1、1第二板块 贯通 4 大数学思想解得稳思想(一) 函数方程 稳妥实用函数与方程思想的概念 函数与方程思想的应用函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立
2、函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.借助“显化函数关系” ，利用函数思想解决问题在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解已知数列 an是各项均为正数的等差数列， a12，且 a2， a3， a41 成等比数例 1列(1)求数列 an的通项公式 an；(2)设数列 an的前 n 项和为 Sn， bn ，若对任意的 nN *，不1Sn 1 1Sn 2 1S2n等式 bn k 恒成立，求实数 k 的最小值解 (1)因为 a12， a a2(a41)，23又因
3、为 an是正项等差数列，所以公差 d0，所以(22 d)2(2 d)(33 d)，解得 d2 或 d1(舍去)，所以数列 an的通项公式 an2 n.(2)由(1)知 Sn n(n1)，则 bn 1Sn 1 1Sn 2 1S2n 1 n 1 n 2 1 n 2 n 3 12n 2n 12 1n 1 1n 2 1n 2 1n 3 12n 12n 1 .1n 1 12n 1 n2n2 3n 1 12n 1n 3令 f (x)2 x (x1)，则 f ( x)2 ，1x 1x2当 x1 时， f ( x)0 恒成立，所以 f (x)在1，)上是增函数，故当 x1 时， f (x)min f (1)3
4、，即当 n1 时，( bn)max ，16要使对任意的正整数 n，不等式 bn k 恒成立，则需使 k( bn)max ，16所以实数 k 的最小值为 .16技法领悟 数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于 n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，用函数思想或函数方法研究、解决问题 ，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平应用体验1已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上，当正棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )A3 B.3 3C2 D26 3解析：
5、选 D 设正六棱柱的底面边长为 a，高为 h，则可得 a2 9，即 a29 ，h24 h24那么正六棱柱的体积 V h h .(634a2) 332(9 h24) 332( h34 9h)令 y 9 h，则 y 9，h34 3h24令 y0，解得 h2 .易知当 h2 时， y 取最大值，即正六棱柱的体积最大3 32设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a312， S120， S130.S1313 a178 d15652 d0，所以 d3.247Sn na1 d dn2 n，n n 12 12 (12 52d)由 d0， Sn是关于 n 的二次函数，知对称轴方程为 n .52 12d又
6、由 d3，得 6 ，247 52 12d 132所以当 n6 时， Sn最大答案： S63满足条件 AB2， AC BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是_2解析：可设 BC x，则 AC x，根据面积公式得2S ABC ABBCsin B x .12 1 cos2B由余弦定理得 cos B .x2 22 2x 222x 4 x24x则 S ABC x .1 (4 x24x )2 128 x2 12 216由Error! 解得 2 2 x2 2.2 2故当 x2 时， S ABC取得最大值，最大值为 2 .3 2答案：2 2转换“函数关系” ，利用函数思想解决问题在有关函数形态和曲线性质或不
7、等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解已知函数 f (x)lg ，其中 a 为常数，若当 x(，1时， f 例 21 2x 4xaa2 a 1(x)有意义，则实数 a 的取值范围为_解析 参数 a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于 a 的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把 a 分离出来，重新认识 a 与变元 x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明” 4由 0，且 a2 a1 2
8、0，1 2x 4xaa2 a 1 (a 12) 34得 12 x4 xa0，故 a .(14x 12x)当 x(，1时， y 与 y 都是减函数，14x 12x因此，函数 y 在(，1上是增函数，(14x 12x)所以 max ，所以 a .(14x 12x) 34 34故实数 a 的取值范围是 .(34， )答案 (34， )发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现本题主客换位后，利用新建函数 y 的单调性巧妙地求出实数 a 的取值范14x 12x围此法也叫主元法技法领悟 应用体
