1、- 1 -浙江省杭州市学军中学 2018-2019 学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意知 ，故选 B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.2.函数 f（x）= ln（1-x 2）的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于 0，对数式的真数大于 0 联立不等式组求解【详解】由 ，得 0 x1函数 f（ x） ln（1 x2）的定义域为0，1） 故选： B【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题3
2、.已知函数 f（x）= ，则 ff（ ）等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】推导出 f（ ） ，从而 ff（ ） f（ ） ，由此能求出结果- 2 -【详解】函数 f（ x） ， f（ ） ，ff（ ） f（ ） 故选： D【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4.使函数 f（x）=x a的定义域为 R 且为奇函数的 的值可以是（ ）A. B. C. 3 D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合幂函数的性质依次分析选项，综合即可得答案【详解】根据题意，依次分析选项：对于 A，1 时， f（ x） x1 ，其定义域
3、不是 R，不符合题意；对于 B， 时， f（ x） ，其定义域不是 R，不符合题意；对于 C，3 时， f（ x） x3，其定义域为 R 且为奇函数，符合题意；对于 D，错误，故选： C【点睛】本题考查幂函数的性质，关键是掌握幂函数的性质，属于基础题5.已知集合 M， N， P 为全集 U 的子集，且满足 MPN，则下列结论不正确的是( )A. UNUP B. NPNM C. (UP) M D. ( UM) N【答案】D【解析】因为 PN，所以 UNUP， 故 A 正确；因为 MP，所以 NPNM， 故 B 正确；因为 MP，所以( UP) M ， 故 C 正确；因为 M N，所以( UM)
4、N .故 D 不正确.- 3 -故选 D.6.设函数 f（x）=log ax（a0，a1） ，若 f（x 1x2x2018）=4，则 f（x 12）+f（x 12）+f（x 20182）的值等于（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的解析式结合对数的运算性质即可得解.【详解】函数 f（ x）log ax（ a0， a1） ， f（ x1x2x2018）4， f（ x1x2x2018）log a（ x1x2x2018）4， f（ x12）+ f（ x12）+ f（ x20182）log a（ x1x2x2018） 22log a（ x1x2x2018）248
5、故选： B【点睛】本题考查函数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7.设 A=x|2x4，B=x|2axa+3，若 B 真包含于 A，则实数 a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 B 真包含于 A，讨论 B与 B时，求出 a 的取值范围【详解】 A x|2 x4， B x|2a x a+3，且 B 真包含于 A；当 B时，2 a a+3，解得 a3；当 B时， 解得 a1；- 4 -此时 A=B. a 的取值范围是 a|a3故选： C【点睛】本题考查了集合之间的基本运算，解题时容易忽略 B的情况，是易错题8.函数 f（x）
6、=log 2（-x 2+ax+3）在（2，4）是单调递减的，则 a 的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复合函数的单调性可知内层函数在（2，4）上为减函数，则需要其对称轴小于等于 2 且当函数在 x4 时的函数值大于等于 0，由此联立不等式组得答案【详解】令 t x2+ax+3，则原函数化为 ylog 2t， ylog 2t 为增函数， t x2+ax+3 在（2，4）是单调递减，对称轴为 x ， 且4 2+4a+30，解得： a 的范围是 ，4故选： B【点睛】本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减的原则，是中档题9.对于函数 f（x） ，若a
