1、12019 年九年级数学下学期期中测试卷（3）一选择题1下列函数中，属于二次函数的是（ ）Ay=2x+1 By=（x1） 2x 2 Cy=2x 27 D2对于二次函数 y=（x1） 2+2 的图象与性质，下列说法正确的是（ ）A对称轴是直线 x=1，最小值是 2B对称轴是直线 x=1，最大值是 2C对称轴是直线x=1，最小值是 2D对称轴是直线 x=1，最大值是 23一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4） ，且过另一点（0，4） ，则这个二次函数的解析式为（ ）Ay=2（x+2） 2+4 By=2（x2） 2+4 Cy=2（x+2） 24 Dy=2（x2） 244对于二次函数 y=x22mx
2、3，下列结论错误的是（ ）A它的图象与 x 轴有两个交点 B方程 x22mx=3 的两根之积为3C它的图象的对称轴在 y 轴的右侧 Dxm 时，y 随 x 的增大而减小5足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为 20m；足球飞行路线的对称轴是直线 t= ；足球被踢出 9s 时落地；足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是 11m，其中正
3、确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D46已知 = ，那么 的值为（ ）2A B C D7已知线段 AB=4，点 P 是它的黄金分割点，APPB，则 PB=（ ）A B C2 4 D628如图，ADBECF，直线 m，n 与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和点 D、E、F，已知 AB=5，BC=10，DE=4，则 EF 的长为（ ）A12.5 B12 C8 D49若ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，则B的度数与其对应角B 的度数相比（ ）A增加了 10% B减少了 10% C增加了（1+10%） D没有改变10下列说法中，错误的是（ ）A两个全等三角形一定是相似形 B两个等腰
4、三角形一定相似 C两个等边三角形一定相似 D两个等腰直角三角形一定相似11如图，在正方形 ABCD 中，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，M 是 BC 边上的动点（点 M 不与B，C 重合） ，CNDM，CN 与 AB 交于点 N，连接 OM，ON，MN.下列五个结论：CNBDMC；CONDOM；OMNOAD；AN 2+CM2=MN2；若 AB=2，则 SOMN 的最小值是，其中正确结论的个数是（ ）3A2 B3 C4 D512如图，ABC是ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，若ABC的面积与ABC 的面积比是 4：9，则 OB：OB 为（ ）A2：3 B3：2 C4：5 D4
5、：9二填空题13如图，数学活动小组为了测量学校旗杆 AB 的高度，使用长为 2m 的竹竿 CD 作为测量工具.移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面 O 处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆 AB 的高为 m.14已知线段 AB 的长为 10 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么较长的线段 AP 的长等于 厘米.15如图，ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，DEAC，若 DB=4，AB=6，BE=3，则 EC的长是 .416如图，ABC 内接于O，D 是 上一点，E 是 BC 的延长线上一点，AE 交O 于点 F，若要使ADBACE，还需添加一个条件，
6、这个条件可以是 .17用配方法把二次函数 y=2x2+3x+1 写成 y=a（x+m） 2+k 的形式 .18在一空旷场地上设计一落地为矩形 ABCD 的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的 10m 长的绳子一端固定在 B 点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m 2）(1)如图 1，若 BC=4m，则 S= m 2.(2)如图 2，现考虑在(1)中矩形 ABCD 小屋的右侧以 CD 为边拓展一正CDE 区域，使之变成落地为五边形 ABCED 的小屋，其他条件不变，则在 BC 的变化过程中，当 S 取得最小值时，边 BC 的长为 m.三解答题19在平面直角坐标系 x
