1、1福建省晋江市南侨中学 2018-2019 学年高二数学下学期第一次月考试题 理满分： 150 考试时间：120 分钟一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 若 ，则 A. 1 B. C. D. 2. 已知函数 ，则其在点 处的切线方程是 A. B. C. D. 3. 设有下面四个命题：若复数 z 满足 ，则 ； ：若复数 z 满足 ，则 ；：若复数 ， 满足 ，则 ； ：若复数 ，则 其中的真命题为A. ， B. ， C. ， D. ，4. 若 ， ，则 P、 Q 的大小关系是 A. B. C. D. 由 a 的取值确定5. 如图，已知 周长为 2，连接 三边的中点构成第二
2、个三角形，再连接第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第 2003 个三角形周长为( ) A. B. C. D. 6. 在航天员进行一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 A. 34 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 144 种7. 如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 A. B. C. D. 28. 函数 的图象大致为 A. B. C. D. 9. 已知函数 且 ， 是 的导函数，则 A. B. C. D. 10.
3、若函数 在 上是单调函数，则 a 的取值范围是 A. B. C. D. 11. 如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案 A. 180 种 B. 240 种 C. 360 D. 420 种12. 已知定义在 R 上的偶函数 ，其导函数为 ；当 时，恒有 ，若，则不等式 的解集为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 定积分 _ 314. 有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字
4、不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_15. 已知函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为_16. 对于三次函数 ，定义：设 是函数 的导数的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”请你将这一发现为条件，若函数 ，计算_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17. （10 分）设 ， 若 是纯虚数，求实数 x 的取值范围；若 ，求实数 x 的取值范围418. （12 分） 求证：当 a、 b
5、、 c 为正数时， 已知 ， ， ，求证 a， b 中至少有一个不少于 0（12 分）已知函数 若函数 在 处有极值 求 的单调递减区间；求函数 在 上的最大值和最小值（12 分）观察下列式子：由此猜想一个一般性的结论；用数学归纳法证明你的结论19. （12 分）某淘宝商家经销某种商品，已知该商品的进价为 6 元件，物流费、管理费共为 m 元件 ，根据成本测算及有关部门的规定，每件该商品的售价 单位：元必须满足 市场调查显示，当每件售价为 x 元 时，该商品一年的销售量预计为 万件5求商家经销该商品一年所得的利润 万元与每件商品的售价 x 的函数关系式；当 x 为多少元时，该商家一年的利润 P
6、 最大，并求出 P 的最大值 20. （12 分）已知函数 讨论 的单调性；若 有两个零点，求 a 的取值范围62019 年春季南侨中学高二年段第一阶段考试理科数学试题答案和解析【答案】1. D 2. C 3. B 4. C 5. D 6. C 7. C8. B 9. A 10. B 11. D 12. A13. 14. 1 和 3 15. 16. 2018 17. 解： 依题意得所以实数 x 的取值范围是解一、依题意得所以检验：当 时， ，满足 符合题意所以实数 x 的取值范围是 18. 证明：左边 ，因为： a、 b、 c 为正数所以：左边 ，分证明：假设 a， b 中没有一个不少于 0，
7、即 ， 则： ，又 ，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以 a， b 中至少有一个不少于 分 719. 解： ，依题意有 ， ，即 得 所以 ，由 ，得 ，所以函数 的单调递减区间 由 知 ， ，令 ，解得 ， ， 随 x 的变化情况如下表：x 1 208 极小值 2由上表知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增故可得 ， 20.解： ， ， ，一般性结论： 证明：时，左 右，猜想成立；假设 时猜想成立，即则当 时，8即 时，猜想也成立综上：由 可知，猜想成立21. 解： 该商品的进价为 6 元件，物流费、管理费共为 m 元件 ，根据成本测算及有关部门的规定，每件该商品的售价 单位：元必须
8、满足 市场调查显示，当每件售价为 x 元 时，该商品一年的销售量预计为 万件商家经销该商品一年所得的利润 万元与每件商品的售价 x 的函数关系式为：， -，-令 ，得 舍或 当 时， ，此时 在 上恒成立，即 在 上递减， -当 时， ，此时 在 上递增，在 上递减，-综上， P 的最大值 - 22. 解：由 ，9可得 ，当 时，由 ，可得 ；由 ，可得 ，即有 在 递减；在 递增；当 时，若 ，则 恒成立，即有 在 R 上递增；若 时，由 ，可得 或 ；由 ，可得 即有 在 ， 递增；在 递减；若 ，由 ，可得 或 ；由 ，可得 即有 在 ， 递增；在 递减； 由可得当 时， 在 递减；在
