1、1专题跟踪检测（十二） 直线与圆一、全练保分考法保大分1过点(3,1)作圆( x1) 2 y2 r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A2 x y50 B2 x y70C x2 y50 D x2 y70解析：选 B 过点(3,1)作圆( x1) 2 y2 r2的切线有且只有一条，点(3,1)在圆( x1) 2 y2 r2上，圆心与切点连线的斜率 k ，1 03 1 12切线的斜率为2，则圆的切线方程为 y12( x3)，即 2x y70.2圆心在直线 x2 y0 上的圆 C与 y轴的负半轴相切，圆 C截 x轴所得的弦长为 2，则圆 C的标准方程为( )6A( x2 )2( y )282
2、 2B( x )2( y2 )282 2C( x2) 2( y )282D( x )2( y2) 282解析：选 A 法一：设圆心为 (r0)，半径为 r.由勾股定理( )2 2 r2，(r， r2) 6 (r2)解得 r2 ，圆心为(2 ， )，圆 C的标准方程为 (x2 )2( y )28.2 2 2 2 2法二：四个圆的圆心分别为(2 ， )，( ，2 )，(2， )，( ，2)，将2 2 2 2 2 2它们逐一代入 x2 y0，只有 A选项满足3已知圆 M： x2 y22 ay0( a0)截直线 x y0 所得线段的长度是 2 .则圆 M与2圆 N：( x1) 2( y1) 21 的位
3、置关系是( )A内切 B相交C外切 D相离解析：选 B 由题意知圆 M的圆心为(0， a)，半径 R a，因为圆 M截直线 x y0 所得线段的长度为 2 ，所以圆心 M到直线 x y0 的距离 d (a0)，解得2|a|2 a2 2a2，即圆 M的圆心为(0,2)，又知圆 N的圆心为(1,1)，半径 r1，所以| MN| ，则2R r0)，则 r 64，23所以圆 C的方程为( x4) 2 y216.法二：设 A， B两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)(x10， x20)，由题设知x y x y .21 21 2 2又 y 2 x1， y 2 x2，故 x 2 x1 x
4、2 x2，21 2 21 2即( x1 x2)(x1 x22)0，由 x10， x20，可知 x1 x2，故 A， B两点关于 x轴对称，所以圆心 C在 x轴上设点 C的坐标为( r,0)(r0)，则点 A的坐标为 ，于是 22 r，解得(32r， 32r) (32r) 32r4，所以圆 C的方程为( x4) 2 y216.7设 M， N分别为圆 O1： x2 y212 y340 和圆 O2：( x2) 2 y24 上的动点，则M， N两点间的距离的取值范围是_解析：圆 O1的方程可化为 x2( y6) 22，其圆心为 O1(0,6)，半径 r1 .圆 O2的2圆心 O2(2,0)，半径 r2
5、2，则| O1O2| 2 ，则36 4 10|MN|max2 2 ，| MN|min2 2 ，故 M， N两点间的距离的取值范围是10 2 10 22 2 ， 2 2 10 2 10 2答案：2 2 ，2 2 10 2 10 28过点 P(3,1)， Q(a,0)的光线经 x轴反射后与圆 x2 y21 相切，则 a的值为_解析：点 P(3,1)关于 x轴对称的点为 P(3，1)，所以直线 P Q的方程为 x( a3) y a0，由题意得直线 P Q与圆 x2 y21 相切，所以 1，| a|12 a 3 2解得 a .53答案：539已知圆 C过点(1,0)，且圆心在 x轴的正半轴上，直线 l
6、： y x1 被圆 C所截得的弦长为 2 ，则过圆心且与直线 l垂直的直线的方程为_2解析：由题意，设所求的直线方程为 x y m0，圆心坐标为( a,0)(a0)，则由题意知 22( a1) 2，(|a 1|2 )解得 a3 或1(舍去)，故圆心坐标为(3,0)，4因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以 30 m0，解得 m3，故所求的直线方程为 x y30.答案： x y3010(2018全国卷)设抛物线 C： y24 x的焦点为 F，过 F且斜率为 k(k0)的直线l与 C交于 A， B两点，| AB|8.(1)求 l的方程；(2)求过点 A， B且与 C的准线相切的圆的方程解：(1)由
7、题意得 F(1,0)， l的方程为 y k(x1)( k0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20. 16 k2160，故 x1 x2 .2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4k2 4k2由题设知 8，4k2 4k2解得 k1 或 k1(舍去)因此 l的方程为 y x1.(2)由(1)得 AB的中点坐标为(3,2)，所以 AB的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则Error!解得Error! 或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y
8、2) 216 或( x11) 2( y6) 2144.11(2018成都模拟)在平面直角坐标系 xOy中，曲线 ： y x2 mx2 m(mR)与x轴交于不同的两点 A， B，曲线 与 y轴交于点 C.(1)是否存在以 AB为直径的圆过点 C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由(2)求证：过 A， B， C三点的圆过定点解：由曲线 ： y x2 mx2 m(mR)，令 y0，得 x2 mx2 m0.设 A(x1,0)， B(x2,0)，5则可得 m28 m0，解得 m8或 m0，又圆 C与 y轴相切，所以圆 C的半径 r a，所以圆 C的方程为( x a)2 y2 a2.6因为点 M
9、(1， )在圆 C上，3所以(1 a)2( )2 a2，解得 a2.3所以圆 C的方程为( x2) 2 y24.(2)证明：记直线 OA的斜率为 k(k0)，则其方程为 y kx.联立Error! 消去 y，得( k21) x24 x0，解得 x10， x2 .4k2 1所以 A .(4k2 1， 4kk2 1)由 kkOB2，得 kOB ，2k直线 OB的方程为 y x，2k在点 A的坐标中用 代换 k，得 B .2k (4k2k2 4， 8kk2 4)当直线 l的斜率不存在时， ，得 k22，此时直线 l的方程为 x .4k2 1 4k2k2 4 43当直线 l的斜率存在时， ，即 k22
10、，4k2 1 4k2k2 4则直线 l的斜率为4kk2 1 8kk2 44k2 1 4k2k2 4 .4k k2 4 8k k2 14 k2 4 4k2 k2 1 3k k2 24 k4 3k2 k2故直线 l的方程为 y ，4kk2 1 3k2 k2(x 4k2 1)即 y ，3k2 k2(x 43)所以直线 l过定点 .(43， 0)综上，直线 l恒过定点，定点坐标为 .(43， 0)二、强化压轴考法拉开分1已知圆 C： x2 y21，点 P(x0， y0)在直线 l：3 x2 y40 上，若在圆 C上总存在两个不同的点 A， B，使 ，则 x0的取值范围是( )OA OB OP 7A. B.(0，2413) ( 2413， 0)C. D.(0，1324) (0， 1312)解析：选 C 如图， ，OA OB OP OP与 AB互相垂直平分，圆心到直线 AB的距离0， 0，得 b2 . 33 33要使 k1， k2， k有意义，则 x10， x20，所以 0不是方程(*)的根，所以 b220，即 k1 且 k1. 由，得 k的取值范围为 ，1) (1， 3 ( 1， 33) (33， 1) 310
