1、1专题跟踪检测（七） 三角恒等变换与解三角形一、全练保分考法保大分1已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a ， c2，cos A ，523则 b( )A. B.2 3C2 D3解析：选 D 由余弦定理得 52 2 b222 bcos A，cos A ，3 b28 b30，23 b3 .(b 13舍 去 )2在 ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，已知 a6， b4， C120，则sin B( )A. B.217 5719C. D338 5719解析：选 B 在 ABC 中，由余弦定理得 c2 a2 b22 abcos C76，所以
2、 c .由76正弦定理得 ，所以 sin B .bsin B csin C bsin Cc 43276 57193已知 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a2 b2 c2 bc， bc4，则 ABC 的面积为( )A. B112C. D23解析：选 C a2 b2 c2 bc， bc b2 c2 a2，cos A . A 为 ABC 的内角， A60， S ABC bcsin b2 c2 a22bc 12 12A 4 .12 32 34(2019 届高三洛阳第一次统考)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 a， b， c 成等比
3、数列，且 a2 c2 ac bc，则 ( )cbsin BA. B.32 2332C. D.33 3解析：选 B 由 a， b， c 成等比数列得 b2 ac，则有 a2 c2 b2 bc，由余弦定理得cos A ，因为 A 为 ABC 的内角，所以 A ，对于 b2 ac，由正弦b2 c2 a22bc bc2bc 12 3定理得，sin 2Bsin Asin C sin C，由正弦定理得， .32 cbsin B sin Csin2B sin C32sin C 2335 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0， a2
4、， c ，则 C( )2A. B.12 6C. D. 4 3解析：选 B 在 ABC 中，sin Bsin( A C)，则 sin Bsin A(sin Ccos C)sin( A C)sin A(sin Ccos C)0，即 sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，cos Asin Csin Asin C0，sin C0，cos Asin A0，即 tan A1，所以 A .34由 得 ，sin C ，asin A csin C 222 2sin C 12又 00.b2c从而 tan Btan( A C) ，由基本tan A tan C1 tan
5、Atan C 2tan C1 3tan2C 21tan C 3tan C不等式，得 3tan C2 2 ，当且仅当 tan C 时等号成立，1tan C 1tan C3tan C 3 33此时角 B 取得最大值，且 tan Btan C ，tan A ，即 b c， A120，又33 3bc1，所以 b c1， a ，故 ABC 的周长为 2 .3 3法二：由已知 b2 ccos A0，得 b2 c 0，整理得 2b2 a2 c2.由余b2 c2 a22bc弦定理，得 cos B ，当且仅当 a c 时等号成立，此a2 c2 b22ac a2 3c24ac 23ac4ac 32 3时角 B 取
6、得最大值，将 a c 代入 2b2 a2 c2可得 b c.又 bc1，所以 b c1， a3，故 ABC 的周长为 2 .3 33(2019 届高三惠州调研)已知 a， b， c 是 ABC 中角 A， B， C 的对边，a4， b(4,6)，sin 2 Asin C，则 c 的取值范围为_解析：在 ABC 中，由正弦定理得 ，4sin A csin C即 ， c8cos A，4sin A csin 2A由余弦定理得 16 b2 c22 bccos A，16 b264cos 2A16 bcos2A，又 b4，cos 2A ，16 b264 16b 4 b 4 b16 4 b 4 b16 c2
7、64cos 2A64 164 B.4 b16 b(4,6)，32 c240，4 c2 .2 10答案：(4 ，2 )2 104(2018潍坊模拟)在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，外接圆的半径为 1，且 ，则 ABC 面积的最大值为_tan Atan B 2c bb解析：因为 ，所以 (2 c b) ，tan Atan B 2c bb bsin Acos A sin Bcos B由正弦定理得sin Bsin Acos B(2sin Csin B)sin Bcos A，8又 sin B0，所以 sin Acos B(2sin Csin B)cos A，所以 si
8、n Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A，sin(A B)2sin Ccos A，即 sin C2sin Ccos A，又 sin C0，所以 cos A ，sin A .12 32设外接圆的半径为 r，则 r1，由余弦定理得a2 b2 c22 bccos A b2 c2 bc2 bc bc bc.当且仅当 b c 时，等号成立，又因为 a2 rsin A ，3所以 bc3，所以 S ABC bcsin A bc .12 34 334答案：3345(2018陕西质检)已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且(a2 b2 c2)(acos B bc