7、，b ，cR，f（a） ，f（b） ，f（ c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数” 已知函数 f（x）= 是“可构造三角形函数” ，则实数 t的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】- 5 -【分析】因对任意实数 a、 b、 c，都存在以 f（ a） 、 f（ b） 、 f（ c）为三边长的三角形，则 f（ a）+f（ b） f（ c）恒成立，将 f（ x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由 t1 的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论 k 转化为 f（ a）+ f（ b）的最小值
8、与 f（ c）的最大值的不等式，进而求出实数 k 的取值范围【详解】由题意可得 f（ a）+ f（ b） f（ c）对于 a， b， cR 都恒成立，由于 f（ x） 1 ，当 t10， f（ x）1，此时， f（ a） ， f（ b） ， f（ c）都为 1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件当 t10， f（ x）在 R 上是减函数，1 f（ a）1+ t1 t，同理 1 f（ b） t，1 f（ c） t，故 f（ a）+ f（ b）2再由 f（ a）+ f（ b） f（ c）恒成立，可得 2 t，结合大前提 t10，解得 1 t2当 t10， f（ x）在 R 上是增函数， t f（
9、 a）1，同理 t f（ b）1， t f（ c）1，由 f（ a）+ f（ b） f（ c） ，可得 2 t1，解得 1 t 综上可得， t2，故选： A【点睛】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题10.设函数 ，其中 表示 中的最小者.下列说法错误的（ ）A. 函数 为偶函数 B. 若 时，有C. 若 时， D. 若 时，【答案】D【解析】【分析】- 6 -先根据定义作 的图像，然后依据图像逐个检验即可【详解】在同一坐标系中画出 的图像（如图所示） ，故 的图像为图所示的图像关于 轴对称，故 为偶函数，故 A
10、 正确由图可知 时，有 ，故 B 成立从图像上看，当 时，有 成立，令 ，则 ，故 ，故 C 成立取 ，则 ， ， ，故 D 不成立综上，选 D【点睛】一般地，若 （其中 表示 中的较小者） ，则 的图像是由 这两个函数的图像的较低部分构成的二、填空题（本大题共 7 小题，共 28.0 分）11.若 ，则 - 7 -【答案】10【解析】试题分析：若 ，则考点：对数与对数函数12.已知 ,则 _【答案】【解析】【分析】利用配凑法求函数的解析式.【详解】 （配凑法） (1) ，又 (，22，)， 故答案为：【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答13.已知 f
11、（x）= 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是_【答案】-1，0【解析】【分析】把 f（ x） 的定义域为 R 转化为 0 对任意 xR 恒成立，即x2+2ax a0 对任意 xR 恒成立，再由判别式小于等于 0 求解【详解】 f（ x） 的定义域为 R， 0 对任意 xR 恒成立，即 恒成立，即 x2+2ax a0 对任意 xR 恒成立，- 8 -4 a2+4a0，则1 a0故答案为：1，0【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题14.设 maxa，b表示 a，b 两数中的最大值，若 f（x）=max|x|，|x-t|关于 x=1 对称，则t=_【答案】2【解
12、析】【分析】利用函数 y| x|的图象和函数 y| x t|的图象关于直线 x 对称，从而得出结论【详解】 f（ x） max|x|，| x t| ，由函数 y| x|的图象关于 x0 对称，函数 y| x t|的图象关于 x t 对称，即有函数 f（ x）的图象关于 x 对称，f（ x） max|x|，| x t|关于 x1 对称，即有 1，求得 t2，故答案为：2【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查函数的对称性，属于基础题15.设方程 x2-mx+2=0 的两根 ，其中 （1，2） ，则实数 m 的取值范围是_【答案】 （2 ，4）【解析】【分析】由题意利用韦达定理，不等式的性质，求出
