2019届高三数学备考冲刺140分问题01数集与点集的运算（含解析）.doc

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1、1问题 01 数集与点集的运算一、考情分析集合是高考数学必考内容,一般作为容易题. 给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前 3题中二、经验分享(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： 20x； 2xy； 2yx； 2,xyx.(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程的整数解集可表示为12,12,.(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解

2、问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.(5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：紧扣新定义首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用

3、集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质三、知识拓展1若有限集 A中有 n个元素,则集合 A的子集个数为 2n,真子集的个数为 2n1.2 ABA B AA B B UUB .3奇数集： 21, 1,41xxxZZZ.4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种2(或几种)运算是封闭的.自然数集 N对加法运算是封闭的;整数集 Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集0

4、就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含 0和 1,如果对 F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为 0),仍是 F中的数,即运算封闭,则称 F为数域.四、题型分析(一)与数集有关的基本运算【例 1】【2018 年理新课标 I卷】已知集合，则=|220 A. B. C. D. |1 |2 【分析】首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合 A，之后根据集合补220集中元素的特征，求得结果.【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果，要注意端点值的取舍【小试牛刀】

5、【2017 全国 1理 1】已知集合 1Ax, 31xB,则（）.A. 0ABx B. BR C. D. AB【答案】A【解析】 1x, 310x,所以 0ABx, 1x.故选 A.(二)与点集有关的基本运算【例 2】已知 3(,)|,(,)|20,2yMxNxyaMN,则 a（）A2 B6 C2 D一 2或6【分析】首先分析集合是除去点 (,3)的直线 3yx,集合表示过定点 (1,0)的直线,3MN等价于两条直线平行或者直线 20axy过 (2,3),进而列方程求 a的值【解析】由 33()2yyxx若 MN,则：点在直线 20xy上,即260aa；：直线与直线 xya平行,

6、36, 或 .【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键【小试牛刀】【2018 年理数全国卷 II】已知集合，则中元素=( ， )|2+23 ，，的个数为A. 9 B. 8 C. 5 D. 4【答案】A【解析】，当时，；当时，；=1 =1,0,1=0当时，；所以共有 9个，选 A.=1(三)根据数集、点集满足条件确定参数范围【例 3】设常数 aR,集合 A x|(x1)( x a)0, B x|x a1,若 A BR,则 a的取值范围为( )A(,2) B(,2 C(2,) D2,)【分析】先得到 A(,1 a,), B a1,),再

7、根据区间端点的关系求参数范围.【点评】求解本题的关键是对 a进行讨论.【小试牛刀】已知 P x|20且 a1）的图象与函数 y=x的图象有公共点,所以方程组： y 有解,消去 y得 ax=x,显然 x=0不是方程的 ax=x解,所以存在非零常数 T,使 aT=T于是对于 f （ x）= ax ,有f （ x T）= ax+T = aTax=Tax =T f （ x）,故 f （ x）= ax M【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处

8、理【小试牛刀】在直角坐标系 xoy中,全集 ,|)(RyxU,集合201sin)4(cs|),( xyA,已知集合 A的补集 CU所对应区域的对称中心为 M,点P是线段 ,08y上的动点,点 Q是 x轴上的动点,则 MPQ周长的最小值为（）5A 24 B 104 C 14 D 248 【答案】B(五)与数集、点集有关的信息迁移题【例 5】若集合 A具有以下性质：()0 A,1 A；()若 x A,y A,则 x y A,且 x0 时, A.1x6则称集合 A是“好集” 下列命题正确的个数是( )(1)集合 B1,0,1是“好集” ；(2)有理数集 Q是“好集” ；(3)设集合 A是“好集”,

9、若 x A,y A,则 x y A.A0 B1 C2 D3【分析】抓住新定义的特点, 根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证【解析】选 C,(1)集合 B不是“好集”,假设集合 B是“好集”,因为1 B,1 B,所以112 B,这与2 B矛盾(2)有理数集 Q是“好集”,因为 0Q,1Q,对任意的 xQ, yQ,有 x yQ,且 x0 时,Q,所以有理数集 Q是“好集” (3)因为集合 A是“好集”,所以 0 A,若 x A,y A,则 0 y A,即1x y A,所以 x( y) A,即 x y A. 【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的

10、解题过程中【小试牛刀】【2017 浙江温州高三模拟】已知集合2(,)|1Mxy,若实数 ,满足：对任意的(,)xyM,都有 (,)xy,则称 (,)是集合的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是（）A (,)|4 B2,|C ()|4 D2,|【答案】C.【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对 (,)所构成的集合为 (,)|1,1,将其看作点的集合,为中心在原点, (1,), ), 1, 为顶点的正方形及其内部,A,B,D 选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项 C为抛物线,有公共点 (0,),故选 C.五、迁移运用1 【安徽省宿州市 2

11、018届第三次质检】已知全集，集合，集合，=7则（）()=A. B. C. D. |1 |01 |0【答案】A2 【四川省成都市 2018届模拟】设，则是的（）02A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得或，作出函数和，以及的图象，如图所示，则由图象可=0 =1 = =知当时，，当时，，因为，所以 “ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A. 点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应