7、Oy 中，规定：抛物线 y=a（xh） 2+k 的伴随直线为 y=a（xh）+k例如：抛物线 y=2（x+1） 23 的伴随直线为 y=2（x+1）3，即 y=2x15(1)在上面规定下，抛物线 y=（x+1） 24 的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线 y=（x+1） 24 与其伴随直线的交点坐标为 和 ；(2)如图，顶点在第一象限的抛物线 y=m（x1） 24m 与其伴随直线相交于点 A，B（点 A在点 B 的左侧） ，与 x 轴交于点 C，D若CAB=90，求 m 的值；如果点 P（x，y）是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，PBC 的面积记为 S，当 S 取得最大值 时，求 m 的值
8、.20如图 1，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，AB=4，矩形OBDC 的边 CD=1，延长 DC 交抛物线于点 E.(1)求抛物线的解析式；(2)如图 2，点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 EO 于点 G，作 PHEO，垂足为 H设 PH 的长为 l，点 P 的横坐标为 m，求 l 与 m 的函数关系式（不必写出 m 的取值范围） ，并求出 l 的最大值；(3)如果点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 M，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足
9、条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.621已知抛物线 y1=x 2+mx+n，直线 y2=kx+b，y 1的对称轴与 y2交于点 A（1，5） ，点 A与 y1的顶点 B 的距离是 4.(1)求 y1的解析式；(2)若 y2随着 x 的增大而增大，且 y1与 y2都经过 x 轴上的同一点，求 y2的解析式.22 (1)已知 = ，求 的值；(2)已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，PAPB，AB=2，求 PA、PB 的长.23如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 的四等分点，DEAC，DFBC，AC=8，BC=12，求四边形 DECF 的周长.24如图 1 所示，在ABC 中，点
10、 O 是 AC 上一点，过点 O 的直线与 AB，BC 的延长线分别相交于点 M，N.【问题引入】(1)若点 O 是 AC 的中点， = ，求 的值；温馨提示：过点 A 作 MN 的平行线交 BN 的延长线于点 G【探索研究】7(2)若点 O 是 AC 上任意一点（不与 A，C 重合） ，求证： =1；【拓展应用】(3)如图 2 所示，点 P 是ABC 内任意一点，射线 AP，BP，CP 分别交 BC，AC，AB 于点D，E，F，若 = ， = ，求 的值8答案一选择题1下列函数中，属于二次函数的是（ ）Ay=2x+1 By=（x1） 2x 2 Cy=2x 27 D【考点】H1：二次函数的定义
11、【专题】选择题【难度】易【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、y=2x 27 是二次函数，故本选项正确；D、y 与 x2是反比例函数关系，故本选项错误故选：C【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c 的定义条件是：a、b、c 为常数，a0，自变量最高次数为 22对于二次函数 y=（x1） 2+2 的图象与性质，下列说法正确的是（ ）A对称轴是直线 x=1，最小值是 2B对称轴是直线 x=1，最大值是 2C对称轴是直线x=1，最小值
12、是 2D对称轴是直线 x=1，最大值是 2【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值【专题】选择题【难度】易【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断【解答】解：由抛物线的解析式：y=（x1） 2+2，可知：对称轴 x=1，开口方向向下，所以有最大值 y=2，故选（B）【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型3一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4） ，且过另一点（0，4） ，则这个二次函数的9解析式为（ ）Ay=2（x+2） 2+4 By=2（x2） 2+4 Cy=2（x+2） 24 Dy=2（x2） 24【考点】H8：待定系数法求二次函数
13、解析式【专题】选择题【难度】易【分析】根据二次函数的顶点式求解析式【解答】解：二次函数的图象的顶点坐标是（2，4） ，设这个二次函数的解析式为 y=a（x2） 2+4，把（0，4）代入得 a=2，这个二次函数的解析式为 y=2（x2） 2+4故选 B【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式顶点式：y=a（xh） 2+k 或 y=a（x+m） 2+k4对于二次函数 y=x22mx3，下列结论错误的是（ ）A它的图象与 x 轴有两个交点 B方程 x22mx=3 的两根之积为3C它的图象的对称轴在 y 轴的右侧 Dxm 时，y 随 x