13、实数 m 的取值范围【详解】方程 x2 mx+20 的两根 ， m280，求得 m2 ，或 m2 由 2，则 ，则 ,则 由可得，故答案为： 【点睛】本题主要考查韦达定理，不等式的性质，属于基础题- 9 -16.已知 lg20.3010，则 22018是_位数【答案】608【解析】【分析】设 x2 2018，可得 lgx2018 lg2607.418，即可得出【详解】设 x2 2018，则 lgx2018 lg220180.3010607.418，2 2018是 608 位数故答案为：608【点睛】本题考查了对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17.已知函数 f（x）满足对任意的
14、 m，n 都有 f（m+n）=f（m）+f（n）-1，设 g（x）=f（x）+ （a0，a1） ，g（ln2018）=-2015，则 g（ln ）=_【答案】2018【解析】【分析】由已知中函数 f（ x）满足对任意实数 m， n，都有 f（ m+n） f（ m）+ f（ n）1，可得f（0）1，进而 f（ x）+ f（ x）2， g（ x）+ g（ x）3，结合 g（ ln2018）2015，由对数的运算性质计算可得所求值【详解】函数 f（ x）满足对任意实数 m， n，都有 f（ m+n） f（ m）+ f（ n）1，令 m n0，则 f（0）2 f（0）1，解得 f（0）1，令 m x，
15、 n x，则 f（0） f（ x）+ f（ x）1，即 f（ x）+ f（ x）2， g（ x） f（ x） （ a0， a0） ， g（ x） f（ x） f（ x） ，故 g（ x）+ g（ x） f（ x）+ f（ x）+13， g（ ln2018）+ g（ ln ）2015+ g（ ln2018）3，- 10 -即 g（ ln ）2018，故答案为：2018【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 62.0 分）18.已知集合 U=R，集合 A=x|x2-（a-2）x-2a0，B=x|1x2（1）当 a=1
16、时，求 AB；（2）若 AB=A，求实数 a 的取值范围【答案】 （1）x|1x2； （2）a|a1.【解析】【分析】（1）代入 a 的值，求出集合 A，从而求出 A B；（2）由 A 与 B 的并集为 A，得到 B 为 A 的子集，表示出 A 的中不等式的解集，根据数轴确定出满足题意 a 的范围即可【详解】 （1）a=1 时，A=x|x1 或 x-2，故 AB=x|1x2；（2）AB=A，BA，由 x2-（a-2）x-2a0，得（x+2） （x-a）0，当 a-2 时，如数轴表示，符合题意；同理，当-2a1，也合题意；但当 a1 时，不合题意，综上可知a|a1【点睛】本题考查了并集及其运算，
17、熟练掌握并集的定义是解本题的关键19.设函数 f（x）= + + （1）设 t= + ，求 t 的取值范围；（2）求 f（x）的最大值- 11 -【答案】 （1） ，2； （2）3.【解析】【分析】（1）将 t ，1 x1，两边平方，结合二次函数的最值，即可得到所求范围；（2）由（1）可得 g（ t） f（ x） （ t+1） 2 ，考虑对称轴 t1 与区间 ，2的关系，即可得到所求最大值【详解】 （1）t= + ，-1x1，可得 t2=2+2 ，由 01-x 21，可得 t22，4，由 t0 可得 t 的取值范围是 ，2；（2）由（1）可得 g（t）=f（x）=t+= （t+1） 2- ，由
18、 ，2在对称轴 t=-1 的右边，为增区间，即有 t=2，即 x=0，g（t）取得最大值，且为 3，即 f（x）的最大值为 3【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题20.已知函数 f（x）=x+ （a0） （1）判断 f（x）的奇偶性；（2）判断函数 f（x）在（ ，+）上的单调性，并用定义证明【答案】 （1）见解析； （2）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，得到 f（ x） f（ x） ，判断函数的奇偶性即可；（2）根据单调性的定义证明即可【详解】 （1）f（x）的定义域是x|x0，- 12 -f（-x）=-x- =-（x+
19、 ）=-f（x） ，故函数 f（x）是奇函数；（2）函数在（ ，+）递增，令 mn，则 f（m）-f（n）=m+ -n- =（m-n）+a=（m-n） （1- ） ， mn，m-n0，1- 0，故 f（m）-f（n）0，故 f（x）在（ ，+）上递增【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查转化思想，是一道基础题21.已知函数 f（x）=2 x，g（x）=-x 2+2x+b（1）若 f（x）+ +10 对任意的 x1，3恒成立，求 m 的取值范围；（2）若 x1，x 21，3，对任意的 x1，总存在 x2，使得 f（x 1）=g（x 2） ，求 b 的取值范围【答案】 （1）-6，-）