12、用，以及推理与论证能力.3 【辽宁省葫芦岛市 2018届第二次模拟】设集合，，则=|=12, =|1,（）=A. B. C. D. |11 1,0,1 (,1【答案】B【解析】，=|=12,=|1,=|1,=|11,的子集个数为故选 C.=2,1,0,1, 84 【河南省洛阳市 2018届三模】设集合，，则的子集个数为（ =|2=|=12 ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C5 【安徽省皖江八校 2018届联考】设集合 , ,若 ,则（ =|1,2,3| =|3| =）A. B. C. D. 1,3 3,1 1,3【答案】B【解析】，，即，，故选 B

15、 +=2 为（）A B C D 0 1 2 3【答案】B12设集合，，记，=(,)|3+4+10=0 =10则点集所表示的轨迹长度为（）A B C D 25 27 42 43【答案】D【解析】由题意的圆心为，半径为 1，(3sin,3cos)而圆心（-3sin，-3cos），满足（-3sin） 2+（-3cos） 2=9，故圆心在以（0，0）圆心，半径为 3的圆上，集合 A对应的几何图形为圆 x2+y2=4和 x2+y2=16之间的圆环区域，13.【2017 全国 2理 2】设集合 1,24A, 240Bxm.若 1AB,则（）.A 1,3 B 0 C 1,3 D 5【答案

16、】C【解析】由题意知 1x是方程 240xm的解,代入解得 3m,所以 2430x的解为 1x或 3,从而 13B，.故选 C.14若集合 2|870,|3xMxNxPN,则 MP等于（）A.3,6 B.4,5 11C.2,45 D.2,457【答案】C【解析】因为 2|80|17=2,3456,|3xMxNxxNPN,所以2,45P,故选 C. 15已知集合 BAxyA,1,则集合 B不可能是（）A 1x B ),(yC 1xD )12(log2xy【答案】D【解析】 A, 1)2(log2yxy,故选 D.16.已知集合 M是由具有如下性质的函数 )fx组成的集合：对于函数 (f,在定

17、义域内存在两个变量12,x且 12x时有 1212()ff则下列函数 )0)xfe； ln()xf；()f； sinx在集合 M中的个数是A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B对于 1(),()02fxfx,函数 ()fx在 0,)单调递增,在定义域内存在两个变量 12,x且1212x时,在 ()fx单调增区间时有 0()1fx,此时只须 1x时可得 0()1fx.满足题意对于 sin,()cosf,函数在 3(2,2kkZ单调递减,在定义域内存在两个变量 12x且 12x时,在 ()f单调减区间时有 )fx,满足题意.17设 na是公比为 q的等比数列, |1q,令 1(nba

18、,若数列 nb有连续四项在集合53,9,78中 ,则（）A 2 B 43 C 23 D 32【答案】A18.已知集合 A( x,y)|x2 y21, x,yZ, B( x,y)|x|2,| y|2, x,yZ,定义集合AB( x1 x2,y1 y2)|(x1,y1) A,(x2,y2) B,则 AB中元素的个数为( )A77 B49 C45 D30【答案】C【解析】如图,集合 A表示如图所示的所有圆点“ ”,集合 B表示如图所示的所有圆点“ ”所有圆点“ ”,集合 A B显然是集合( x,y)|x|3,| y|3, x,yZ中除去四个点(3,3),(3,3),(3,3),(3,3)之外的所

19、有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合 AB表示如图所示的所有圆点“ ”所有圆点“ ”所有圆点“ ”,共 45个故 A B中元素的个数为 45.故选 C.19.非空集合 G关于运算满足：（1）对任意 a, Gb,都有 ab；（2）存在 Ge,使得对一切13Ga,都有 ea,则称 G关于运算为“融洽集” 现给出下列集合和运算：非负整数, 为整数的加法；偶数 , 为整数的乘法； G平面向量 ,为平面向量的加法；二次三项式 , 为多项式的加法；虚数 ,为复数的乘法其中 G关于运算为“融洽集”的是（）A B C D【答案】B20若集合 ,|04,0,4,E

20、pqrspsqsrspqrsN且 ,|,FtuvwtuvwtuvN且,用 cadX表示集合中的元素个数,则cardrF（）A50 B100 C150 D200【答案】D【解析】 33124102cardErF,故选 D. 21 【2018 届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考】已知集合 1,2Am,集合 2,Bm,若 BA,则实数 m_【答案】1【解析】由题意得 21,验证满足22.设 P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、 bP,都有 ab、、 a、 Pb（除数0b）,则称是一个数域,例如有理数集 Q是数域,有下列命题：数域必含有 0,1两个数；整数集是数域；若有理数集 M

21、,则数集必为数域；数域必为无限集其中正确的命题的序号是【答案】14【解析】当 ab时, 0,1aPb,故可知正确；当 1,2abZ不满足条件,故可知不正确；对当 M中多一个元素 i则会出现 iM所以它也不是一个数域；故可知不正确；根据数据的性质易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知正确,故答案为.【点评】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想,属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题的解答都围绕新概念“数域” 对任意 a、 bP,都有 ab、、 a、aPb这一性质展开的.

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