1、1专题跟踪检测（十六） 统计、统计案例1在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是( )A3 B4C5 D6解析：选 B 由系统抽样可知，35 人分为 7 组，每组 5 人，最后一组成绩均大于151，前两组成绩均小于 139，故成绩在区间139,151上的运动员人数为 4.2 “双色球”彩票中红色球的号码由编号为 01,02，33 的 33 个个体组成，一位彩民利用下面的随机数表选取 6 组数作为 6 个红色球的编号，选取方法是从随机数表第 1
2、 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个红色球的编号为( )49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A.23 B09C02 D17解析：选 C 从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的 6 个红色球的编号依次为 21,32,09,16,17,02，故选出的第 6 个红色球的编号为 02.故选 C.3(2018昆明调
3、研)下图是 19512016 年我国年平均气温变化图根据上图，判断下列结论正确的是( )A1951 年以来，我国年平均气温逐年增高B1951 年以来，我国年平均气温在 2016 年再创新高2C2000 年以来，我国年平均气温都高于 19812010 年的平均值D2000 年以来，我国年平均气温的平均值高于 19812010 年的平均值解析：选 D 由 19512016 年我国年平均气温变化图可以看出，年平均气温有升高的也有降低的，所以选项 A 不正确；2016 年的年平均气温不是最高的，所以选项 B 不正确；2012 年的年平均气温低于 19812010 年的平均值，所以选项 C 不正确；20
4、00 年以来，只有 2012 年的年平均气温低于 19812010 年的平均值，所以 2000 年以来，我国年平均气温的平均值高于 19812010 年的平均值，故选项 D 正确，故选 D.4(2018惠州模拟)某商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月平均气温 x()之间的关系，随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温 x/ 17 13 8 2月销售量 y/件 24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程 x 中的 2，气象部门预测下个月的平均气温y b a b 约为 6 ，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( )A46 件 B40 件C38 件 D58
5、件解析：选 A 由题中数据，得 10， 38，回归直线 x 过点( ， )，且x y y b a x y2，代入得 58，则回归方程 2 x58，所以当 x6 时， y46，故选 A.b a y 5(2018郑州质量预测)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加 2018 年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分 140 分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是 81，乙班学生成绩的平均数是 86，若正实数 a， b 满足a， G， b 成等差数列且 x， G， y 成等比数列，则 的最小值为( )1a 4bA. B249C. D994解析：选 C 由甲班学
6、生成绩的中位数是 81，可知 81 为甲班 7 名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第 4 个数，故 x1.由乙班学生成绩的平均数为 86，可得(10)(6)(4)( y6)57100，解得 y4.由 x， G， y 成等比数列，可得 G2 xy4，由正实数 a， b 满足 a， G， b 成等差数列，可得 G2， a b2 G4，所以 (a b)1a 4b 14 (54) (当且仅当 b2 a 时取等号)故 的最小值为 ，选 C.(1a 4b) 14 14 94 1a 4b 9436某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是1
7、7.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据频率分布直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )A56 B60C120 D140解析：选 D 由频率分布直方图可知，每周的自习时间不少于 22.5 小时的频率为(0.160.080.04)2.50.7，所以每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是2000.7140.7.空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级，050 为优；51100 为良；1011
8、50 为轻度污染；151200 为中度污染；201300 为重度污染；大于300 为严重污染从某地一环保人士某年的 AQI 记录数据中，随机抽取 10 个，其茎叶图记录如图所示根据该统计数据，估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为_(该年为 365 天)解析：该样本中 AQI 大于 100 的频数是 4，频率为 ，由此估计该地全年 AQI 大于 10025的概率为 ，估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为 365 146.25 25答案：1468某学校高二年级共有女生 300 人，现调查她们每天的课外运动时间，发现她们的课外运动时间介于 30 分钟到 90 分钟，如图是统计结果
9、的频率分布直方图，则她们的平均运动时间大约是_分钟解析：由题图得平均运动时间约为4350.1450.1550.5650.2750.05850.0556.5(分钟)答案：56.59.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的 5 次比赛成绩(单位：环)，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_解析：由题意知 90，87 89 90 91 935则 90，88 89 90 91 90 x5解得 x2，所以 s (8790) 2(8990) 2(9090) 2(9190) 2(9390) 24，2甲15s (8890) 2(8990) 2(9090) 2(91
10、90) 2(9290) 22，2乙15所以 s s ，所以成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 2.2甲 2乙答案：210某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区共投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的(1)根据频率分布直方图，计算图中各小矩形的宽度；(2)试估计该公司投入 4 万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值)；(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入 x/万元 1 2 3 4 5销售收益 y