9、os A) abc，若 a b2，则 c 的取值范围为_解析：由 sin Acos Bsin Bcos Asin( A B)sin C 及正弦定理，可知 acos B bcos A c，则由( a2 b2 c2)(acos B bcos A) abc，得 a2 b2 c2 ab，由余弦定理可得 cos C ，则 C ， B A，12 3 23由正弦定理 ，asin A bsin B csin C得 ，又 a b2，asin A bsin(23 A) csin 3所以 2，csin A32csin(23 A)32即 c .3sin A sin(23 A)1sin(A 6)因为 A ，所以 A ，
10、(0，23) 6 ( 6， 56)所以 sin ，则 c1,2)(A 6) (12， 19答案：1,2)6(2018南昌模拟)如图，平面上有四个点 A， B， P， Q，其中 A， B 为定点，且 AB， P， Q 为动点，满足关系 AP PQ QB1，若 APB 和 PQB 的面3积分别为 S， T，则 S2 T2的最大值为_解析：设 PB2 x，则 12 x2，3 x1，3 12 T2 2 x2(1 x2)，(122x1 x2)cos PAB ，1 3 4x223 2 1 x23sin2 PAB1 2，2 1 x23 S2 2 1 (1 x2)2，(1231sin PAB) 34 4 1
11、x2 23 34 S2 T2 (1 x2)2 x2(1 x2)，34令 1 x2 t，则 x21 t,0 t ，32 S2 T2 t2(1 t)t2 t2 t ，34 34其对称轴方程为 t ，且 ，14 14 (0， 32)当 t 时， S2 T2取得最大值，14此时 S2 T22 .116 14 34 78答案：78三、加练大题考法少失分1.(2019 届高三洛阳联考)如图，在 ABC 中，点 P 在 BC 边上， PAC60，PC2， AP AC4.(1)求 ACP；(2)若 APB 的面积是 ，求 sin BAP.332解：(1)在 APC 中， PAC60， PC2， AP AC4，
12、10由余弦定理得PC2 AP2 AC22 APACcos PAC，所以 22 AP2(4 AP)22 AP(4 AP)cos 60，整理得 AP24 AP40，解得 AP2，所以 AC2，所以 APC 是等边三角形，所以 ACP60.(2)由于 APB 是 APC 的外角，所以 APB120，因为 APB 的面积是 ，332所以 APPBsin APB ，所以 PB3.12 332在 APB 中，由余弦定理得AB2 AP2 PB22 APPBcos APB2 23 2223cos 12019，所以 AB .19在 APB 中，由正弦定理得 ，ABsin APB PBsin BAP所以 sin
13、BAP .3sin 12019 357382(2018开封模拟) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，面积为 S，已知3a24 S3 b23 c2.3(1)求 A；(2)若 a3，求 ABC 周长的取值范围解：(1) S bcsin A，12由已知得， b2 c2 a2 S bcsin A，433 433 12cos A sin A，b2 c2 a22bc 33tan A ，又 A(0，)， A .323(2)在 ABC 中，由正弦定理得， 2 ，bsin B csin C 3sin23 311 b2 sin B， c2 sin C2 sin ，3 3 3 ( 3 B
14、)记 ABC 周长为 y， y a b c2 sin B2 sin 33 3 ( 3 B)2 sin B2 33 3(32cos B 12sin B) sin B3cos B32 sin 3，3 3 (B 3) B ，sin ，(0， 3) (B 3) (32， 1 y(6,32 ，3 ABC 周长的取值范围是(6,32 33. (2018淄博模拟)在 ABC 中， BAC ， D 为边 BC 上23一点， DA AB，且 AD .32(1)若 AC2，求 BD；(2)求 的取值范围DADB DADC解：(1)因为 BAC ， BAD ，23 2所以 CAD ，在 DAC 中， 6由余弦定理知
15、CD2 AC2 AD22 ACADcos ， 6 74得 CD ，72从而 cos ADC .AD2 CD2 AC22ADCD 32212 217或用正弦定理求得 sin ADC277所以 cos ADB .217在 Rt DAB 中， BD ，ADcos ADB 7212所以所求 BD 的长为 .72(2)设 ADB ，则 ACD ， 6在 Rt DAB 中， cos ，DADB在 DAC 中，由正弦定理知 2sin .DADCsin( 6)sin 6 ( 6)于是 cos 2sin sin .DADB DADC ( 6) 3由题设知 ，故 sin 1， 6 2 12因此所求 的取值范围为
16、.DADB DADC (32， 3)4设函数 f(x)sin x( cos xsin x) .312(1)求函数 f(x)的最大值，并求此时的 x 值；(2)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 f(A)1，且 2bsin B2 csin C bc a，求 a 的值3解：(1)由题意可得 f(x) sin xcos xsin 2x312 sin 2x (1cos 2 x)32 12 12 sin 2x cos 2x32 12sin .(2x 6)当 2x 2 k( kZ)， 6 2即 x k( kZ)时，函数 f(x)取得最大值为 1. 3(2) A(0，)，2 A . 6 ( 6， 116 )又 f(A)sin 1，(2A 6)2 A ， 6 213 A . 3根据正弦定理 ，bsin B csin C asin 3得 sin B ，sin C .3b2a 3c2a2 bsin B2 csin C bc a，32 b 2 c bc a，3b2a 3c2a 3 (b2 c2 a2) abc，3 2bccos abc，3 3 a .3
