1、1广东省佛山市第一中学 2018-2019 学年高二数学下学期第一次段考（4 月）试题 理一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 函数 f(x)=x3+x 在点 x=1 处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 4+2=0 42=0 4+2=0 4+2=02. 函数 ，则（ ）()=A. 为函数 的极大值点 B. 为函数 的极小值点= () = ()C. 为函数 的极大值点 D. 为函数 的极小值点=1 () =1 ()3. （理） 的值是（ ）10(1(1)22)A. B. C. D. 413 41 213 214. 函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为 ( ) ()
2、 (+3)()38. 如图所示，正弦曲线 y=sinx，余弦曲线 y=cosx 与两直线 x=0， x= 所围成的阴影部分的面积为（ ）2A. 1 B. C. 2 D. 2 229. 下列说法正确的是：（）设函数 可导，则 ； =()0(1+)(1)3 =(1)过曲线 外一定点做该曲线的切线有且只有一条； =()已知做匀加速运动的物体的运动方程是 米 ，则该物体在时刻 ()=2+()秒的瞬时速度是 5 米 秒；=2 /一物体以速度 米 秒 做直线运动，则它在 到 秒时间段内 =32+2(/ ) =0 =2的位移为 12 米；已知可导函数 ，对于任意 时， f(x)0 是函数 在 =() (,)
3、 =()上单调递增的充要条件(,)A. B. C. D. 10. 若函数 在 上可导, 则 ( )() ()() (1)=() (1)=()11. 已知结论：“在正三角形 ABC 中，若 D 是边 BC 的中点， G 是三角形 ABC 的重心，则 ”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体 A-BCD=2中，若 BCD 的中心为 M，四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等，则（ ）=A. 1 B. 2 C. 3 D. 412. 把非零自然数按定的规则排成了下面所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)，设（ aij， ij N+）是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行，从左
4、往右数第 j个数，如 a42=8，若 i=65， j=3，则 aij的值为( ) 12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24A. 2053 B. 205l C. 2049 D. 2047二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知函数 在（0，2）上有极值 ，则实数 m 的值为_()=3322+ 32314. 函数 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于()=2 , (00)位面积价值 a 元 求等待开垦土地的面积； 如何确定点 C 的位置，才能使得整块土地总价值最大420. 一种十字绣作品由相同的小正方形构成，如图，
5、图分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第 n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为 f(n). (1)求出 f(2)， f(3)， f(4)的值；(2)利用归纳推理，归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系式；(3)猜想 f(n)的表达式，并写出推导过程.21. 已知函数 f（ x）= ax+lnx（ a R）（）求函数 f（ x）的单调递增区间（）已知 g（ x）=4 x-32x+1，若对任意的 m（0，+），存在 n0，1，使得 f（ m） g（ n），求实数 a 的取值范围22. 设函数 （其中 k R）()=(1)22（1）求函数 f（ x）的单调区间；（2）当 k0
6、 时，讨论函数 f（ x）的零点个数5答案和解析1.【答案】 B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，首先求出函数 f(x)在点 x=1 处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程【解答】解： ，切线斜率 ，又f(1)=2，切点为（1，2），切线方程为 y-2=4（x-1），即 4x-y-2=0.故选 B.2.【答案】 A【解析】【分析】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查计算能力，属于基础题求导，令 f（x）0，求得函数的单调递增区间，令 f（x）0，求得函数的单调递减区间，根据单调性得到函数的极值问题.【解答】解： 的定义域（0，+），f（x）= ，令
