、范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C- 3 -【解析】【详解】函数 的定义域为 R，即为 在 R 上恒成立.当 时， 显然不在 R 上恒成立；当 时，有 ，解得 .综上 .故选 B.【点睛】本题主要考查了二次函数在 R 上的恒成立问题，利用抛物线的开口及判别式判断与x 轴是否有公共点即可，属于基础题.6.已知函数 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据自变量函数的范围，结合分段函数的表达式求解即可.【详解】由函数 ，可得 .所以 .故选 C.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值，属于基础题.7.若函数 在区间 上是增函数， 在区间 上是减函数，则实数 的取
4、值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合二次函数的图像可知函数对称轴 ，通过化简函数，利用反比例函数的性质可得- 4 -在区间 上是减函数，有 ，从而得解.【详解】由函数 在区间 上是增函数，可得对称轴 ，得 .又 在区间 上是减函数，所以 ，得 .综上： .故选 B.【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数的单调性，属于常考题型.8.已知函数 （ 是常数，且 ）在区间 上有最大值 3，最小值 ，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过换元令 ，然后由 单调递减，结合 的范围可列方程解得 .【详解】令 ，最大值为 0，最小值为 .则当
5、时， 单调递减.所以 ，解得 ，有 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的最值问题，通常的解题的方法为换元，解题时注意新变元的范围，属于常考题型.二、填空题。9.比较大小 _ .【答案】【解析】- 5 -【分析】借助于函数 为增函数，即可比较大小.【详解】由函数 为增函数，且 ，所以 .故答案为：【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性的应用，属于基础题.10.函数 的图象所经过的定点坐标是_.【答案】【解析】【分析】由对数的运算 ，结合函数结构即可得解.【详解】易知函数 满足函数所以函数图像恒过定点 .故答案为： .【点睛】本题主要考查了对数的运算 ，属于基础题.11.设 ，若 只
6、有一个子集，则 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由 只有一个子集，知 ，从而可得 .【详解】若 只有一个子集，则必然为空集，即 .由 ，则 .故答案为： .【点睛】本题主要考查了集合的子集的个数及集合的交集运算，属于基础题.12.设映射 ： ，在 的作用下，A 中元素 与 B 中元素 对应，则与 B 中元素对应的 A 中元素是_.【答案】- 6 -【解析】【分析】设 A 中元素 与 B 中元素 ，则有 ，解方程组即可得解.【详解】根据题意由 A 中元素 与 B 中元素 对应，设 A 中元素 与 B 中元素 ，则有 ，解得 .故答案为： .【点睛】本题主要考查映射的概念和应用，利用条件中
7、的映射关系，建立方程组，解方程即可13.已知 是偶函数，定义域为 ，则它的单调递减区间是_.【答案】【解析】【分析】由函数为偶函数知定义域关于原点对称，图像关于 y 轴对称，从而解得 ，再利用二次函数的性质结合定义域即可得减区间.【详解】由 是偶函数，易知 ，即 .定义域为 ，有 ，即 .所以 ，定义域为 .函数为开口向下的抛物线，对称轴为 .所以函数的单调减区间为： .故答案为： .【点睛】本题主要考查了偶函数的性质及二次函数的性质，属于基础题.14.已知函数 ，则 在区间 上的最小值是_.【答案】5【解析】- 7 -【详解】当 时，有 .又 时， .所以当 与 时有相同的最小值，而 时，
8、，最小值为 5.当 时， ，所以在区间 上的最小值是 5.故答案为：5.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、周期性的应用. 函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性