9、验4设不等式 2x1 m(x21)对满足| m|2 的一切实数 m 的取值都成立，则 x 的取值范围为_解析：问题可以变成关于 m 的不等式(x21) m(2 x1)0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，其中 y1y2，则 y1 y2 ， y1y2 ，2mm2 4 3m2 4所以| y2 y1| ，4m2 3m2 4所以 S AOB |OE|y2 y1|12 2m2 3m2 4 .2m2 3 1m2 3设 t ，则 g(t) t ， t ，m2 31t 3所以 g( t)1 0，1t2所以 g(t)在区间 ，)上为增函数，3所以 g(t) ，433所以 S AOB ，当且仅当 m0
10、 时等号成立32所以 AOB 的面积存在最大值，为 .32构造“函数关系” ，利用函数思想解决问题在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现特别要注意的是，构造时，要深入审题，6充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移设函数 f (x) aexln x ，曲线 y f (x)在点(1， f (1)处的切线为例 3bex 1xye( x1)2.(1)求 a， b；(2)证明： f (x)1.解 (1) f ( x) aex (x0)，(ln
11、x1x) bex 1 x 1x2由于直线 ye( x1)2 的斜率为 e，图象过点(1,2)，所以Error! 即Error!解得Error!(2)证明：由(1)知 f (x)e xln x (x0)，2ex 1x从而 f (x)1 等价于 xln x xe x .2e构造函数 g(x) xln x，则 g( x)1ln x，所以当 x 时， g( x)0，当 x ，时， g( x)0，故 g(x)在 上单(0，1e) 1e (0， 1e)调递减，在 上单调递增，从而 g(x)在(0，)上的最小值为 g .(1e， ) (1e) 1e构造函数 h(x) xe x ，2e则 h( x)e x(1
12、 x)所以当 x(0,1)时， h( x)0；当 x(1，)时， h( x)0；故 h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而 h(x)在(0，)上的最大值为 h(1) .1e综上，当 x0 时， g(x) h(x)，即 f (x)1.技法领悟对于第(2)问“ aexln x 1”的证明，若直接构造函数 h(x) aexln xbex 1x1，求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将不等式bex 1x“aexln x 1”合理拆分为“ xln x xe x ”，再分别对左右两边构造函数，进bex 1x 2e而达到证明原不等式的目的应用体验76已知函数 y f
13、(x)对于任意的 x 满足 f ( x)cos x f (x)sin (0， 2)x1ln x，其中 f ( x)是函数 f (x)的导函数，则下列不等式成立的是( )A. f f 2 ( 3) ( 4) 2 ( 3) ( 4)C. f f D. f ，所以 g g ， 3 41e ( 3) ( 4)所以 ，f ( 3)cos 3f ( 4)cos 4即 f f ，故选 B.2 ( 3) ( 4)7若 0ln x2ln x1 Be e x1e D x2e g(x2)， x2e x1e ，故选 C.x1 x2构造“方程形式” ，利用方程思想解决问题分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的
14、方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面已知直线 l： y k(x1)与抛物线 C： y24 x 交于不同的两点 A， B，问：例 4是否存在实数 k，使以 AB 为直径的圆过抛物线 C 的焦点 F？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由解 存在显然 F 的坐标为(1,0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 k(x11)，y2 k(x21)当 k0 时， l 与 C 只有一个交点不合题意，因此， k0.将 y k(x1)代入 y24 x，得 k2x22( k22) x k20， 依题意， x1， x2是式不相
15、等的两个根，则Error! 以 AB 为直径的圆过 FAF BFkAFkBF1 1 x1x2 y1y2( x1 x2)10y1x1 1 y2x2 1x1x2 k2(x11)( x21)( x1 x2)10(1 k2)x1x2( k21)( x1 x2)1 k20.把 x1 x2 ， x1x21 代入式，2 2 k2k2得 2k210. k ，经检验， k 适合式22 22综上所述， k 为所求22技法领悟 “是否存在符合题意的实数 k”，按思路的自然流向应变为“关于 k 的方程是否有解”另外，解得 k 后，必须经过式的检验，就是说， k 时 ，直线 l 与抛物线22 22C 要确实有两个不同的
