1、1题组层级快练(三十二)1(2015北京，文)设 a， b 是非零向量 “ab| a|b|”是“ a b”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 ab| a|b|，则 a 与 b 的方向相同，所以 a b.若 a b，则 ab| a|b|，或 ab| a|b|，所以“ ab| a|b|”是“ a b”的充分而不必要条件，选 A.2已知 a(1，2)，2 a b(3，1)，则 ab( )A2 B3C4 D5答案 D解析 a(1，2)，2 a b(3，1)， b2 a(3，1)2(1，2)(3，1)(1，3) ab(1，2)(1，3)1
2、235.3已知| a|6，| b|3， ab12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( )A4 B4C2 D2答案 A解析 ab| a|b|cos a， b18cos a， b12，cos a， b . a 在23b 方向上的投影是| a|cos a， b4.4(2019黑龙江大庆第一次质检)已知向量 a(1，2)， b(2，m)，若 a b，则|2a3 b|( )A. B470 5C3 D25 5答案 B解析 a(1，2)， b(2，m)，且 a b，1m2(2)，m4. a(1，2)，b(2，4)，2 a3 b(4，8)，|2 a3 b| 4 .故选 B.（ 4） 2 （ 8） 2 5
3、5已知向量 a(1，2)， ab5，| a b|2 ，则| b|等于( )5A. B25 5C5 D25答案 C解析 由 a(1，2)，可得 a2| a|21 22 25.2| a b|2 ， a22 ab b220.5525 b220. b225.| b|5，故选 C.6(2019保定模拟)若向量 a， b 满足| a| b|1，( a b)b ，则向量 a， b 的夹角32为( )A30 B45C60 D90答案 C解析 ( a b)b b2 ab1 ab ，32 ab| a|b|cos a， b ，cos a， b ， a， b60.故选 C.12 127设 a， b， c 是单位向量，
4、且 a b c，则 ac 的值为( )A2 B.12C3 D.13答案 B解析 由 |a| |b| |c|1， b c a，两边平方得 b2( c a)2，1112 ac， ac .128(2019江南十校联考)已知平面向量 a， b，| a|1，| b| ，且|2 a b| ，则向3 7量 a 与向量 a b 的夹角为( )A. B. 2 3C. D 6答案 B解析 由题意，得|2 a b|244 ab37，所以 ab0，所以 a(a b)1，且|a b| 2，故 cos a， a b ，所以 a， a b ，（ a b） 2a（ a b）|a|a b| 12 3故选 B.9已知| a|1，
5、| b| ， a b( ，1)，则 a b 与 a b 的夹角为( )3 3A. B. 6 3C. D.23 56答案 C3解析 由 a b( ，1)，得| a b|2( a b)24，又| a|1，| b| ，所以3 3|a|22 ab| b|212 ab34，解得 2ab0，所以| a b| |a b|22，设 a b 与 a b 的夹角为 ，则由夹角公式可得 cos|a|2 2ab |b|2 ，且 0，所以 ，即 a b 与（ a b） （ a b）|a b|a b| |a|2 |b|222 12 23a b 的夹角为 .2310(2019人大附中模拟)已知 a， b 是非零向量，且向量
6、 a， b 的夹角为 ，若向量 p 3 ，则| p|( )a|a| b|b|A2 B.3 2 3C3 D. 3答案 D解析 | p|2112cos 3，| p| . 3 311如图所示，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是( )A. B. P1P2 P1P3 P1P2 P1P4 C. D. P1P2 P1P5 P1P2 P1P6 答案 A解析 由于 ，故其数量积是 0，可排除 C； 与 的夹角为 ，故其数量P1P2 P1P5 P1P2 P1P6 23积小于 0，可排除 D；设正六边形的边长是 a，则 | | |cos30P1P2 P1P3 P1P2 P1P3 a
7、2， | | |cos60a 2.故选 A.32 P1P2 P1P4 P1P2 P1P4 12(2019沧州七校联考)已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的动点，则 (AP )( )AB AC A有最大值为 8 B是定值 6C有最小值为 2 D与点的位置有关答案 B4解析 因为点 P 在边 BC 上，所以存在实数 ，使 (1) ，所以 ( AP AB AC AP AB ) (1) ( )4 6.故选 B.AC AB AC AB AC AB AC 13(2019河南豫北名校联盟对抗赛)已知ABC 的外接圆的半径为 1，圆心为点 O，且 34 5 0，则 ( )OA OB O
8、C OC AB A. B.85 75C D.15 45答案 C解析 因为| | | |1，由 3 4 5 0 得 3 5 4 和OA OB OC OA OB OC OA OC OB 4 5 3 ，两个式子分别平方可得 和 .所以 (OB OC OA OA OC 35 OB OC 45 OC AB OC ) .故选 C.OB OA OC OB OC OA 1514(2019江西上饶一模)在边长为 1 的正方形 ABCD 中，2 ，BC 的中点为 F， 2AE EB EF ，则 _FG EG BD 答案 14解析 以 A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系正方形 ABCD 的边长为 1，B(1，
9、0)，D(0，1)，E( ，0)，13F(1， )12设 G(a，b)，由 2 ，EF FG 得( ， )2(a1，b )，23 12 12解得 G( ， ) (1， )a 43，b 34， ) 43 34 EG 345 (1，1)， 1 .BD EG BD 34 1415(2015浙江)已知 e1， e2是平面单位向量，且 e1e2 .若平面向量 b 满足12be1 be21，则| b|_答案 233解析 因为 be1 be21，| e1| e2|1，由数量积的几何意义，知 b 在 e1， e2方向上的投影相等，且都为 1，所以 b 与 e1， e2所成的角相等由 e1e2 ，知 e1与 e
10、2的夹12角为 60，所以 b 与 e1， e2所成的角均为 30，即| b|cos301，所以| b| 1cos30.23316若平面向量 a， b 满足|2 a b|3，则 ab 的最小值是_答案 98解析 由|2 a b|3 可知，4 a2 b24 ab9，所以 4a2 b294 ab.而4a2 b2|2 a|2| b|22|2 a|b|4 ab，所以 ab ，当且仅当 2a b 时取98等号17设两个向量 e1， e2满足| e1|2，| e2|1， e1与 e2的夹角为 ，若向量 2te17 e2与 3e1t e2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围答案 (7， )( ， )142 142 12解析 由向量 2te17 e2与 e1t e2的夹角为钝角，得 0，（ 2te1 7e2） （ e1 te2）|2te1 7e2|e1 te2|即(2t e17 e2)(e1t e2)0，化简即得 2t215t70，解得7t .12当夹角为 时，也有(2t e17 e2)(e1t e2)0，但此时夹角不是钝角设 2te17 e2( e1t e2)，0，可求得 2t ，7 t， 0， ) 14，t 142.)6所求实数 t 的范围是(7， )( ， )142 142 12