9、递增，且 ， ， ； ， 有两个零点；当 时， ，所以 只有一个零点 ；当 时，若 时， 在 递减，在 ， 递增，又当 时， ，所以 不存在两个零点；当 时， 在 单调递增，又 时， ，所以 不存在两个零点综上可得， 有两个零点时， a 的取值范围为 10【解析】1. 【分析】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力利用复数的除法以及复数的模化简求解即可【解答】解： ，则故选 D2. 【分析】此题主要考查导数的计算，比较简单运用求导公式计算 时的斜率，再结合曲线上一点求出切线方程【解答】解： ，则 ， ，又当 时 ，切线方程为 故选 C3. 【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了
10、复数的四则运算，复数的共轭复数，难度不大，属于基础题根据复数的四则运算和共轭复数的性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案【解答】解： 设复数 满足 ，则 ，所以 ，故命题 为真命题；：若复数 ，则 ，但 ，故命题 为假命题；：若复数 ， 满足 ，但 ，故命题 为假命题；：若复数 ，则 ， ，故命题 为真命题11故选 B4. 【分析】本题考查的知识点是证明的方法，观察待证明的两个式子 ，很难找到由已知到未知的切入点，故我们可以用分析法来证明分析法通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需
11、要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”【解答】解： 要证 ，只要证 ，只要证： ，只要证： ，只要证： ，成立，成立故选 C5. 【分析】根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的 ，所以新三角形周长是前一个三角形的 此题考查中位线定理，解决此题关键是找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的的规律，进行分析解决题目【解答】周长为 2，因为每条中位线均为其对应边的长度的 ，所以：第 2 个三角形对应周长为 1；第 3 个三
12、角形对应的周长为 ；第 4 个三角形对应的周长为 ；12以此类推，第 n 个三角形对应的周长为 ；所以第 2003 三角形对应的周长为 故选： D6. 解：根据题意，程序 A 只能出现在第一步或最后一步，则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列，有 种结果，又由程序 B 和 C 实施时必须相邻，把 B 和 C 看做一个元素，同除 A 外的 3 个元素排列，注意 B 和 C 之间还有一个排列，共有 种结果，根据分步计数原理知共有 种结果，故选： C根据题意，分 2 步进行分析： A 只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列，程序 B 和 C 实施时必
13、须相邻，把 B 和 C 看做一个元素，同除 A外的 3 个元素排列，注意 B 和 C 之间还有一个排列本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列7. 解：根据题意，正方形 OABC 的面积为 ，而阴影部分由函数 与 围成，其面积为 ，则正方形 OABC 中任取一点 P，点 P 取自阴影部分的概率为 ；故选： C根据题意，易得正方形 OABC 的面积，观察图形可得，阴影部分由函数 与 围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中
14、的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积8. 【分析】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及函数的图象的判断，考查计算能力，13利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可【解答】解：函数 的定义域为： ，而选项 A 图象过原点，故 A 错误；当 时， ，令 ，得 ，当 时， ，函数是减函数， 时， ，函数是增函数，并且 ，选项 B、 D 满足题意；当 时，函数 ，故选项 D 错误故选 B9. 解： ， ， 又 ，即 ，则 故选： A由函数 的解析式，利用求导法则求出导函数 ，然后把函数解析式及导函数解析式代入 ，整理后利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出 的值，把
15、所求式子分子中的“1”变形为 ，分母中的 利用二倍角的正弦函数公式化简，分子分母同时除以 ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将 的值代入即可求出值此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：求导法则，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键10. 【分析】本题查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查分离常14数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题由求导公式和法则求出 ，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得 a 的取值范