20、； （2）见解析.【解析】【分析】（1）根据 h（ x） f（ x） 1，结合勾函数的性质对任意的 x1，3恒成立，即可求解 m 的取值范围；（2）根据对任意的 x1，总存在 x2，使得 f（ x1） g（ x2） ，可得 f（ x）的值域是 g（ x）的值域的子集，即可求解 b 的范围；【详解】 （1）函数 f（x）=2 x，令 h（x）=f（x）+ +1= ；当 m=0 时，可得 h（x）=2 x+1 在 x1，3恒成立；当 m0 时，可知 f（x）=2 x是递增函数，y= 在 x1，3也是递增函数，h（x）在 x1，3是递增函数，此时 h（x） min=h（1）= 0，- 13 -可得：
21、-6m0；当 m0 时， ，所以函数 h（x）= ，满足题意.综上所述：f（x）+ +10 对任意的 x1，3恒成立，可得 m 的取值范围是-6，-） ；（2）由函数 f（x）=2 x，x1，3，可得：2f（x）8；由 g（x）=-x 2+2x+b其对称 x=1，开口向下x1，3，g（x）在 x1，3上单调递减g（x） max=g（1）=1+b；g（x） min=g（3）=-3+b；对任意的 x1，总存在 x2，使得 f（x 1）=g（x 2） ，f（x）的值域是 g（x）的值域的子集；即 ，解得：无解故 x1，x 21，3，对任意的 x1，总存在 x2，使得 f（x 1）=g（x 2） ，此
22、是 b 的取值范围是空集【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用，属于中档题.22.已知 aR，f（x）=log 2（1+ax） （1）求 f（x 2）的值域；（2）若关于 x 的方程 f（x）-log 2（a-4）x 2+（2a-5）x=0 的解集恰有一个元素，求实数a 的取值范围；（3）当 a0 时，对任意的 t（ ，+） ，f（x 2）在t，t+1的最大值与最小值的差不超过 4，求 a 的取值范围【答案】 （1）当 a0 时，值域为0，+） ，当 a0 时，值域为（-，0） ； （2）1a2，或 a4； （3） （0，+）.【
23、解析】- 14 -【分析】（1）讨论 a0 时， a0 时，由对数函数的单调性可得值域；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论 a 的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到 g（ x）log 2（1+ ax2） ， a0，函数 g（ x）在区间 t， t+1上单调递增，g（ t+1） g（ t）4，运用对数函数的单调性和参数分离进行求解即可【详解】 （1）f（x）=log 2（1+ax） ，可得 f（x 2）=log 2（1+ax 2） ，当 a0 时，1+ax 21，即有 log2（1+ax 2）0；当 a0 时，01+ax 2 1，即有 log2（1+ax 2） 0；
24、即有当 a0 时，f（x）的值域为0，+） ；当 a0 时，f（x）的值域为（-，0；（2）由 f（x）-log 2（a-4）x 2+（2a-5）x=0 得 log2（1+ax）=log 2（a-4）x 2+（2a-5）x，即 1+ax=（a-4）x 2+（2a-5）x0，则（a-4）x 2+（a-5）x-1=0，即（x+1）（a-4）x-1=0，当 a=4 时，方程的解为 x=-1，代入，不成立；当 a=3 时，方程的解为 x=-1，代入，不成立；当 a4 且 a3 时，方程的解为 x=-1 或 x= ，若 x=-1 是方程的解，则 1-a=-a+10，即 a1，若 x= 是方程的解，则 1
25、+ = 0，即 a4 或 a2，则要使方程有且仅有一个解，则 a4 或 1a2综上，若方程 f（x）-log 2（a-4）x 2+（2a-5）x=0 的解集中恰好有一个元素，则 a 的取值范围是 1a2，或 a4；（3）当 a0 时，对任意的 t（ ，+） ，f（x 2）=log 2（1+ax 2） ，设 g（x）=log 2（1+ax 2） ，a0，函数 g（x）在区间t，t+1上单调递增，由题意得 g（t+1）-g（t）4，- 15 -即 log2（1+at 2+2at+a）-log 2（1+at 2）4，即 1+at2+2at+a16（1+at 2） ，即有 a（15t 2-2t-1）+15=a（3t-1） （5t+1）+150 恒成立，综上可得 a 的范围是（0，+） 【点睛】本题考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，考查对数函数的单调性，属于中档题