16、交点9应用体验8. 已知| a|2| b|0，且关于 x 的方程 x2| a|x ab0 有实根，则 a 与 b 夹角的取值范围为_解析：| a|2| b|0，且关于 x 的方程 x2| a|x ab0 有实根，则|a|24 ab0，设向量 a， b 的夹角为 ，则 cos .ab|a|b|14|a|212|a|2 12所以 a 与 b 的夹角 的取值范围为 . 3， 答案： 3， 9已知 x ，则函数 y 的最小值为_12， 2 5x 2x解析：将原函数变形为 y2x25 x20， x .设 f (x) y2x25 x2，该方程有12， 2解的充要条件为f f (2)0 或Error!(12
17、)解得 y ，所以 ymin ，此时 x 或 x2.2524 2 12答案： 2转换“方程形式” ，利用方程思想解决问题把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面已知 sin( ) ，sin( ) ，求 的值例 523 15 tan tan 解 法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得Error!所以 sin cos ，cos sin .1330 730从而 .tan tan sin cos cos sin 13710法二：令 x .因为 ，tan t
18、an sin sin 103且 .sin sin sin cos cos sin cos cos tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1 x 1x 1所以得到方程 .x 1x 1 103解这个方程得 x .tan tan 137技法领悟 本例解法二运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于 sin cos 与 cos sin 的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值(或tan tan )应用体验10已知函数 f (x)满足条件 f (x)2 f x，则 f (x)_.(1x)解析：用 代换条件式中的 x 得 f 2 f (x) ，1x (1x) 1x因此 f (
19、x)与 f 满足方程组(1x)Error!2得 3f (x) ，解得 f (x) .2 x2x 2 x23x答案：2 x23x11直线 y x3 与抛物线 y24 x 交于 A， B 两点，过 A， B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P，Q，则梯形 APQB 的面积为_解析：联立Error!消去 y，得 x210 x90，解得Error! 或Error!所以| AP|10，| BQ|2，| PQ|8，梯形 APQB 的面积为 48.答案：48总结升华 函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉
20、及不等式恒成立问题、比较大小问题一般利用函数思想构造新函数，建11立函数关系求解(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解(3)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决 思想(二) 数形结合 直观快捷充分运用数的严谨和形的
21、直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法数形结合思想的应用包括以下两个方面：以形助数 以数助形即借助形的直观性来阐明数之间的联系以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助解析几何方法即借助数的精确性来阐明形的某些属性以数助形常用的有：借助几何轨迹所遵循的数量关系；借助运算结果与几何定理的结合由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化利用数形结合求解 f (x) k 型
22、问题方法一：直接作图 (1)已知函数 f (x)|lg x|.若 0h(1)3，即 a2 b 的取值范围是(3，)故选 C.(2)f (x)sin x2|sin x|， x0,2，化简得 f (x)Error! 作出 f (x)的图象及直线 y k，由图象知当 1 k3 时，函数 f (x)与直线 y k 有且仅有两个交点答案 (1)C (2)(1,3)技法领悟 如本例(1)，实际上存在一条“虚拟”的水平直线，这一点固然重要，却不是本题的关键本题的关键在于水平直线与函数图象的两个交点的横坐标并非毫无关联，而是满足一定的关系，即 ab1，这一关键之处决定了该类型题目的难度和极易出错的特性本例(2