16、围【解答】解：由题意得， ，因为 在 上是单调函数，所以 或 在 上恒成立，当 时，则 在 上恒成立，即 ，设 ，因为 ，所以 ，当 时， 取到最大值是：0，所以 ，当 时，则 在 上恒成立，即 ，设 ，因为 ，所以 ，当 时， 取到最大值是： ，所以 ，综上可得， 或 ，所以数 a 的取值范围是 ，故选 B11. 【分析】 本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中15档题若 5 个花池栽了 5 种颜色的花卉，方法有 种，若 5 个花池栽了 4 种颜色的花卉，方法有种，若 5 个花池栽了 3 种颜色的花卉，方法有 种，相加即得所求【解答】解：若 5 个花池
17、栽了 5 种颜色的花卉，方法有 种，若 5 个花池栽了 4 种颜色的花卉，则 2、4 两个花池栽同一种颜色的花；或者 3、5 两个花池栽同一种颜色的花，方法有 种，若 5 个花池栽了 3 种颜色的花卉，方法有 种，故最多有 种栽种方案，故选 D12. 【分析】本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题根据函数 为偶函数，则 也为偶函数，利用导数可以判断 在 为减函数，则不等式 转化为 ，解得即可【解答】解： 定义在 R 上的偶函数 ，时，恒有 ，在 为减函数，为偶函数，为偶函数，在 上为增函数，16，即 ，解得 ，故选 A13. 解： ，令
18、 ，得 ，点 的轨迹表示半圆，表示以原点为圆心，以 1 为半径的圆的面积的 ，故 ，故答案为； 根据积分的法则， ，分步计算，令 ，问题得以解决本题考查定积分的几何意义，属基础题14. 解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3；若丙的卡片上写着 1 和 2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2 和 3；根据甲的说法知，甲的卡片上写着 1 和 3；若丙的卡片上写着 1 和 3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2 和 3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”；甲的卡片上写的数字不是 1 和 2，这与已知矛盾；甲的卡片上的数字是 1 和 3故答案为：1 和 3可先根据丙的
19、说法推出丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的17突破口15. 解：由 图象特征可得，在 上大于 0，在 上小于 0，或 或 ，的解集为 故答案为：由函数 的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式 的解集本题考查导数与函数单调性的关系，考查学生的识图能力，利用导数求函数的单调性是重点16. 解： ， ，由 得 ，；它的对称中心为 ；设 为曲线上任意一点，曲线的对称中心为 ；点 P
20、关于 的对称点 也在曲线上，故答案为：2018由于 ， ， ，由 可求得 ，；18设 为曲线上任意一点，由于函数 的对称中心为 ，故点 P关于 的对称点 也在曲线上，于是有 从而可求值本题考查实际问题中导数的意义，难点在于对“对称中心”的理解与应用，特别是：的分析与应用，属于难题17. 本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，是基础题利用复数的基本概念，列出方程求解即可利用复数是实数求出 x 的值，然后判断即可18. 通过展开左侧表达式，利用基本不等式证明即可利用反证法假设 a， b 中没有一个不少于 0，推出矛盾结果即可本题考查不等式的证明，综合法以及反证法的应用，考查逻辑推理能力19. 此
21、题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度较大首先求出函数的导数，然后令 ，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解由 求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数 在上的最大值和最小值20. 本题考查归纳推理及用放缩法和数学归纳法证明不等式根据题意可猜想出用数学归纳法，放缩法即可证明21. 利用题设条件能求出商家经销该商品一年所得的利润 万元与每件商品的售价 x 的函数关系式，令 ，得 根据 ， 分类讨论，结合导数性质能求出 P 的最大值 本题考查函数关系式的求法，考查函数的最大值的表达式的求法，考查函数性质、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22. 本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力求出 的导数，讨论当 时， 时， 时， ，由导数大于190，可得增区间；由导数小于 0，可得减区间；由的单调区间，对 a 讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围