7、 f（x）= 0，解得：0xe，令 f（x）= 0，解得：xe，函数 在（0，e）上递增，在（e，+）上递减，当 x=e 时，函数有极大值.故选 A.3.【答案】 A【解析】解： = ，设 ，则（x-1） 2+y2=1，（ ,y0），表示为圆心在（1，0），半径为 1 的 圆，所以由积分的几何意义可知,6而 ，所以 = 故选 A根据微积分的积分公式和微积分基本定理的几何意义进行计算即可本题主要考查微积分的基本公式以及微积分的几何意义，要求熟练掌握基本函数的微积分公式4.【答案】 A【解析】【分析】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题根据函数图象分别讨论
8、x（-，-1）时，x（-1，1）时，x（1，+）时的情况，从而得出答案 【解答】解：x（-，-1）时，f（x）0，解不等式（x+3）f（x）0，得 x-3，x（-1，1）时，f（x）0，解不等式（x+3）f（x）0，得；-1x1，x（1，+）时，f（x）0，解不等式（x+3）f（x）0，无解综合得 x（-，-3）（-1，1），故选 A5.【答案】 D【解析】【分析】本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键根据导数的定义进行求解即可【解答】解： ， =1，即 =1，则 = .故选 D.6.【答案】 A【解析】7【分析】先求出 f（x）=2x+3f（1），令 x=1，求出
9、 f（1 ）后，导函数即可确定，再求f（2）本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解本题求出 f（1 ） 是关键步骤【解答】解：f（x）=2x+3f（1），令 x=1，得 f（1）=2+3f（1），f（1）=-1，f（x）=2x-3f（2）=1故选 A7.【答案】 D【解析】解：若 y= +（b+6）x+3 在 R 上存在三个单调区间， 只需 y=x 2+2bx+（b+6）=0 有 2 个不相等的实数根， 即只需=4b 2-4（b+6）0，解得：b-2 或 b3， 故选：D 问题转化为只需 y=x 2+2bx+（b+6）=0 有 2 个不相等的实数根即可 本题考查了函数的单调性问题，考察
10、二次函数的性质，是一道基础题8.【答案】 D【解析】【分析】本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求由图形可知，阴影部分的面积等于正弦函数与余弦函数图形 到 的面积，所以利用此区间的定积分可求【解答】解：由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于；故选 D9.【答案】 B【解析】【分析】本题考查了导数的概念，导数的几何意义，以及导数的单调性，根据条件逐项判断即可.【解答】8解：对于选项，设函数 ,则，故错.对于选项，过曲线 y=f(x)外一定点做该曲线的切线有且只有一条，故错.对于选项，已知做匀速运动的物体的运动方程为 ，则 ，
11、所以,故 正确.对于选项，一物体以速度 做直线运动，则它在 t=0 到 t=2 时间段内的位移为 ，故正确.对于选项，已知可导函数 ，对于任意 时， 是函数在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，故错.故选 B.10.【答案】 A【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，是基础题.利用 f（x）xf（x），证明 是 R 上的单调增函数，即可得出结论【解答】解：f（x）xf（x），f（x）-xf（x）0， 0, 是 R 上的单调增函数， ，ef（1）f（e）故选 A11.【答案】 C【解析】【分析】本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化
12、归与转化思想属于基础题【解答】9解：推广到空间，则有结论：“ ”设正四面体 ABCD 边长为 1，过 A 作面 BDC 的垂涎 AM, AM 交面 BDC 于 M,则四面体体积由对称性可知，棱长都相等的四面体 A-BCD 的内切球心 O 在垂线 AM 上，内切球半径为 r=OM又 O 到四面体各面的距离都相等，则所以 AM=4OM，所以故答案为：312.【答案】 A【解析】【分析】本题考查简单的演绎推理及数列的特点，属于中档题.【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，aij是第 65 行第 3 个数，由图知，第 65 行都是奇数，设奇数为 2n-1，它是第 1+3+.
13、+63+3=1027 个，因此 aij为 21027-1=2053.故选 A.13.【答案】2【解析】【分析】本题考查了函数的极值，属于中档题对函数求导，令导函数等于 0，求出 x=0，1，根据函数在在（0，2）上有极值 ，可知 ，即可求解.【解答】解：f（x）=3x 2-3x，令 f（x）=0，得 x=0，1，函数 在（0，2）上有极值 ，10 ，m=2，故答案为 214.【答案】56【解析】【分析】先作出 f（x）的图象，它与 x 轴所围成的封闭图形的面积问题用定积分求解本题考查分段函数的图象问题、利用定积分求面积问题，难度不大【解答】解：由下图可知 s= x2dx+ = + =故答案为