23、)中有一条明显的“动态”水平直线，通过上下移动观察其与函数图象的交点情况但有些题中的这条水平线就不容易能看出来特别提醒：务必注意水平直线与函数图象的交点的横坐标之间的联系例如，一条水平直线与二次函数图象的交点的横坐标之和为定值，且为对称轴的两倍；一条水平直线与三角函数图象的交点的横坐标满足一定的周期性等等应用体验1已知 f (x)| x| x1|，若 g(x) f (x) a 的零点个数不为 0，则 a 的最小值为_解析： 原方程等价于 f (x)Error! 其图象如图所示，要使 a f (x)有零点，则a1，因此 a 的最小值为 1.答案：12对于实数 a， b，定义运算“*”： a*bE
24、rror!设 f (x)(2 x1)*( x1)，且关于 x 的方程 f (x) m(mR)恰有三个互不相等的实数根 x1， x2， x3，则 x1x2x3的取值范围是_解析： f (x)(2 x1)( x1)Error!f (x)Error!故关于 x 的方程 f (x) m(mR)恰有三个互不相等的实根 x1， x2， x3，等价于函数 f (x)的图象与直线 y m 有三个不同的交点作出函数 f (x)的大致图象如图所示，从图中不难得知 00 时， x2 x m，即 x2 x m0，由此可得 x2x3 m.当 x0，则 a 的取值范围为( )A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)解
25、析：选 B 显然 x0 不是 f (x)的零点，将 f (x)0 变形得 a ，由题意得直线 y a 与函数 y 的图象有唯3x 1x3 3x 1x3一交点且交点在 y 轴右边由于函数 g(x) 为奇函数，考3x 1x3虑当 x(0，)时， g( x) ， g(x)在 x1 处取得极大值，且当 x 趋近于3 1 x2x40 时， g(x)趋近于；且当 x 趋近于时， g(x)趋近于 0，画出 y g(x)的图象如图所示，平移直线 y a，由图象知 a 的取值范围是(，2)4若关于 x 的方程 kx2有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为_|x|x 4解析： x0，显然是方程的一个实数解；当
26、x0 时，方程 kx2可化为|x|x 4( x4)| x|(x4)，1k设 f (x)( x4)| x|(x4 且 x0)， y ，原题可以转化为两函数有三个非零交1k点则 f (x)( x4)| x|Error!的大致图象如图所示，由图，易得 0 .14所以 k 的取值范围为 .(14， )答案： (14， )利用数形结合求解 kx b f (x)型问题方法一：旋转动直线 若直线的斜率在变化，则这样的直线往往都恒过某一个定点，对于这类型的题，首先找出这个定点非常关键，然后确定相应的临界情形，最后考虑旋转的方向(1)已知函数 f (x)| x2|1， g(x) kx，若 f (x) g(x)有
27、两个不相等的例 3实根，则实数 k 的取值范围是( )A. B.(0，12) (12， 1)C(1,2) D(2，)(2)已知函数 f (x)Error!若| f (x)| ax，则 a 的取值范围是( )A(，0 B(，1C2,1 D2,0解析 (1)由题意得函数 f (x)的图象与函数 g(x)的图象有两个不同的交点，分别画出函数图象如图所示直线 g(x) kx 过原点这个定点，寻找临界点，当直线过点(2,1)时，直线与函数 f (x)| x2|1 只有一个交点，此时 k ，然后直线绕着原点1 02 0 12逆时针旋转，当与 f (x)在 x2 时的图象平行时，就只有一个交点，所以 0，则
28、当 x 趋于正无穷时， axln(1 x)，与题意矛盾，所以 a0.故只需满足动直线 g(x) ax 在区间(，0)内落在 f (x) x22 x 之下即可其临界情形是 g(x) ax 与 f (x) x22 x 相切，即 x22 x ax 只有一个实数解，可得 a2.如图所示，动直线 g(x) ax 逆时针旋转满足题意，因此 a2,0答案 (1)B (2)D技法领悟 16解决此类问题，初始位置(临界情况)的选取相当重要，一般来说，初始位置要么恰好满足题意，要么恰好不满足题意，具体情况还得具体分析应用体验5已知方程 ax40 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是x 4 x_解析：方程
29、 ax40 有两个不相等的实数根等价于x 4 x函数 y 与 y ax4 有两个不同的交点， y x 4 x x 4 x是一个半圆，直线 y ax4 是绕点(0,4)旋转的动直线，画出 y的图象，如图所示，要使 ax4 有两个不同的x 4 x x 4 x实数解，当它们相切时是临界情形，可计算出此时 a 的值，由Error!(a21) x2(8 a4) x160， 0 a .由图可知，直线 y ax4 绕点34(0,4)顺时针旋转到直线过点(4,0)时是另一个临界条件，所以当1 a 时，直线与曲34线有两个交点，于是 a 的取值范围为 . 1， 34)答案： 1， 34)6用 maxa， b表示
30、 a， b 两个数中最大数，设 f (x)max x28 x4，log 2x，若 g(x) f (x) kx 有两个零点，则 k 的取值范围是( )A(0,3) B(0,3C(0,4) D0,4解析：选 C 法一：画出 f (x)的图象如图所示， g(x)有两个零点，即 y f (x)的图象与 y kx 的图象有两个交点，从图象上看，当直线与二次函数上方相切时有一个交点，此时 x28 x4 kx， ( k8)2160 k1 4， k212(舍去，此时与下方相切)，所以当 0|x a|至少有一个负数解，则 a 的取值范围是_解析 (1)画出函数 y f (x)的图象，如图所示， y x a 是斜