14、的增大而减小【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；H3：二次函数的性质【专题】选择题【难度】易【分析】直接利用二次函数与 x 轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案【解答】解：A、b 24ac=（2m） 2+12=4m2+120，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；B、方程 x22mx=3 的两根之积为： =3，故此选项正确，不合题意；C、m 的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；D、a=10，对称轴 x=m，xm 时，y 随 x 的增大而减小，故此选项正确，不合题意；故选：C【点评】此题主要考查了抛物线与
15、x 轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识，正确掌握二次函数的性质是解题关键105足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为 20m；足球飞行路线的对称轴是直线 t= ；足球被踢出 9s 时落地；足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是 11m，其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】HE：二次函数的应用【专题】
16、选择题【难度】易【分析】由题意，抛物线的解析式为 y=at（t9） ，把（1，8）代入可得 a=1，可得y=t 2+9t=（t4.5） 2+20.25，由此即可一一判断【解答】解：由题意，抛物线的解析式为 y=at（t9） ，把（1，8）代入可得 a=1，y=t 2+9t=（t4.5） 2+20.25，足球距离地面的最大高度为 20.25m，故错误，抛物线的对称轴 t=4.5，故正确，t=9 时，y=0，足球被踢出 9s 时落地，故正确，t=1.5 时，y=11.25，故错误正确的有，故选 B【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型6已知 = ，那么 的
17、值为（ ）A B C D11【考点】S1：比例的性质【专题】选择题【难度】易【分析】根据 = ，可设 a=2k，则 b=3k，代入所求的式子即可求解【解答】解： = ，设 a=2k，则 b=3k，则原式= = 故选 B【点评】本题考查了比例的性质，根据 = ，正确设出未知数是本题的关键7已知线段 AB=4，点 P 是它的黄金分割点，APPB，则 PB=（ ）A B C2 4 D62【考点】S3：黄金分割【专题】选择题【难度】易【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 叫做黄金比，分别进行计算即可【解答
18、】解：点 P 是线段 AB 的黄金分割点，APPB，AB=4，PB=4 =62 ；故选 D【点评】此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 ，较长的线段=原线段的 是本题的关键8如图，ADBECF，直线 m，n 与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和点 D、E、F，已知 AB=5，BC=10，DE=4，则 EF 的长为（ ）12A12.5 B12 C8 D4【考点】S4：平行线分线段成比例【专题】选择题【难度】易【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可【解答】解：ADBECF， = ，即 = ，解得，EF=8，故选：C【点评】本题考查的是平行线分
19、线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键9若ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，则B的度数与其对应角B 的度数相比（ ）A增加了 10% B减少了 10% C增加了（1+10%） D没有改变【考点】S5：相似图形【专题】选择题【难度】易【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答【解答】解：ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，ABC 与ABC的三边对应成比例，ABCABC，B=B故选 D【点评】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键1310下列说法中，错误的是（ ）A两个全等三角形
