1、- 1 -张掖市 20182019 学年第一学期期末高二年级学业水平质量检测数学（理科）试卷一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。)1命题“ xR +，lnx0”的否定是（ ）AxR +，lnx 0 BxR +，lnx0 CxR +，lnx0 D xR +，lnx02等差数列a n中，若 a2+a8=15a 5，则的 a5值为（ ）A3 B4 C5 D63抛物线 y2=8x 的焦点到双曲线 x2 =1 的渐近线的距离是（ ）A B C1 D4椭圆 + =1（ab0）的两个焦点 F1，F 2，点 M 在椭圆上，且MF
2、1F 1F2，|MF 1|= ，|MF 2|= ，则离心率 e 等于（ ）A B C D5实数 x，y 满足 ，则 z=yx 的最大值是（ ）A1 B2 C3 D46如图：在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点若 = ， = ，= ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）A + + B + + C + D +- 2 -7已知椭圆的中心为原点，离心率 ，且它的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A B C D8在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知 A=120，a=7，c=5，则=（ ）A B C D9直线 与曲线 的交点
3、个数为（ ）2xy12xyA0 B1 C2 D310如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，AB=BC=2，AA 1=1，则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为（ ）A B C D 11已知 lga+lgb=lg2， + 的最大值是（ ）A2 B2 C D12已知双曲线 C： =1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1（c，0） ，F 2（c，0） ，若双曲线 C 在第一象限内存在一点 P 使 = 成立，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ）A1， +1） B （1， +1） C （ +1，+） D （1， +1）二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分）- 3
4、 -13命题“若 x22x30，则 x1 或 x3”的逆否命题是 。14不等式 1 的解集是 。15对于曲线 有以下判断：（1）它表示圆；（2）它关于原点对称；（3）2y它关于直线 对称；（4） x1 且 y1 其中正确的有_（填上相应的序号即可）xy。16已知数列an满足 + + + = 2（nN*），数列 bn满足 =，则数列 的前 n 项和 = 。 三、解答题（共 7 小题，满分 60 分解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤）17（本题满分 10 分）已知 p：2x 23x+10，q：x 2（2a+1）x+a（a+1）0（1）若 a= ，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围。（2）
5、若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围。18.（本题满分 12 分） 已知不等式 m 2xm20。(1) 若对于所有的实数 x 不等式恒成立，求 m 的取值范围；(2) 设不等式对于满足|m|2 的一切 m 的值都成立，求 x 的取值范围。19 （本题满分 12 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知cos2A+3cos（B+C）=1。（1）求角 A 的大小；（2）若 a=2 ，b+c=4，求ABC 的面积。20 （本题满分 12 分）已知数列a n为等差数列，a 3=3，a 7=7，数列b n的前 n 项和为 Sn，且Sn=2bn2（1）求a n、
6、b n的通项公式- 4 -（2）若 cn= ，数列c n的前 n 项和为 Tn，求 Tn。21（本题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，且PA=PD=DA=2，BAD=60（I）求证：PBAD；（II）若 PB= ，求二面角 APDC 的余弦值。22 （本题满分 12 分）已知椭圆 C： + （ab0）的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 2。（1）求椭圆 C 的方程；（2）椭圆 C 上是否存在一点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 = + 成立？若存在，求点
7、P 的坐标与直线 l 的方程；若不存在，说明理由。张掖市 20182019 学年第一学期期末高二年级学业水平质量检测数学答案（理科）1命题“ xR +，lnx0”的否定是（ ）AxR +，lnx 0 BxR +，lnx0 CxR +，lnx0 D xR +，lnx0【解答】解：特称命题的否定是全称命题，则命题“xR +，lnx0”的否定是：xR +，lnx0，- 5 -故选：B2等差数列a n中，若 a2+a8=15a 5，则 a5的值为（ ）A3 B4 C5 D6【解答】解：由题意得，a 2+a8=15a 5，所以由等差数列的性质得 a2+a8=2a5=15a 5，解得 a5=5，故选：C3