31、率恒为 1 的动直线，首先考虑直线过原点(这就是我们所说的初始位置)，此时直线刚好与 y f (x)的图象有两个交点，将直线往下平移会有三个交点，一直平移直到与 y f (x)， x0,1相切，此时刚好又出现两个交点的情形(注意平移的动作慢一点)，此时联立Error!x2 x a0， 14 a0 a ，所以在一个周期内得到满足条件的 a 的值14为 a0 或 a ，又因为周期为 2，所以 a2 k 或 a 2 k(kZ)14 14(2)令 f (x)2 x2， g(x)| x a|，由于 g(x)| x a|的图象是 V 形首先将这个V 形的尖点放在点(2,0)(这是我们所说的初始位置，该点往
32、往都是使得结论恰好成立或者恰好不成立的位置，然后再平移)，此时a2.然后再将 V 形尖点向左平移，即如图中的箭头所示由图可知，向左平移的临界情况是 V 形尖点右支与 f (x)相切，此时联立Error!知 x2 x a20 有一个解， 14(2 a)0 a .要特别注意，此时 g(x)94| x a|的图象与 f (x)2 x2的图象相切，但不等式取不到等号，因此 a ，注意到94a2 时无负数根，因此 a 的取值范围为 .(94， 2)答案 (1)D (2) (94， 2)技法领悟 对于平移的动直线情形，关键在于如何选取初始位置(临界情形)，这个难把握之处正是本块内容的核心，初始位置的选取并
33、非信手拈来，而是有根有据的，通过本例中的两个题目，仔细体会应用体验7已知函数 f (x)Error!且关于 x 的方程 f (x) x a0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围为( )18A(1，) B(1,3)C(，1) D(2,4)解析：选 A 画出 f (x)的图象，如图所示，则由方程有且仅有一个实根可得 f (x)的图象与直线 y x a 的图象只有一个交点首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点)，由图可知，只有向上平移才能满足 f (x)图象与直线 y x a 只有一个交点，所以 a 的取值范围是(1，)8已知函数 f (x)Er
34、ror!若方程 f (x) x a 有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为( )A(，0 B0,1)C(，1) D0，)解析：选 C 注意本题只有在(1，)内才是周期为 1 的函数，根据函数的解析式首先画出在(，0内的图象，然后截取(1,0的图象向右一个单位一个单位的平移，可以得到 f (x)的图象，如图所示 y x a 是斜率为 1 的动直线，首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点，向上平移只有一个交点)，由图可知，只有向下平移才能满足 f (x)图象与直线 y x a 有两个交点，所以 a 的取值范围是(，1).利用数形结合求解
35、解析几何问题(1)已知圆 C：( x3) 2( y4) 21 和两点 A( m，0)， B(m，0)例 5(m0)若圆 C 上存在点 P，使得 APB90，则 m 的最大值为( )A7 B6C5 D4(2)设双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右顶点分别为 A1， A2，左、右焦点分别x2a2 y2b2为 F1， F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线 C 的离心率为( )A. B.2 3C2 D. 5解析 (1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径r1，且| AB|2 m.因为 APB9
36、0，连接 OP，易知| OP| |AB| m.1219要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离因为| OC| 5，32 42所以| OP|max| OC| r6，即 m 的最大值为 6.(2)如图所示，设以 A1A2为直径的圆与直线 PF2的切点为 Q，连接 OQ，则 OQ PF2.又 PF1 PF2， O 为 F1F2的中点，所以|PF1|2| OQ|2 a.又| PF2| PF1|2 a，所以| PF2|4 a.在 Rt F1PF2中，|PF1|2| PF2|2| F1F2|24a216 a220 a24 c2e .ca 5答案 (1)B (2)D技法领悟 (1)
37、在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离应用体验9已知 P 是直线 l：3 x4 y80 上的动点， PA， PB 是圆 x2 y22 x2 y10 的两条切线， A， B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为_解析：由题意知圆的圆心 C(1,1)，半径为 1，从运动的观点看问题，当