20、一定是相似形 B两个等腰三角形一定相似 C两个等边三角形一定相似 D两个等腰直角三角形一定相似【考点】S8：相似三角形的判定【专题】选择题【难度】易【分析】根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质对各个选项进行分析，从而得到最后答案【解答】解：A 正确，因为全等三角形符合相似三角形的判定条件；B 不正确，因为没有指明相等的角与可成比例的边，不符合相似三角形的判定方法；C 正确，因为其三个角均相等；D 正确，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定条件；故选 B【点评】此题考查了相似三角形的判定有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等
21、，则两个三角形相似11如图，在正方形 ABCD 中，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，M 是 BC 边上的动点（点 M 不与B，C 重合） ，CNDM，CN 与 AB 交于点 N，连接 OM，ON，MN.下列五个结论：CNBDMC；CONDOM；OMNOAD；AN 2+CM2=MN2；若 AB=2，则 SOMN 的最小值是，其中正确结论的个数是（ ）A2 B3 C4 D5【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性14质【专题】选择题【难度】易【分析】根据正方形的性质，依次判定CNBDMC，OCMOBN，CONDOM，OMNOAD，根据全等三角形的性
22、质以及勾股定理进行计算即可得出结论【解答】解：正方形 ABCD 中，CD=BC，BCD=90，BCN+DCN=90，又CNDM，CDM+DCN=90，BCN=CDM，又CBN=DCM=90，CNBDMC（ASA） ，故正确；根据CNBDMC，可得 CM=BN，又OCM=OBN=45，OC=OB，OCMOBN（SAS） ，OM=ON，COM=BON，DOC+COM=COB+BPN，即DOM=CON，又DO=CO，CONDOM（SAS） ，故正确；BON+BOM=COM+BOM=90，MON=90，即MON 是等腰直角三角形，又AOD 是等腰直角三角形，OMNOAD，故正确；AB=BC，CM=BN
23、，BM=AN，又RtBMN 中，BM 2+BN2=MN2，AN 2+CM2=MN2，故正确；OCMOBN，四边形 BMON 的面积=BOC 的面积=1，即四边形 BMON 的面积是定值 1，当MNB 的面积最大时，MNO 的面积最小，15设 BN=x=CM，则 BM=2x，MNB 的面积= x（2x）= x2+x，当 x=1 时，MNB 的面积有最大值 ，此时 SOMN 的最小值是 1 = ，故正确；综上所述，正确结论的个数是 5 个，故选：D【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用12
24、如图，ABC是ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，若ABC的面积与ABC 的面积比是 4：9，则 OB：OB 为（ ）A2：3 B3：2 C4：5 D4：9【考点】SC：位似变换【专题】选择题【难度】易【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可【解答】解：由位似变换的性质可知，ABAB，ACAC，ABCABCABC与ABC 的面积的比 4：9，ABC与ABC 的相似比为 2：3，16 =故选：A【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形
25、，这个点叫做位似中心二填空题13如图，数学活动小组为了测量学校旗杆 AB 的高度，使用长为 2m 的竹竿 CD 作为测量工具.移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面 O 处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆 AB 的高为 m.【考点】SA：相似三角形的应用【专题】填空题【难度】中【分析】由条件可证明OCDOAB，利用相似三角形的性质可求得答案【解答】解：OD=4m，BD=14m，OB=OD+BD=18m，由题意可知ODC=OBA，且O 为公共角，OCDOAB， = ，即 =，解得 AB=9，即旗杆 AB 的高为 9m故答案为：9【点评】本题主要考查相似三角形的应用，证得三角形
26、相似得到关于 AB 的方程是解题的关键14已知线段 AB 的长为 10 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么较长的线段 AP 的长17等于 厘米.【考点】S3：黄金分割【专题】填空题【难度】中【分析】根据黄金比值是 计算即可【解答】解：点 P 是线段 AB 的黄金分割点，APBP，AP= AB=（5 5）厘米，故答案为：5 5【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（ACBC） ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割15如图，ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，DEAC，若 DB=4，AB=6，BE