8、抛物线 y2=8x 的焦点到双曲线 x2 =1 的渐近线的距离是（ ）A B C1 D【解答】解：抛物线 y2=8x 的焦点在 x 轴上，且 p=4，抛物线 y2=8x 的焦点坐标为（2，0） ，由题得：双曲线 x2 =1 的渐近线方程为 x y=0，F 到其渐近线的距离 d= = 故选：B4椭圆 + =1（ab0）的两个焦点 F1， F2，点 M 在椭圆上，且MF1F 1F2，|MF 1|= ，|MF 2|= ，则离心率 e 等于（ ）A B C D【解答】解：由题意，|F 1F2|= =2 =2c，2a= + =6，e= = 故选： C- 6 -5实数 x，y 满足 ，则 z=yx 的最大
9、值是（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：由约束条件 画出平面区域，如图所示A（0，1），化目标函数 z=yx 为 y=x+z，由图可知，当直线 y=x+z 过点 A 时，目标函数取得最大值z max=10=1故选：A6如图：在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1中，M 为 A 1C1与 B1D1的交点若 = ， = ，= ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）A + + B + + C + D +【解答】解：由题意， = = = ；- 7 -故选 A7已知椭圆的中心为原点，离心率 ，且它的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A B C D【解答】解：椭圆的中心为原点，离心率
10、，且它的一个焦点与抛物线 的焦点重合，椭圆的焦点坐标 F（0， ），设椭圆方程为 ，且 ，解得 a=2，c= ，b= =1，椭圆方程为 故选 A8在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知 A=120，a=7，c=5，则=A B C D【解答】解：A=120，a=7，c=5，由余弦定理可得：7 2=b2+522b5cos120，整理可得：b 2+5b24=0，解得：b=3 或8（舍去） 由正弦定理及比例的性质可得： = = 故选：D9 C- 8 -10如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，AB=BC=2，AA 1=1，则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为
11、（ ）A B C D 【解答】解：以 D 点为坐标原点，以 DA、DC、DD 1所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略） ，则 A（2，0，0） ，B（2，2，0） ，C（0，2，0） ，C 1（0，2，1） =（2，0，1） ， =（2，2，0） ， 且为平面 BB1D1D 的一个法向量cos ， = BC 1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为故答案为 C11已知 lga+lgb=lg2， + 的最大值是（ ）A2 B2 C D【解答】解：lga+lgb=lg2，lgab=lg2，正数 ab 满足 ab=2，b= ， + = += + = = =- 9 -当且仅当
12、 a= 即 a= 时取等号故选：D12已知双曲线 C： =1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1（c，0） ，F 2（c，0） ，若双曲线 C 在第一象限内存在一点 P 使 = 成立，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ）A1， +1）B （1， +1）C （ +1，+）D （1， +1）【解答】解：在PF 1F2中，可得 = ，由 = ，可得e= = = ，即有|PF 1|=e|PF2|，由双曲线的定义可得 2a=|PF1|PF 2|=（e1）|PF 2|，由存在 P，可得|PF 2|ca，即有 2a（e1） （ca） ，由 e= ，可得（e1） 22，解得 1e1+ 故选：B二、填空题（
13、共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13命题“若 x22x30，则 x1 或 x3”的逆否命题是 若1x3，则x22x30 14不等式 1 的解集是（，1）5，+）15 （2） 、 （3）- 10 -16已知数列a n满足 + + + = 2（nN *） ，数列b n满足bn=anan+1，则数列b n的前 n 项和 Sn= 【解答】解：数列a n满足 + + + = 2（nN *） ，当 n=1 时， =1，解得 a1=1当 n2 时， + + + = （nN *） ，可得： =n3，解得 an= 当 n=1 时，上式也成立a n= 数列b n满足 bn=anan+1= = 则数列
14、b n的前 n 项和 Sn= + + =1 = 故答案为： 三、解答题（共 7 小题，满分 60 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本题满分 10 分）已知 p：2x 23x+10，q：x 2（2a+1）x+a（a+1）0（1）若 a= ，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围【解答】解：p： ，q：axa+1；（1）若 a= ，则 q： ；.4- 11 -pq 为真，p，q 都为真； ， ；实数 x 的取值范围为 ；7（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，即由 p 能得到 q，而由 q 得不到 p； ， ；实数 a