11、/万元 2 3 2 7由表中的数据显示， x 与 y 之间存在线性相关关系，请将(2)的结果填入空白栏，并求出 y 关于 x 的回归直线方程5附： ， .b ni=1xiyi nx yni=1x2i nx2 a y b x解：(1)设各小矩形的宽度为 m，由频率分布直方图中各小矩形的面积和为 1，可知(0.080.100.140.120.040.02) m1，解得 m2，故图中各小矩形的宽度为 2.(2)由(1)知各分组依次是0,2)，2,4)，4,6)，6,8)，8,10)，10,12，它们的中点的横坐标分别为 1,3,5,7,9,11，各组对应的频率分别为 0.16,0.20,0.28,0
12、.24,0.08,0.04，故可估计销售收益的平均值为10.1630.2050.2870.2490.08110.045.(3)由(2)可知空白栏中填 5，由题意可知， 3，x1 2 3 4 55 3.8，y2 3 2 5 75iyi122332455769，5i=1x1 22 23 24 25 255，5i=1x2i所以 1.2，b 69 533.855 5323.81.230.2，a 故所求的回归直线方程为 1.2 x0.2.y 11(2018全国卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两
13、组，每组 20 人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：6(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过 m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附： K2 ，n ad bc 2 a b c d a c b d解：(1)第二种生产方式的效率更高理由如下：()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有
14、 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 min，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 min.因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 min，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间高于 80 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间低于 80 min.因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎
15、 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少因此第二种生产方式的效率更高(以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)7(2)由茎叶图知 m 80.79 812列联表如下：超过 m 不超过 m第一种生产方式 15 5第二种生产方式 5 15(3)因为 K2 106.635，所以有 99%的把握认为两种生产40 1515 55 220
16、202020方式的效率有差异12在一次抽样调查中测得样本的 6 组数据，得到一个变量 y 关于 x 的回归方程模型，其对应的数值如下表：x 2 3 4 5 6 7y 3.00 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10(1)请用相关系数 r 说明 y 与 x 之间存在线性相关关系(当| r|0.75 时，说明 y 与 x 之间具有线性相关关系)；(2)根据(1)的判断结果，建立 y 关于 x 的回归直线方程并预测当 x9 时，对应的 值y 为多少( 精确到 0.01)b 附：回归直线方程为 x ，y b a 其中 ， ，b ni=1xiyi nxyni=1x2i nx2 a y b x相
17、关系数 r 的公式为 r .ni=1 xi x yi yni=1 xi x 2ni=1 yi y 2参考数据：iyi47.64， 139， (xi )(yi )6.36，6i=1x6i=1x2i6i=1 x y84.18, 1.53.6i=1 xi x 26i=1 yi y 2解：(1)由题意，得 (234567)4.5，x16 (3.002.482.081.861.481.10)2，y16又 (xi )(yi )6.36, 4.18， 1.53，6i=1 x y6i=1 xi x 26i=1 yi y 2所以 r 0.99.6i=1 xi x yi y6i=1 xi x 26i=1 yi y
18、 2 6.364.181.53因为| r|0.75，所以 y 与 x 之间存在线性相关关系(2)因为 b 6i=1xiyi 6x y6i=1x2i 6x2 47.64 64.52139 64.520.3630.36， 20.3634.53.63，a y b x所以 y 关于 x 的线性回归方程为 0.36 x3.63.y 将 x9 代入回归方程得 0.3693.630.39.y 13(2019 届高三广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜过去50 周的资料显示，该地周光照量 X(单位：小时)都在 30 小时以上，其中不足 50 小时的有5 周，不低于 50 小时且不超过 70 小
19、时的有 35 周，超过 70 小时的有 10 周根据统计，该基地的西红柿增加量 y(千克)与使用某种液体肥料的质量 x(千克)之间的对应数据为如图所示的折线图(1)依据折线图计算相关系数 r(精确到 0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y 与 x 的关系(若| r|0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)9(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量 X 限制，并有如下关系：周光照量 X/小时 3070光照控制仪运行台数 3 2 1对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为 3 000
20、 元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损 1 000 元若商家安装了 3 台光照控制仪，求商家在过去 50 周的周总利润的平均值附：相关系数公式： r ，ni=1 xi x yi yni=1 xi x 2ni=1 yi y 2参考数据： 0.55， 0.95.0.3 0.9解：(1)由已知数据可得 5，x2 4 5 6 85 4.y3 4 4 4 55因为 (xi )(yi )(3)(1)000316，5i 1 x y 2 ，5i=1 xi x 2 3 2 1 2 02 12 32 5 ，5i=1 yi y 2 1 2 02 02 02 12 2所以相关系数 r5i=1 xi x
21、yi y5i 1 xi x 25i=1 yi y 2 0.95.6252 0.9因为| r|0.75，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系(2)由条件可得在过去 50 周里，当 X70 时，共有 10 周，此时只有 1 台光照控制仪运行，10每周的周总利润为 13 00021 0001 000(元)当 50 X70 时，共有 35 周，此时有 2 台光照控制仪运行，每周的周总利润为 23 00011 0005 000(元)当 30X50 时，共有 5 周，此时 3 台光照控制仪都运行，每周的周总利润为 33 0009 000(元)所以过去 50 周的周总利润的平均值为4 600(元)，1 00010 5 00035 9 000550所以商家在过去 50 周的周总利润的平均值为 4 600 元