27、=3，则 EC的长是 .【考点】S4：平行线分线段成比例【专题】填空题【难度】中【分析】由ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，DEAC，根据平行线分线段成比例定理，可得 DB：AB=BE：BC，又由 DB=4，AB=6，BE=3，即可求得答案【解答】解：DEAC，DB：AB=BE：BC，DB=4，AB=6，BE=3，4：6=3：BC，解得：BC= ，EC=BCBE= 3= 故答案为： 18【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例16如图，ABC 内接于O，D
28、 是 上一点，E 是 BC 的延长线上一点，AE 交O 于点 F，若要使ADBACE，还需添加一个条件，这个条件可以是 .【考点】S8：相似三角形的判定；M6：圆内接四边形的性质【专题】填空题【难度】中【分析】根据圆内接四边形的性质得到ADB=ACE，然后可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件【解答】解：四边形 ADBC 为O 的内接四边形，ADB=ACE，当DAB=CAE 时，ADBACE故答案为DAB=CAE【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等
29、的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了圆内接四边形的性质17用配方法把二次函数 y=2x2+3x+1 写成 y=a（x+m） 2+k 的形式 .【考点】H9：二次函数的三种形式【专题】填空题【难度】中【分析】把二次函数 y=2x2+3x+1 用配方法化为顶点式即可【解答】解：y=2x 2+3x+119=2（x+ ） 2 故答案为：y=2（x+ ） 2 【点评】本题考查的是用配方法把一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键，y=ax2+bx+c=a（x+ ） 2+ 18在一空旷场地上设计一落地为矩形 ABCD 的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的 10m 长的绳子一端固定在
30、 B 点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m 2）(1)如图 1，若 BC=4m，则 S= m 2.(2)如图 2，现考虑在(1)中矩形 ABCD 小屋的右侧以 CD 为边拓展一正CDE 区域，使之变成落地为五边形 ABCED 的小屋，其他条件不变，则在 BC 的变化过程中，当 S 取得最小值时，边 BC 的长为 m.【考点】HE：二次函数的应用；KM：等边三角形的判定与性质；LB：矩形的性质【专题】填空题【难度】中【分析】(1)小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 为半径的 圆，以 C 为圆心、6 为半径的 圆和以 A 为圆心、4 为半径的 圆的面积和，据此
31、列式求解可得；(2)此时小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 为半径的 圆，以 A 为圆心、x 为半径的圆、以 C 为圆心、10x 为半径的 圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可【解答】解：(1)如图 1，拴住小狗的 10m 长的绳子一端固定在 B 点处，小狗可以活动的区域如图所示：20由图可知，小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 为半径的 圆，以 C 为圆心、6 为半径的 圆和以 A 为圆心、4 为半径的 圆的面积和，S= 10 2+ 6 2+ 4 2=88，故答案为：88；(2)如图 2，设 BC=x，则 AB=10x，S= 10 2+ x 2+ （10x） 2=
32、 （x 25x+250）= （x ） 2+ ，当 x= 时，S 取得最小值，BC= ，故答案为： 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活21动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积三解答题19在平面直角坐标系 xOy 中，规定：抛物线 y=a（xh） 2+k 的伴随直线为 y=a（xh）+k例如：抛物线 y=2（x+1） 23 的伴随直线为 y=2（x+1）3，即 y=2x1(1)在上面规定下，抛物线 y=（x+1） 24 的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线 y=（x+1） 24 与其伴随直线的交点坐标为 和 ；(2)如图，顶点在第一象限的抛物线
33、y=m（x1） 24m 与其伴随直线相交于点 A，B（点 A在点 B 的左侧） ，与 x 轴交于点 C，D若CAB=90，求 m 的值；如果点 P（x，y）是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，PBC 的面积记为 S，当 S 取得最大值 时，求 m 的值.【考点】HF：二次函数综合题【专题】解答题【难度】难【分析】(1)由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；(2)可先用 m 表示出 A、B、C、D 的坐标，利用勾股定理可表示出 AC2、AB 2和 BC2，在RtABC 中由勾股定理可得到关于 m 的方程，可求得 m