15、 的取值范围为 1018 已知不等式 m 2xm20.(1) 若对于所有的实数 x 不等式恒成立，求 m 的取值范围；(2) 设不等式对于满足|m|2 的一切 m 的值都成立，求 x 的取值范围【解答】解：(1) 对所有实数 x，都有不等式 mx22xm20 知 g(m)在2，2上为增函数，则由题意只需 g(2)0 即可，即 2x222x20，解得 0x1，所以x 的取值范围是(0，1)1219在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知 cos2A+3cos（B+C）=1（1）求角 A 的大小；（2）若 a=2 ，b+c=4，求ABC 的面积（2）由余弦定理可得 a2=（b+
16、c） 2bc，代入数据可得 bc 的值，整体代入面积公式可得【解答】解：（1）在ABC 中 cos2A+3cos（B+C）=1，2cos 2A13cosA=1，即 2cos2A3cosA2=0，- 12 -解得 cosA= ，或 cosA=2（舍去） ，由 A（0，）可得 A= ；.6（2）由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA=b2+c2+bc=（b+c） 2bc，代入数据可得 12=16bc，解得 bc=4，.10ABC 的面积 S= bcsinA= = 1220已知数列a n为等差数列，a 3=3，a 7=7，数列b n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2bn2（1）求a n、b
17、 n的通项公式（2）若 cn= ，数列c n的前 n 项和为 Tn，求 Tn【解答】解：（1）数列a n为等差数列，a 3=3，a 7=7，设公差为 d ，解得 ，a n=1+（n1）1=n，nN *数列b n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2bn2，b 1=S1=2b12，解得 b1=2，当 n2 时，由 Sn=2bn2 及 Sn1 =2bn1 2，两式相减，得 bn=2bn2b n1 ，b n=2bn1 ，b n是首项为 2，公比为 2 的等比数列，b n=22n1 =2n （nN *） 6（2）c n= = ，数列c n的前 n 项和：Tn= ，= ， - 13 -，得： = = =1
18、 ，T n=2 1221如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，且 PA=PD=DA=2，BAD=60（I）求证：PBAD；（II）若 PB= ，求二面角 APDC 的余弦值【解答】（）证明：取 AD 的中点 E，连接 PE，BE，BDPA=PD=DA，四边形 ABCD 为菱形，且BAD=60，PAD 和ABD 为两个全等的等边三角形，则 PEAD，BEAD，AD平面 PBE，（3 分）又 PB平面 PBE，PBAD；（5 分）（）解：在PBE 中，由已知得，PE=BE= ，PB= ，则 PB2=PE2+BE2，PEB=90，即 PEBE，又 PEAD，PE平面 ABCD；以点
19、E 为坐标原点，分别以 EA，EB，EP 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 E（0，0，0），C（2， ，0），D（1，0，0），P（0，0， ），则 =（1，0， ）， =（1， ，0），由题意可设平面 APD 的一个法向量为 =（0，1，0）；（7 分）- 14 -设平面 PDC 的一个法向量为 =（x，y，z），由 得： ，令 y=1，则 x= ，z=1， =（ ，1，1）；则 =1，cos = = = ，（11 分）由题意知二面角 APDC 的平面角为钝角，所以，二面角 APDC 的余弦值为 （12 分）22已知椭圆 C： + （ab0）的离心率为 ，过右焦点
20、 F 的直线 l 与 C 相交于A、B 两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）椭圆 C 上是否存在一点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 = + 成立？若存在，求点 P 的坐标与直线 l 的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（1）设 F（c，0） ，可得直线 l 的方程为 y=xc，即为 xyc=0，由坐标原点 O 到 l 的距离为 2，即有 2= ，解得 c=2 ，由 e= = ，可得 a=2 ，b=2，即有椭圆的方程为 + =1；4（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，P（x 0，y 0） ，- 1
21、5 -当直线 l 的斜率存在，设其方程为：y=k（x2 ） （k0）由 ，消去 y 得（1+3k 2）x 212 k2x+24k212=0x 1+x2= ，y 1+y2=k（x 1+x24 ）=k（ 4 ）= ，6 = + ，x 0=x1+x2= ，y 0=y1+y2= 8将 P 点坐标代入椭圆得（ ） 2+3（ ） 2=12，15k 4+2k21=0，k 2= （ 舍去） ，即为 k= 当 k= 时，P（ ， ） ，直线 l：x y2 =0，当 k= 时，P（ ， ） ，直线 l：x+ y2 =010当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为：x=2 ，依题意，四边形 OAPB 为菱形，此时点 P 不在椭圆上，即当直线 l 的斜率不存在时，不适合题意；综上所述，存在 P，且 P（ ， ） ，直线 l：x y2 =0，或 P（ ， ） ，直线 l：x+ y2 =012- 16 -
