1、1专题跟踪检测（十八） 坐标系与参数方程1(2018全国卷)在平面直角坐标系 xOy中， O的参数方程为Error!( 为参数)，过点(0， )且倾斜角为 的直线 l与 O交于 A， B两点2(1)求 的取值范围；(2)求 AB中点 P的轨迹的参数方程解：(1) O的直角坐标方程为 x2 y21.当 时， l与 O交于两点2当 时，记 tan k，则 l的方程为 y kx .2 2l与 O交于两点需满足 1，即 或 .(2， 34) (4， 2)综上， 的取值范围是 .(4， 34)(2)l的参数方程为Error!（ t为参数， ）.设 A， B， P对应的参数分别为4 34tA， tB， t
2、P，则 tP ，且 tA， tB满足 t22 tsin 10.tA tB2 2于是 tA tB2 sin ， tP sin .2 2又点 P的坐标( x， y)满足Error!所以点 P的轨迹的参数方程是Error!（ 为参数， ）.4 342(2018开封模拟)在直角坐标系 xOy中，直线 C1的参数方程为Error!( t为参数)，圆 C2：( x2) 2 y24，以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1， C2的极坐标方程和交点 A的坐标(非坐标原点)；(2)若直线 C3的极坐标方程为 ( R)，设 C2与 C3的交点为 B(非坐标原点)，4求 OAB的最大面
3、积解：(1)由Error!( t为参数)，得曲线 C1的普通方程为 y xtan ，故曲线 C1的极坐标方程为 ( R)将 x cos ， y sin 代入( x2) 2 y24，得 C2的极坐标方程为 4cos .故交点 A的坐标为(4cos ， )(也可写出直角坐标)2(2)由题意知，点 B的极坐标为 .(22，4) S OAB |12224cos sin(4 )|，|22sin(2 4) 2|当 sin 1 时，( S OAB)max2 2，(2 4) 2故 OAB的最大面积是 2 2.23(2018辽宁五校协作体联考)极坐标系的极点为直角坐标系 xOy的原点，极轴为 x轴的正半轴，两种
4、坐标系中的长度单位相同已知曲线 C的极坐标方程为 2sin ， .0， 2 (1)求曲线 C的直角坐标方程；(2)在曲线 C上求一点 D，使它到直线 l：Error!( t为参数)的距离最短，写出 D点的直角坐标解：(1)由 2sin ，可得 22 sin ，曲线 C的直角坐标方程为 x2 y22 y0.(2)由直线 l的参数方程为Error!( t为参数)，消去 t得 l的普通方程为x y 50，3由(1)得曲线 C的圆心为(0,1)，半径为 1，又点(0,1)到直线 l的距离为 21，|1 5|1 3所以曲线 C与 l相离因为点 D在曲线 C上，所以可设 D(cos ，1sin )，则点
5、D到直线 l的距离 d ，|3cos 1 sin 5|2 |2sin( 3) 4|2当 sin 1 时，点 D到直线 l的距离 d最短，此时 ，故点 D的直角坐标( 3) 6为 .(32， 32)4(2019 届高三昆明调研)在平面直角坐标系 xOy中，已知倾斜角为 的直线 l过点 A(2,1)以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C的极坐标方程为 2sin ，直线 l与曲线 C分别交于 P， Q两点(1)写出直线 l的参数方程和曲线 C的直角坐标方程；(2)若| PQ|2| AP|AQ|，求直线 l的斜率 k.解：(1)直线 l的参数方程为Error!( t为参数)，3
6、曲线 C的直角坐标方程为 x2 y22 y.(2)将直线 l的参数方程代入曲线 C的直角坐标方程，得 t2(4cos )t30，由 (4cos )2430，得 cos2 ，34则 t1 t24cos ， t1t23，由参数的几何意义知，|AP| t1|，| AQ| t2|，|PQ| t1 t2|，由题意知，( t1 t2)2 t1t2，则( t1 t2)25 t1t2，得(4cos )253，解得 cos2 ，满足 cos2 ，1516 34所以 sin2 ，tan 2 ，116 115所以直线 l的斜率 ktan .15155已知曲线 C：Error!( 为参数)和定点 A(0， )， F1