34、 的值；由 B、C 的坐标可求得直线BC 的解析式，过 P 作 x 轴的垂线交 BC 于点 Q，则可用 x 表示出 PQ 的长，进一步表示出PBC 的面积，利用二次函数的性质可得到 m 的方程，可求得 m 的值【解答】解：(1)y=（x+1） 24，22顶点坐标为（1，4） ，由伴随直线的定义可得其伴随直线为 y=（x+1）4，即 y=x3，联立抛物线与伴随直线的解析式可得 ，解得 或 ，其交点坐标为（0，3）和（1，4） ，故答案为：（1，4） ；y=x3；（0，3） ；（1，4） ；(2)抛物线解析式为 y=m（x1） 24m，其伴随直线为 y=m（x1）4m，即 y=mx5m，联立抛物线
35、与伴随直线的解析式可得 ，解得 或 ，A（1，4m） ，B（2，3m） ，在 y=m（x1） 24m 中，令 y=0 可解得 x=1 或 x=3，C（1，0） ，D（3，0） ，AC 2=4+16m2，AB 2=1+m2，BC 2=9+9m2，CAB=90，AC 2+AB2=BC2，即 4+16m2+1+m2=9+9m2，解得 m= （抛物线开口向下，舍去）或m= ，当CAB=90时，m 的值为 ；设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，B（2，3m） ，C（1，0） ， ，解得 ，直线 BC 解析式为 y=mxm，过 P 作 x 轴的垂线交 BC 于点 Q，如图，23点 P 的横坐标为 x，
36、P（x，m（x1） 24m） ，Q（x，mxm） ，P 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，PQ=m（x1） 24m+mx+m=m（x 2x2）=m（x ） 2 ，S PBC = （2（1）PQ= （x ） 2 m，当 x= 时，PBC 的面积有最大值 m，S 取得最大值 时，即 m= ，解得 m=2【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识在(1)中注意伴随直线的定义的理解，在(2)中分别求得 A、B、C、D 的坐标是解题的关键，在(2)中用 x 表示出PBC 的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中20如
37、图 1，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，AB=4，矩形OBDC 的边 CD=1，延长 DC 交抛物线于点 E.(1)求抛物线的解析式；(2)如图 2，点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 EO 于点 G，作 PHEO，垂足为 H设 PH 的长为 l，点 P 的横坐标为 m，求 l 与 m 的函数关系式（不必写出 m 的取值范围） ，并求出 l 的最大值；(3)如果点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 M，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点
38、 M 的坐标；若不存在，请说明理由.24【考点】HF：二次函数综合题【专题】解答题【难度】难【分析】(1)由条件可求得 A、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)可先求得 E 点坐标，从而可求得直线 OE 解析式，可知PGH=45，用 m 可表示出 PG 的长，从而可表示出 l 的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；(3)分 AC 为边和 AC 为对角线，当 AC 为边时，过 M 作对称轴的垂线，垂足为 F，则可证得MFNAOC，可求得 M 到对称轴的距离，从而可求得 M 点的横坐标，可求得 M 点的坐标；当 AC 为对角线时，设 AC 的中点为 K，可求得 K 的横坐标，从
39、而可求得 M 的横坐标，代入抛物线解析式可求得 M 点坐标【解答】解：(1)矩形 OBDC 的边 CD=1，OB=1，AB=4，OA=3，A（3，0） ，B（1，0） ，把 A、B 两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，抛物线解析式为 y= x2 x+2(2)在 y= x2 x+2 中，令 y=2 可得 2= x2 x+2，解得 x=0 或 x=2，E（2，2） ，直线 OE 解析式为 y=x，25由题意可得 P（m， m2 m+2） ，PGy 轴，G（m，m） ，P 在直线 OE 的上方，PG= m2 m+2（m）= m2 m+2= （m+ ） 2+ ，直线 OE 解析式为 y=x，PGH