9、相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.15.已知函数 是定义在 R 上的奇函数，若对任意给定的实数 ，恒成立，则不等式 的解集是_.【答案】【解析】【分析】整理题中不等式可得 ，从而得函数 是 R 上的减函数，由函数 是定义在 R 上的奇函数，有 ，结合函数单调性，不等式转化为 或 ，从而得解.【详解】对任意给定的实数 ， 恒成立，整理得： ，即 .从而得函数 是 R 上的减函数.又函数 是定义在 R 上的奇函数，有 .- 8 -所以当 时， ，当 时， .所以不等式 ，有： 或 .即 或 .解得： .故答案为： .【点睛】本题主要考查抽象函数的
10、奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.三、解答题。16.设全集 ，已知集合 ， ， （1）求 ；（2）记集合，已知集合 ，若 ，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）解二次方程可得集合 N，再利用补集和交集的定义求解即可；（2）由 ，可得 ，从而得 ，解不等式即可得解.【详解】 （1）因为 ，则 ，又因为 ，从而有 （2）因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
11、解得 ，即实数 的取值范围是【点睛】本题主要考查了集合的运算及集合关系，属于基础题.17.计算下列各式的值：（1） ；（2）【答案】 （1）-5；（2）-1- 9 -【解析】【分析】（1）由根式与指数的运算法则运算即可得解；（2）由对数的运算法则运算即可得解.【详解】 （1）原式 ；（2）原式 .【点睛】本题主要考查了指数、根式、对数的运算性质，属于基础题.18.已知幂函数 的图象过点 ， （1）求函数 的解析式，并求出它的定义域；（2）若偶函数 满足，当 时， ，写出函数 的解析式，并求它的值域【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由函数为幂函数，可设 ，代入题中点即可得解析式 ，从
12、而可得定义域；（2）由偶函数 时， ， 代入求解析式即可，从而可得值域 .【详解】 （1）设 ，由条件得 ，即 ，函数 的定义域为 .（2）当 时， 当 时， ，故有 函数 的值域为 .【点睛】利用函数奇偶性求函数解析式 3 个步骤：1.“求谁设谁” ，即在哪个区间上求解析式， 就应在哪个区间上设；2.转化到已知区间上，代入已知的解析式；3.利用 的奇偶性，写出 的解析式.19.已知函数 是奇函数，（1）求实数 m 的值；（2）判断函数 的单调性并用定义法加以证明；- 10 -（3）若函数 在 上的最小值为 ，求实数 a 的值【答案】 （1）m=-1；（2）见解析；（3） 或【解析】【分析】（
13、1）由奇函数满足 ，即可求解 m，再检验是否为奇函数即可；（2）利用定义法证明：设 是定义在区间 上的任意两个数，且 ，化简和 0 比较大小即可；（3）由（2）可知函数为增函数，所以当 时 有最小值，代入解方程即可.【详解】 （1）由 ，得 ，经检验符合题意.本题也可用 恒成立求解.（2）函数 是区间 上的增函数.下面用定义法证明：设 是定义在区间 上的任意两个数，且 ，则 .因为 ，得 ， .显然有 ，从而有 .因为当 时，有 成立，所以 是区间 上的增函数.（3）由单调性知，当 时 有最小值，则 ，即，解得 或 .【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用及利用定义证明函数的单调性，属于中档题.2
14、0.已知函数 在区间 上有最大值 0，最小值 ，（1）求实数 的值；（2）若关于 x 的方程 在 上有解，求实数 k 的取值范围；（3）若 ，如果对任意 都有 ，试求实数 a 的取值范围。- 11 -【答案】 （1） （2） （3）【解析】【分析】（1）由二次函数性质可知 在区间 上单调递增，从而得 ，解方程组求解即可；（2）令 ，则 ，转化为关于 t 的方程 在区间 上有解，记 ，由 的范围，可得 ，即可得解；（3）分析条件可得 恒成立，当 时，显然成立，当 时，转化为 恒成立，即 恒成立，从而转化为求不等式中函数的最值，即可得解.【详解】 （1）因为 ，为开口向上的抛物线，对称轴为所以 在区间 上单调递增，所以 ，即 ，解得 （2）因为 ，得关于 x 的方程 在 上有解.令 ，则 ，转化为关于 t 的方程 在区间 上有解. 记 ，易证它在 上单调递增，所以 ，即 ，解得 .（3）由条件得 ，因为对任意 都有 ，即 恒成立.当 时，显然成立，当 时， 转化为 恒成立，即 恒成立.- 12 -因为 ，得 ，所以当 时， 取得最大值是 ，得 ；当 时， 取得最小值是 ，得综上可知，a 的取值范围是 .【点睛】本题主要考查了方程问题和不等式恒成立问题，常用的处理方式为变量分离，通过变量分离，转化为参变量与函数的相等或不等关系，此时只需研究函数即可，属于常考题型.