14、.15.【答案】-3，+）【解析】【分析】本题主要考查函数单调性和单调区间的应用，求函数的导数利用导数研究单调性是解决本题的关键求函数的导数，根据函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论【解答】解：函数 f（x）=x 3+ax-2 在区间1，+）上单调递增，f（x）=3x 2+a0，在区间1，+）恒成立，即 a-3x 2，-3x 2-3，a-3，故实数 a 的取值范围是-3，+）故答案为-3，+）16.【答案】 a12【解析】解：不妨设 x1x 2，则 x1-x20，f（x 1）-f（x 2）4（x 1-x2）， 4，可得 y=f（x）-4x=alnx+（x+1） 2-4x 在 x0 递增，1
15、1y= +2（x+1）-4 +2（x+1）4，a-2x 2+2x-2x 2+2x=-2（x- ） 2+ a ，故答案为：a不妨设 x1x 2，则 x1-x20，由 f（x 1）-f（x 2）4（x 1-x2），可得4，即函数 f（x）=alnx+（x+1） 2（x0）的图象上任取两个不同点P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2）连续的斜率不小于 4，即导数值不小于 4，由此构造关于 a的不等式，可得实数 a 的取值范围本题考查的知识点导数的几何意义，斜率公式，其中分析出 f（x 1）-f（x 2）4（x 1-x2）的几何意义，是解答的关键17.【答案】解：（1） f（ x）=3 x2-6ax
16、+2b，函数 f（ x）= x3-3ax2+2bx 在 x=1 处有极小值-1， f（1）=-1， f（1）=0 1-3 a+2b=-1，3-6 a+2b=0 解得 a= ， b=- 13 12 f（ x）= x3-x2-x （2） f（ x）=3 x2-2x-1 由 f（ x）=3 x2-2x-10 得 x（-，- ）或（1，+）13由 f（ x）=3 x2-2x-10 得 x（- ，1）13函数 f（ x）的单调增区间为：（-，- ），（1，+），减区间为：（- ，1）13 13【解析】（1）已知函数 f（x）=x 3-3ax2+2bx 在 x=1 处有极小值-1，即 f（1）=-1，f（
17、1）=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得 a、b 的值； （2）分别解不等式 f（x）0 和 f（x）0，即可得函数 f（x）的单调增区间与单调递减区间 本题考查导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，属于中档题18.【答案】解：（1）由 f（ x）= x3+x-16，得f（ x）=3 x2+1， f（2）=32 2+1=13，曲线 y=f（ x）在点（2，6）处的切线方程为 y-6=13（ x-2），即 13x-y-20=0；（2）设切点为（ ）， ，0， 30+016(0)=320+1切线方程为 ，(30+016)=(320+1)(0)12切线经过原点， ，(30+0
18、16)=0(320+1) ， x0=-2230=16则 f（-2）=13，所求的切线方程为 y=13x；切点为（-2，-26）【解析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在 x=2 时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案； （2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题19.【答案】解：（1）如图所示：由 ，11(12)=(133)|11=43故等待开垦土地的面积为 ;43（2）设点 C 的坐标为（ x，0），则点 B（ x，1- x2）其
19、中 0 x1， ,=2(12)土地总价值 ,=32(12)+432(12)=4(12)+43由 y=4 a（1-3 x2）=0 得 或 (舍去),=33 =33故当 时， y 取得最大值 ，=33答：当点 C 的坐标为 时，整个地块的总价值最大(33,0)【解析】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，解题的关键是利用定积分知识求面积，从而构建函数，同时考查利用导数求最值13（1）先由定积分可求等待开垦土地的面积；（2）进而可得工业用地面积，三个边角地块面积，由此可得土地总价值，利用导数的方法可求函数的最值20.【答案】解：（1）图中只有一个小正方形，得 f（1）=1，图中有 3 层，以第
20、2 层为对称轴，有 1+3+1=5 个小正方形，得 f（2）=5，图中有 5 层，以第 3 层为对称轴，有 1+3+5+3+1=13 个小正方形，得 f（3）=13，图中有 7 层，以第 4 层为对称轴，有 1+3+5+7+5+3+1=25 个小正方形，得 f（4）=25，图中有 9 层，以第 5 层为对称轴，有 1+3+5+7+9+7+5+3+1=41 个小正方形，得f（5）=41.（2） f（1）=1， f（2）=5， f（3）=13， f（4）=25， f（5）=41， f（2）- f（1）=4=41， f（3）- f（2）=8=42， f（4）- f（3）=12=43， f（5）- f