40、=COE=45，l= PG= （m+ ） 2+ = （m+ ） 2+ ，当 m= 时，l 有最大值，最大值为 ；(3)当 AC 为平行四边形的边时，则有 MNAC，且 MN=AC，如图，过 M 作对称轴的垂线，垂足为 F，设 AC 交对称轴于点 L，则ALF=ACO=FNM，在MFN 和AOC 中MFNAOC（AAS） ，MF=AO=3，点 M 到对称轴的距离为 3，又 y= x2 x+2，抛物线对称轴为 x=1，26设 M 点坐标为（x，y） ，则|x+1|=3，解得 x=2 或 x=4，当 x=2 时，y= ，当 x=4 时，y= ，M 点坐标为（2， ）或（4， ） ；当 AC 为对角线
41、时，设 AC 的中点为 K，A（3，0） ，C（0，2） ，K（ ，1） ，点 N 在对称轴上，点 N 的横坐标为1，设 M 点横坐标为 x，x+（1）=2（ ）=3，解得 x=2，此时 y=2，M（2，2） ；综上可知点 M 的坐标为（2， ）或（4， ）或（2，2） 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识在(1)中求得 A、B 的坐标是解题的关键，在(2)中确定出 PG 与 l 的关系是解题的关键，在(3)中确定出 M 的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较
42、强，难度适中21已知抛物线 y1=x 2+mx+n，直线 y2=kx+b，y 1的对称轴与 y2交于点 A（1，5） ，点 A与 y1的顶点 B 的距离是 4.(1)求 y1的解析式；(2)若 y2随着 x 的增大而增大，且 y1与 y2都经过 x 轴上的同一点，求 y2的解析式.【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；F5：一次函数的性质；FA：待定系数法求一次函数解析式；H3：二次函数的性质【专题】解答题【难度】难【分析】(1)根据题意求得顶点 B 的坐标，然后根据顶点公式即可求得 m、n，从而求得 y1的解析式；(2)分两种情况讨论：当 y1的解析式为 y1=x 22x 时，抛物线与
43、x 轴的交点是抛物线的顶27点（1，0） ，不合题意；当 y1=x 22x+8 时，解x 22x+8=0 求得抛物线与 x 轴的交点坐标，然后根据 A 的坐标和 y2随着 x 的增大而增大，求得 y1与 y2都经过 x 轴上的同一点（4，0） ，然后根据待定系数法求得即可【解答】解：(1)抛物线 y1=x 2+mx+n，直线 y2=kx+b，y 1的对称轴与 y2交于点A（1，5） ，点 A 与 y1的顶点 B 的距离是 4B（1，1）或（1，9） ， =1， =1 或 9，解得 m=2，n=0 或 8，y 1的解析式为 y1=x 22x 或 y1=x 22x+8；(2)当 y1的解析式为 y
44、1=x 22x 时，抛物线与 x 轴交点是（0.0）和（2.0） ，y 1的对称轴与 y2交于点 A（1，5） ，y 1与 y2都经过 x 轴上的同一点（2，0） ，把（1，5） ， （2，0）代入得 ，解得 ，y 2=5x+10当 y1=x 22x+8 时，解x 22x+8=0 得 x=4 或 2，y 2随着 x 的增大而增大，且过点 A（1，5） ，y 1与 y2都经过 x 轴上的同一点（4，0） ，把（1，5） ， （4，0）代入得 ，解得 ；y 2= x+ 【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键2822
45、 (1)已知 = ，求 的值；(2)已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，PAPB，AB=2，求 PA、PB 的长.【考点】S3：黄金分割；S1：比例的性质【专题】解答题【难度】难【分析】(1)设 a=3k，则 b=5k，代入 ，计算即可求解；(2)根据黄金分割点的定义，知 AP 是较长线段；则 PA= AB，PB= AB，代入数据即可得出 PA、PB 的长【解答】解：(1) = ，可设 a=3k，则 b=5k， = = ；(2)点 P 是线段 AB 的黄金分割点，PAPB，AB=2，PA= AB= 1，PB= AB=3 【点评】本题考查了黄金分割点的概念应该识记黄金分割的公式：较短的线段=
46、原线段的，较长的线段=原线段的 同时考查了比例的性质23如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 的四等分点，DEAC，DFBC，AC=8，BC=12，求四边形 DECF 的周长.【考点】S4：平行线分线段成比例【专题】解答题【难度】难【分析】根据平行四边形的判定得出四边形 DFCE 是平行四边形，证ADFABC，得出= = = ，代入求出 DF、AE 即可求出答案【解答】解：DEAC，DFBC，29四边形 DFCE 是平行四边形，DE=FC，DF=ECDFBC，ADFABC， = = = ，AC=8，BC=12，AF=2，DF=3FC=ACAF=82=6，DE=FC=6，DF=EC=3四边形 DECF 的周长是 DF+CF+CE+DE=3+6+3+6=18答：四边形 DECF 的周长是 18【点评】本题考查的知识点是平行四边形的性质和判定和相似三角形的性质和判定，关键是求出 DE=CF，DF=CE，主要考查学生运用性质进行推理