7、， F2是此曲线的左、右焦点，3以坐标原点 O为极点，以 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线 AF2的极坐标方程；(2)经过点 F1且与直线 AF2垂直的直线 l交曲线 C于 M， N两点，求| MF1| NF1|的值解：(1)曲线 C：Error!可化为 1，x24 y23故曲线 C为椭圆，则焦点 F1(1,0)， F2(1,0)所以经过点 A(0， )和 F2(1,0)的直线 AF2的方程为 x 1，即 x y 0，3y3 3 3所以直线 AF2的极坐标方程为 cos sin .3 3(2)由(1)知，直线 AF2的斜率为 ，因为 l AF2，所以直线 l的斜率为 ，即倾斜333角
8、为 30，所以直线 l的参数方程为Error!( t为参数)，代入椭圆 C的方程中，得 13t212 t360.3则 t1 t2 .12313因为点 M， N在点 F1的两侧，所以| MF1| NF1| t1 t2| .1231346(2018潍坊模拟)在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos2 sin ( 0,0 )(1)写出曲线 C1的极坐标方程，并求 C1与 C2交点的极坐标；(2)射线 与曲线 C1， C2分别交于点 A， B(A， B异于原点)，求(6 3)的取
9、值范围|OA|OB|解：(1)由题意可得曲线 C1的普通方程为 x2( y2) 24，把 x cos ， y sin 代入，得曲线 C1的极坐标方程为 4sin ，联立Error! 得 4sin cos2 sin ，此时 0 ，当 sin 0 时， 0， 0，得交点的极坐标为(0,0)；当 sin 0 时，cos 2 ，得 cos ，14 12当 cos 时， ， 2 ，得交点的极坐标为 ，12 3 3 (23， 3)当 cos 时， ， 2 ，得交点的极坐标为 ，12 23 3 (23， 23) C1与 C2交点的极坐标为(0,0)， ， .(23，3) (23， 23)(2)将 代入 C1
10、的极坐标方程中，得 14sin ，代入 C2的极坐标方程中，得 2 ，sin cos2 4cos 2 .|OA|OB| 4sin sin cos2 ，14cos 2 3，6 3 的取值范围为1,3|OA|OB|7(2018福州模拟)在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C：Error!( 为参数，t0)在以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l： cos .( 4) 2(1)若 l与曲线 C没有公共点，求 t的取值范围；(2)若曲线 C上存在点到 l的距离的最大值为 ，求 t的值62 2解：(1)因为直线 l的极坐标方程为 cos ，即 cos sin ( 4) 25 2，
11、所以直线 l的直角坐标方程为 x y2.因为曲线 C的参数方程为Error!( 为参数， t0)，所以曲线 C的普通方程为 y21( t0)，x2t2由Error! 消去 x，得(1 t2)y24 y4 t20，所以 164(1 t2)(4 t2)0，又 t0，所以 0 t ，3故 t的取值范围为(0， )3(2)由(1)知直线 l的直角坐标方程为 x y20，故曲线 C上的点( tcos ，sin )到 l的距离d ，|tcos sin 2|2故 d的最大值为 ，t2 1 22由题设得 ，t2 1 22 62 2解得 t .2又 t0，所以 t .28(2019 届高三成都诊断)在平面直角坐
12、标系 xOy中，曲线 C的参数方程为Error!( 为参数 )，直线 l的参数方程为Error!( t为参数)在以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点 O的射线与曲线 C相交于不同于极点的点 A，且点A的极坐标为(2 ， )，其中 .3 (2， )(1)求 的值；(2)若射线 OA与直线 l相交于点 B，求| AB|的值解：(1)由题意知，曲线 C的普通方程为 x2( y2) 24， x cos ， y sin ，曲线 C的极坐标方程为( cos )2( sin 2) 24，即 4sin .由 2 ，得 sin ，332 ， .(2， ) 23(2)易知直线 l的普通方程为 x y4 0，3 3直线 l的极坐标方程为 cos sin 4 0.3 36又射线 OA的极坐标方程为 ( 0)，23联立Error! 解得 4 .3点 B的极坐标为 ，(43，23)| AB| B A|4 2 2 .3 3 3
