1、- 1 -重庆市第一中学 2018-2019 学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共 12小题，每题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知幂函数 的图像经过点 ，则 的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】由待定系数法可得 f(x)的解析式，由此能求出 【详解】幂函数 y f（ x） xa的图象经过点（2，4） ，2 a4，解得 a2， y x2， 22故选： B【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用2.函数 的图像经过定点（ ）A. (3, 1) B. (2,
2、0) C. (2, 2) D. (3, 0)【答案】A【解析】【分析】由对数函数的性质可知，当真数为 1时，对数式的值为 0，故令真数 x-21 可求 y,可得定点【详解】由对数函数的性质可知，当 x-21 时， y1即函数恒过定点（3，1）故选：A【点睛】本题考查了对数型函数过定点的问题解决此类题通常是令真数为 1解得定点的坐标属于基础题3.已知集合 ，则集合 （ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合 A，根据补集的定义计算即可【详解】集合 y|00，所以 x0，所以 x0时， f（ x） 1 ，不满足对任意 xR， ff（ x） 0恒成立，综上可得： ,-
3、 10 -所以 a的最大值为故答案为：【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知集合 （1）若 ，求 ；（2）若 ,求 a的取值范围【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1） a1 时， ， 由此能求出 A B（2）由 AB，直接列出不等关系，能求出 a的取值范围【详解】 （1） ，又 , 且 x+1 ，, ,又 a=-1时， ， A B= ，即 （2） ，得 ，得【点睛】本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，注意交集、子集性质的合理运用，属于基础题18
4、.化简求值（1） ； （2） 【答案】 （1） （2） - 11 -【解析】【分析】（1）把 0指数幂化为 1， 利用根式的运算性质化简，其余直接利用有理指数幂的运算进行化简求值；（2）利用对数的性质及运算法则直接求解【详解】 （1） = - +1-3+ = -2= .（2） （lg5） 2+lg2（1+lg5）（lg5） 2+lg2+lg2lg5-2lg5（lg5+lg2）+lg2-2lg5+lg2-2-1【点睛】本题考查有理指数幂及根式的化简与求值，考查了对数式化简求值，是基础题，解题时注意对数的性质及运算法则的合理运用，属于基础题19.已知二次函数 对任意 ，有 ，函数 的最小值为 ，且
5、 （1）求函数 的解析式；（2）若方程 在区间 上有两个不相等实数根，求 k的取值范围【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）设 ，由 得 ，得到 的解析式.（2）由题意知 可得【详解】 （1）由 知，f（x）的对称轴为 x=1,设 ，由 得 ，- 12 -所以 .（2）由 得方程 在区间 上有两个不相等实数根.由 ，解得 ，可得【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，考查了由二次方程根的分布情况求参数范围的问题，要结合二次函数的图象来解决问题，属于中档题20.已知函数 （1）当 时，求函数 在区间 上的值域；（2）若函数 在区间 上是减函数，求 的取值范围【答案】 （1） ；
6、（2） .【解析】【分析】（1）先求得 的范围，再根据对数函数的单调性求得值域.（2）设 ，由复合函数单调性可知满足 ，解得 a的范围即可.【详解】 （1） 时，由 得 可知 ,值域为 .（2）设 ，由复合函数单调性可知，在区间 单调递增且恒大于 0，则 ，可得 .【点睛】本题考查的知识点是函数的值域及复合函数的单调性，运用了对数函数的图象和性质，属于中档题21.已知函数 是定义域为 R的奇函数- 13 -（1）求函数 的解析式；（2）若存在 使不等式 成立，求 m的最小值【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】(1)由 f（0）=0,求得 a,根据又 ，求得 b，可得解析式.（2）根
7、据 在 上单调递增，将原不等式等价变形为 在 有解，分参得 ，设,可得 的最小值，得到结果.【详解】(1)因为函数 是定义域为 R的奇函数，可知 f（0）=0, a=-1,又 ，则 =- ，=- ， b=1，（2） =1- ，所以 在 上单调递增；由 可得 在 有解 分参得 ，设 , ，所以 ,则 的最小值为 【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了指数函数式的运算及最值问题，属于中档题.22.对于函数 ，若存在实数对 ，使得等式 对定义域中的任意 都成立，- 14 -则称函数 是“ 型函数” （1）若函数 是“ 型函数” ，且 ，求出满足条件的实数对 ；（2）已知函数 函数 是
8、“ 型函数” ，对应的实数对 为 ，当时， 若对任意 时，都存在 ，使得，试求 的取值范围【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）利用定义，直接判断求解即可（2）由题意得， g（1+ x） g（1 x）4，所以当 时, ，其中 , 所以只需使当 时， 恒成立即可，即 在 上恒成立，若 ，显然不等式在 上成立，若 ，分离参数 m，分别求得不等式右边的函数的最值，取交集即可得到 m的范围.【详解】 （1）由题意，若 是“(a,b)型函数” ，则 ,即 , 代入 得 ，所求实数对为 （2）由题意得： 的值域是 值域的子集，易知 在 的值域为 ，只需使当 时， 恒成立即可， ,即 ，而当 时, , 故由题意可得，要使当 时,都有 ，只需使当 时， 恒成立即可，即 在 上恒成立，若 ，显然不等式在 上成立，若 ，则可将不等式转化为 ，因此只需上述不等式组在 上恒成立，显然，当 时，不等式（1）成立，令 在 上单调递增， ，- 15 -故要使不等式（2）恒成立，只需 即可，综上所述,所求 的取值范围是 .【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，新定义的应用，抽象函数以及分类讨论思想的转化思想的应用,属于难题- 16 -