38、动点 P 沿直线 3x4 y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 S PAC |PA|AC| |PA|越来越大，从而12 12S 四边形 PACB也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动， S 四边形 PACB变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直于直线 l 时， S 四边形 PACB应有唯一的最小值，此时| PC| 3，从而|31 41 8|32 42|PA| 2 ，所以( S 四边形 PACB)min2 |PA|AC|2 .|PC|2 |AC|2 212 2答案：2 22010已知抛物线的方程为 x28 y， F 是其焦点，点 A
39、(2,4)，在此抛物线上求一点P，使 APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为_解析：因为(2) 20， b0，且 a1， b1，若 logab1，则( )例 2A( a1)( b1)0 B( a1)( a b)0C( b1)( b a)0 D( b1)( b a)0解析 a0， b0，且 a1， b1，当 a1，即 a10 时，不等式 logab1 可化为 alogab a1，即 b a1，( a1)( a b)0，( a1)( b1)0，( b1)( b a)0.当 0 a1，即 a10 时，不等式 logab1 可化为 alogab a1，即 0 b a1，( a1)( a b)0，(
40、a1)( b1)0，( b1)( b a)0.综上可知，选 D.答案 D技法领悟 应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于 1 进行讨论，这是由它的性质决定的在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对23应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一应用体验3若函数 f (x) ax(a0， a1)在1,2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)(14 m) 在0，)上是增函数，则 a_.x解析：若 a1，有 a24， a1 m，此时 a2， m ，此时 g(x) 为减函数，不12 x合题意；若 00 两种情况(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结
41、合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏应用体验5(2018福建第一学期高三期末考试)已知函数 f (x)Error!若 f (a)3，则 f (a2)( )A B31516C 或 3 D 或 36364 1516解析：选 A 当 a0 时，若 f (a)3，则 log2a a3，解得 a2(满足 a0)；当a0 时，若 f (a)3，则 4a2 13，解得 a3，不满足 a0，所以舍去于是，可得a2.故 f (a2) f (0)4 2 1 .15166设函数
42、 f (x) x2 ax a3， g(x) ax2 a，若存在 x0R，使得 f (x0)0，解得 a6.又 g(x) ax2 a 的图象恒过(2,0)故当 a6 时，作出函数 f (x)和 g(x)的图象如图 1 所示，当 a6 时，若 g(x0)7.当 a2，此时函数 f (x) x2 ax a3 的图象的对称轴x 0”是真命题，可得 m 的取值范围是(，1)，而(， a)与(，1)为同一区间，故 a1.2已知集合 A x|1 x0，集合 B x|ax b2x10，即 f (x)在1,0上是单调递增函数，所以 f (x)在1,0上的最小值为 a 1.要使b2A B ，只需 f (x)min
43、 a 10，即 2a b20，所以满足 A B的( a， b)对b2应的区域为如图所示的阴影部分29易知 S 阴影 1 ，所以 A B的概率为 ，故 A B 的概率为 1 12 12 14 144 116 116.1516常量与变量的转化对于满足 0 p4 的所有实数 p，使不等式 x2 px4x p3 成立的 x 的例 2取值范围是_解析 不等式 x2 px4x p3 对 p0,4恒成立可化为( x1) p x24 x30 对p0,4恒成立，设 f (p)( x1) p x24 x3，则当 x1 时， f (p)0.所以 x1.f (p)在 0 p4 上恒为正等价于Error!即Error! 解得 x3 或 x0 成立的 x 的取值范围，再借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决(2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看作是“主元” ，实现主与次的转化，即常量与变量的转化，从而达到减元的目的应用体验3设 f (x)是定义在 R 上的单调递增函数，若 f (1 ax x2) f (2 a)对任意a1,1恒成立，则 x 的取值范围为_解析： f (x)是 R 上的单调递增函数，1 ax x22
