1、1问题 02 函数中存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等 思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.二、经验分享(1) 设,（1）上恒成立；（2）上恒成立.(2) 对于一次函数有：(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求
2、参数范围转化为求函数值域(4) 利用分离参数法来确定不等式 ,0fx,（ Dx,为实参数）恒成立中参数 的取值范围的基本步骤:将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；求 fx在 D上的最大（或最小）值； 【牛刀小试】 【江苏省淮安市淮海中学 2019 届高三上学期测试】函数，当 时，恒成立，则实数的取值范围是_.【解析】 的定义域为 ，且 ，为奇函数，且 在 上单调递增，由得， 时， ， 时， ，的最小值为 1， ，实数 的取值范围是 ，故答案为 .(二)分离参数法2【例 2】已知函数的图象在点 ex（ 为自然对数的底数）处的切线的斜率为 3(1)求实数 a的值；(2)若2()fxk对任意
3、 0成立,求实数 k的取值范围.【分析】 （1）由结合条件函数的图象在点 ex处的切线的斜率为 3,可知 (e)3f,可建立关于 a的方程：,从而解得 a；（2）要使2()fk对任意 0恒成立,只需即可,而由（1）可知,问题即等价于求函数的最大值,可以通过导数研究函数 gx的单调性,从而求得其最值：,令 ()0gx,解得 1x,当01x时, ()0g, ()在 01上是增函数；当 x时, (), 在 )上是减函数,因此 ()在 处取得最大值 , k即为所求.【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一
4、边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题. 【牛刀小试】 【2017 河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在 R上的奇函数 fx满足:当 0时,3fx,若不等式 对任意实数 t恒成立,则实数 m的取值范围是 .【答案】 2(五)存在性之常用模型及方法【例 5】设函数 ,aR且 1.曲线 yfx在点 1,f处的切线的斜率为 0.（1）求 b的值；3（2）若存在 1,x,使得 ,求 a的取值范围.【分析】 （1）根据条件曲线 yfx在点 1f处的切线的斜率为 0,可以将其
5、转化为关于 a,b的方程,进而求得 b的值： , ；（2）根据题意分析可得若存在 1,)x,使得不等式 成立,只需 即可,因此可通过探求()fx的单调性进而求得 (f的最小值,进而得到关于 a的不等式即可,而由（1）可知,则 ,因此需对 a的取值范围进行分类讨论并判断 ()fx的单调性,从而可以解得 a的取值范围是 .【解析】 （1） , 由曲线 yfx在点 1,f处的切线的斜率为 0,得 1f, 当12a时,1,x,aa,1a4fx0A极小值 A,不合题意,无解,10 分当 1a时,显然有 ()0fx, 1a,不等式 恒成立,符合题意, 综上, 的取值范围是 . 6 【徐州市第三中学 201
6、72018 学年度高三第一学期月考】已知函数 ,若存在唯一的整数 x,使 得 成立,则实数 a的取值范围为_【答案】 02387 【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】若存在 xR,使得 34xa 2x（a0 且 a1）成立,则实数 a 的取值范围是_【答案】 2或 90a 且 1. .【解析】 ,（3x4） ,5当 3x4=0 即4x3时,故舍去当 3x4 0 即4x3时, ,令 t=3x4 0, ,所以 2loga 1所以a2当 3x4 0 即4x3时,令 t=3x4 0, 219loga，所以 a 92综上,a2 或 0 a 92且 a1 14 【2016 届山东师大附中高三上
7、学期二模】已知函数 （a 为常数,e=2718）,且函数 处的切线和 处的切线互相平行（1）求常数 a 的值；（2）若存在 x 使不等式 成立,求实数 m 的取值范围【答案】 （1） ；（2） (,0)【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问,先利用导数求出函数 ()yfx在 0处的切线的斜率01ke,再求出函数函数 ()ygx在 a处 的切线的斜率 21ka, 根据题意列出等式,解出 a 的值；第二问,先将 转化为 , 构造函数 , 利用导数判断函
8、数的单调性,求出函数的最值,从而得到 m 的取值范围6（2） 可化为 ,令 ,则 ,因为 0x,所以 , 故 ()0hx,所以 ()hx在 0,)上是减函数,因此 ,所以,实数 m的取值范围是 (,)； 16. 【江苏省南师大附中 2019 届高三年级第一学期期中】已知函数 ，直线 是曲线 的一条切线（1）求实数 a 的值；（2）若对任意的 x (0， )，都有 ，求整数 k 的最大值【解析】7（2） 令 F(x) f(x) k(x1)，则根据题意，等价于 F(x)0 对任意的正数 x 恒成立.F ( x)ln x2 k，令 F ( x)0，则 x ek2 .当 0 x ek2 ，则 F ( x)0， F(x)在（0， ek2 ）上单减；当 x ek2 ，则 F ( x)0， F(x)在（ ek2 ，）上单增.所以有 F(x) F(ek2 ) 0，即 ek2 k10.当 k3，容易验证， ek2 k10； 下证：当 k4， ek2 k10 成立.
