1、1湖南省六校 2019 届高三数学 4 月联考试题 理考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。时量 120 分钟，满分 150 分。答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出
2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数 z 满足(1i)z ，则 z| 4i|A22i B12i C12i D22i2已知集合 A ，则 RAx|x 31 x 0A3，1) B(，3)1，)C(3，1) D(，3(1，)3对某两名高三学生在连续 9 次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为 130 分；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间110，120内；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步其中正
3、确的个数为A1 B2 C3 D44如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为 8，则俯视图中三角形的高 x等于2A2 B3 C4 D15已知 f(x)是奇函数，当 x0 时，f(x) ，则函数在 x1 处的切线方程是xx 2A2xy10 Bx2y20C2xy10 Dx2y206如图，在矩形 OABC 中的曲线分别是 ysin x，ycos x 的一部分，A ，C(0 ，1)，在矩形 OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为 P1，取自非( 2， 0)阴影部分的概率为 P2，则AP 1P2 BP 10，b0)，以点 P(b，0)为圆心，a 为半径作圆 P，圆 Px2a2 y2b2与
4、双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，若MPN90，则 C 的离心率为A. B. C. D.72 52 2 39若 m，n 均为非负整数，在做 mn 的加法时各位均不进位(例如：20191002119，则称(m，n)为“简单的”有序对，而 mn 称为有序对(m，n)的值，那么值为 2019 的“简单的”有序对的个数是A30 B60 C96 D10010若 x1是方程 xex1 的解，x 2是方程 xln x1 的解，则 x1x2等于Ae B1 C. D11e11已知函数 f(x)sin(x) 的部分图象如图所示，且( 0， 2， )f(x)在 上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为
5、1，最小值为1)，则 的0， 2 取值范围是A. B. C. D.(712， 1312 712， 1312) (1112， 1712 1112， 1712)12已知函数 f(x)e xax1 在区间 内存在极值点，且 f(x)1)kx()判断当1k0 时 f(x)的单调性；()若 x1，x 2(x1x 2)为 f(x)两个极值点，求证：xf(x 1)f(x 2)(x1)f(x)22x(二)选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t
6、 为参数)，以坐标原点x m 2t，y 2t )为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 .41 sin2()求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；()设 P 为曲线 C 上的点，PQl，垂足为 Q，若 的最小值为 2，求 m 的值|PQ|523(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|x2a|xa|，aR.()若 f(1)1，求 a 的取值范围；()若 a0，f(x) ，f(x) (x .2 12 4（ 2 1） 4（ 1.4 1）3.2 12又 P21P 1P2.127A 【解析】 ， ，BC AC AB AD BC ( )
7、( )0，AB AC AB AC 2 2() 0，6， 6.AB AC AB AC 8C 【解析】不妨设双曲线 C 的一条渐近线 bxay0 与圆 P 交于 M，N，因为MPN90，所以圆心 P 到 bxay0 的距离为 a，即 2c22a 2 ac，b2a2 b2 b2c 22 2解得 e .故选 C.29B 【解析】值为 2019 的“简单的”有序对的个数是 3121060.故选 B.10B 【解析】考虑到 x1，x 2是函数 ye x、函数 yln x 与函数 y 的图象的公共1x点 A，B 的横坐标，而 A ，B 两点关于 yx 对称，因此 x1x21.(x1，1x1) (x2， 1x
8、2)11D 【解析】由题意知，f(x)sin(x)，f(0) ， ， ，32 2， 23x0，2， x 2 ， 2 0，(8km)2 (4k2 1)(4m2 4)化简得 m2 ，求得 x24，8300 10x100 8540 20x100故求得 x 的取值范围是 ，xN *.12 分(24， 30)21 【解析】()因为 f(x1)2ln(x1) (x1)，k（ x 1）x11所以 f(x)2ln x (x0)kxx 1f(x) ， 2 分2x k（ x 1） 2 2x2 （ 4 k） x 2x（ x 1） 2当1k0 时，(4k) 216k(k8)0，2x 2(4k)x20 恒成立于是，f(
9、x)在定义域上为单调增函数.5 分()证明：f(x) ， 2x k（ x 1） 2 2x2 （ 4 k） x 2x（ x 1） 2由题设知，f(x)0 有两个不相等的正实数根 x1，x 2，则k0，x1x2 10， （ 4 k） 2 160， )而 f(x1)f(x 2)2ln x 1 2ln x 2kx1x1 1 kx2x2 12ln(x 1x2)k (x1x1 1 x2x2 1)2ln(x 1x2)k k，9 分2x1x2 x1 x2x1x2 x1 x2 1又 k，（ x 1） f（ x） 2ln xx故欲证原不等式等价于证明不等式： f(x)2(x1)，10 分（ x 1） f（ x）
10、2ln xx x 1x也就是要证明：对任意 x0，有 ln xx1.11 分令 g(x)ln xx1(x0)，由于 g(1)0，并且 g(x) 1，1x当 x1 时，g(x)0，则 g(x)在(0，1)上为增函数则 g(x)在(0，)上有最大值 g(1)0，即 g(x)0，故原不等式成立.12 分22 【解析】()因为曲线 C 的极坐标方程为 2 ，41 sin2即 2 2sin24，将 2x 2y 2，sin y 代入上式并化简得 1，3 分x24 y22所以曲线 C 的直角坐标方程为 1，x24 y22直线 l 的普通方程为 x ym0.5 分2()设 P(2cos ， sin )，由点到
11、直线的距离公式得2 ，7 分|PQ|2cos 2sin m|3 |22cos( 4) m|3由题意知 m0，当 m0 时， 2，得 m2 2 ；|PQ|min |22 m|3 3 2当 m1.1 分12若 a ，则 12a1a1，得 a1，得 a1，即不等式无解； 3 分12若 a1，则 2a11a1，得 a1, 4 分综上所述，a 的取值范围是(，1)(1，).5 分()由题意知，要使得不等式恒成立，只需f(x) max|y2020|ya| min，6 分当 x(，a时，|x2a|xa|a，f(x) maxa，7 分因为|y2020|ya|a2020|，所以当(y2020)(ya)0 时，|y2020|ya| min|a2020|，9 分即a|a2020|，解得 a1010，结合 a0，所以 a 的取值范围是 .10 分 1010， 0)