21、（4）=16=44， f（ n）- f（ n-1）=4（ n-1）=4 n-4， f（ n+1）与 f（ n）的关系式： f（ n+1）- f（ n）=4 n.（3）猜想 f（ n）的表达式： ，222+1由（2）可知:f（2）- f（1）=4=41，f（3）- f（2）=8=42，f（4）- f（3）=12=43，f（5）- f（4）=16=44， f（ n）- f（ n-1）=4（ n-1）=4 n-4，将上述 n-1 个式子相加，得 f（ n）- f（1）=4（1+2+3+4+（ n-1）= ，4(1)1+(1)2f（ n） = ， 222+1即 f（ n）的表达式为： .222+1【解
22、析】本题给出成一定规律排列的图形，找出第 n 个图形中小正方形的个数，着重考查了等差数列的通项与求和，及简单归纳推理等知识，（3）也可以利用数学归纳法证明，属于中档题（1）根据前 4 个图形进行归纳，求出 f（2），f（3），f（4）.（2）利用（1）的结果，归纳推理，通过相邻两个函数值的关系，归纳出 f（n+1）与f（n）的关系式.（3）猜想 f（n）的表达式，利用（2）的推导方法，即可写出推导过程.21.【答案】解（） f（ x）= ax+lnx， x（0，+）， f（ x）= a+ ，1当 a0 时， f（ x）= a+ 0 f（ x）在（0，+）上单调递增，1当 a0 时， f（ x）
23、= a+ 0 - ax- ，1 1 114 f（ x）在（0，- ）上单调递增，1综上：当 a0 时， f（ x）的增区间是（0，+），当 a0 时， f（ x）的增区间是（0，- ）；1（） g（ x）=4 x-32x+1， x0，1，令 2x=t1，2，y=t2-3t+1， t1，2，当 t=1 或 2 时， ymax=-1，由（）知，当 a0 时， f（ x）在（0，+）上单调递增，无最值，不可能满足f（ m） g（ n），当 a0 时，在（0，- ）上递增，在（- ，+）上递减；1 1 f（ x） max=f（- ）=-1+ln（- ），1 1对任意的 m（0，+），存在 n0，1，使
24、得 f（ m） g（ n）， f（ x） max g（ x） max，-1+ln（- ）-1，1ln（- ）0，1- 1， a-11【解析】（）先求出函数导数，通过讨论当 a0 时，当 a0 时的情况，从而求出函数的单调区间； （）分别求出 f（x），g（x）的最大值，问题转化为 f（x） maxg（x） max，即-1+ln（- ）-1，从而求出 a 的范围 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，考查了转化思想，是一道中档题22.【答案】解：（1）函数 f（ x）的定义域为（-，+）， f（ x）= ex+（ x-1） ex-kx=xex-kx=x（ ex-k），当 k0
25、 时，令 f（ x）0，解得 x0，所以 f（ x）的单调递减区间是（-，0），单调递增区间是0，+），当 0 k1 时，令 f（ x）0，解得 xln k 或 x0，所以 f（ x）在（-，ln k）和（0，+）上单调递增，在ln k，0上单调递减，当 k=1 时， f（ x）0， f（ x）在（-，）上单调递增，当 k1 时，令 f（ x）0，解得 x0 或 xln k，所以 f（ x）在（-，0）和（ln k，+）上单调递增，在0，ln k上单调递减；（2） f（0）=-1，当 0 k1 时，由（1）知，当 x（-，0）时，此时 f（ x）无零()()=()=(1)22=2(1)2+1
26、0点，当 x0，+）时， f（2）= e2-2k e2-20，又 f（ x）在0，+）上单调递增，所以 f（ x）在0，+）上有唯一的零点，故函数 f（ x）在定义域（-，+）上有唯一的零点，当 k1 时，由（1）知，当 x（-，ln k）时， f（ x） fmax（ x）= f（0）=-10，此时 f（ x）无零点；当 xln k，+）时， f（ln k） f（0）=-10，15，(+1)=+1(+1)22 =+1(+1)22 令 ，则 g（ t）= et-t， g（ t）= et-1，()=122， =+1 2因为 t2， g（ t）0， g（ t）在（2，+）上单调递增， g（ t） g
27、（2）= e2-20，所以 g（ t）在（2，+）上单调递增，得 g（ t） g（2）= e2-20，即 f（ k+1）0，所以 f（ x）在ln k，+）上有唯一的零点，故函数 f（ x）在定义域（-，+）上有唯一的零点综全知，当 k0 时函数 f（ x）在定义域（-，+）上有且只有一个零点【解析】（1）求出函数的导数，通过 k 的范围，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间即可（2）f（0）=-1，通过当 0k1 时，由（1）知，当 x（-，0）时，函数的最大值大于 0 推出函数没有零点，当 x0，+）时，f（2）=e 2-2ke 2-20，函数有唯一的零点，当 k1 时，由（1）知，当 x（-，lnk）时，f（x）f max（x）0，此时f（x）无零点；当 xlnk，+）时，有唯一的零点推出当 k0 时函数 f（x）在定义域（-，+）上有且只有一个零点本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的零点与函数的最值的关系，考查分类讨论思想以及转化思想的应用
