1、1综合检测一(标准卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 120 分钟，满分 150 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 M2,3,4,5， N x|x25 x40，| | 0)的焦点为 F，已知点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点且满足 AFB120，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂
2、足为 N，则 的最大值为( )|MN|AB|A. B1C. D.3233 33答案 D解析 如图所示，过 A， B 分别作准线的垂线 AQ， BP，垂足分别为 Q， P，设|AF| a，| BF| b，由抛物线的定义，得| AF| AQ|，| BF| BP|，在梯形 ABPQ 中，2|MN| AQ| BP| a b，由余弦定理得：| AB|2 a2 b22 abcos120 a2 b2 ab，5整理得| AB|2( a b)2 ab，因为 ab 2，则( a b)2 ab( a b)2 2 (a b)(a b2 ) (a b2 ) 342，即| AB|2 (a b)2，所以 3，所以 ，即 ，
3、当且仅当34 |AB|2|MN|234a b214a b2 |AB|MN| 3 |MN|AB| 33a b，即| AF| BF|时取等号，故选 D.12已知函数 f(x) ， tR，若对任意的 x1,2， f(x) xf( x)恒成lnx x t2x立，则实数 t 的取值范围是( )A(， ) B.2 ( ，32)C(，3) D.( ，94)答案 B解析 f( x) ，x2 lnx 1 t2x2对任意的 x1,2， f( x)x f(x)0 恒成立对任意的 x1,2，0 恒成立2x2 2tx 1x对任意的 x1,2，2 x22 tx10 恒成立 t x x 恒成立，令 g(x)2x2 12x
4、12x 12x x ，12x又 g(x) x 在1,2上单调递增， g(x)min g(1) ，12x 32 t .32第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13已知向量 a(1， )， b(3， m)，且 b 在 a 上的投影为 3，则 a 与 b 的夹角为3_6答案 6解析 b 在 a 上的投影为 3，| b|cos a， b| b| 3， m ，cos a， bba|b|a| 3 3m2 3 ，0 a， b，向量 a 与 b 的夹角为 .ab|a|b| 6223 32 614已知(1 x)10 a0 a1(1 x)
5、a2(1 x)2 a10(1 x)10，则 a8_.答案 180解析 (1 x)10(1 x)10(2)(1 x)10, (1 x)10 a0 a1(1 x) a2(1 x)2 a10(1 x)10， a8C (2) 2180.81015已知圆 O： x2 y21 与 x 轴负半轴的交点为 A， P 为直线 3x4 y a0 上一点，过 P作圆 O 的切线，切点为 T，若| PA|2| PT|，则 a 的最大值为_答案 233解析 易知 A(1,0)，设 P(x， y)，由| PA|2| PT|，可得( x1) 2 y24( x2 y21)，化简得 2 y2 ，可转化为直线 3x4 y a0
6、与圆 2 y2 有公共点，所以(x13) 169 (x 13) 169d ，解得 a .故 a 的最大值为 .|1 a|5 43 173 233 23316已知函数 f(x) 2 x2ln x(a0)，若函数 f(x)在1,2上为单调函数，则 a 的取值3xa范围是_答案 1，)(0，25解析 f( x) 4 x ，3a 1x若函数 f(x)在1,2上为单调函数，即 f( x) 4 x 0 或 f( x) 4 x 03a 1x 3a 1x在1,2上恒成立，即 4 x 或 4 x 在1,2上恒成立3a 1x 3a 1x令 h(x)4 x ，则 h(x)在1,2上单调递增，1x所以 h(2)或 h
7、(1)，3a 3a7即 或 3，3a 152 3a又 a0，所以 0 a 或 a1.25三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)在锐角 ABC 中， a, b, c 为内角 A， B， C 的对边，且满足(2 c a)cosB bcosA0.(1)求角 B 的大小；(2)已知 c2， AC 边上的高 BD ，求 ABC 的面积 S 的值3217解 (1)(2 c a)cosB bcosA0，由正弦定理得(2sin Csin A)cosBsin BcosA0，(2sin Csin A)cosBsin BcosA，2sinCcosBsin(
8、 A B)0， A B C 且 sinC0，cos B ，12 B(0，)， B . 3(2) S ABC acsinB BDb，12 12代入 c2， BD ，sin B ，得 b a，3217 32 73由余弦定理得 b2 a2 c22 accosB a242 a，代入 b a，得 a29 a180，73解得Error! 或Error!又三角形为锐角三角形， a2b0)和椭圆 C2： y21 的离心率相同，且点x2a2 y2b2 x22( ， 1)在椭圆 C1上2(1)求椭圆 C1的方程；(2)设 P 为椭圆 C2上一点，过点 P 作直线交椭圆 C1于 A， C 两点，且 P 恰为弦 AC
9、 的中点，则当点 P 变化时，试问 AOC 的面积是否为常数，若是，请求出此常数，若不是，请说明理由解 (1)由题知， 1，且 ，即 a24， b22，2a2 1b2 ca 22椭圆 C1的方程为 1.x24 y22(2)是当直线 AC 的斜率不存在时，必有 P( ，0)，此时| AC|2， S AOC .2 2当直线 AC 的斜率存在时，设其斜率为 k，点 P(x0， y0)，则 AC： y y0 k(x x0)，直线AC 与椭圆 C1联立，得(12 k2)x24 k(y0 kx0)x2( y0 kx0)240，设 A(x1， y1)，C(x2， y2)，则 x0 ，即 x02 ky0，x1
10、 x22 2ky0 kx01 2k2又 x 2 y 2， y ，20 20 2011 2k2S AOC 12 |y0 kx0|1 k2 1 k216k2y0 kx02 41 2k22y0 kx02 41 2k2 2|y0 kx0|21 2k2 y0 kx021 2k2 21 2k2|y0|21 2k2 1 2k22y201 2k2 |y0| .2 1 2k2 211综上， AOC 的面积为常数 .221(12 分)已知函数 f(x)ln x ax， aR.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若函数 f(x)的两个零点为 x1， x2，且 e 2，求证：( x1 x2)f( x1 x2) .
11、x2x1 65(1)解 函数 f(x)ln x ax， aR 的定义域为 x|x0， f( x) a，1x当 a0 时， f( x)0， f(x)在(0，)上单调递增；当 a0,0 ， f(x)在 上单调递减1x 1a ( 1a， )(2)证明 ln x1 ax10，ln x2 ax20，ln x2ln x1 a(x1 x2)，(x1 x2)f( x1 x2)( x1 x2) a(x1 x2)(1x1 x2 a) x1 x2x1 x2 ln ln ，x1 x2x1 x2 x2x11 x2x11 x2x1 x2x1令 t(te 2)，令 (t) ln t，则 ( t) 0，x2x1 1 t1 t
12、 t2 11 t2t (t)在e 2，)上单调递增， (t) (e2)1 1 .2e2 1 232 1 65请在第 2223 题中任选一题作答22(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ，直线 l 的参数方程是Error!( t 为参数，4cos1 cos20 0)，且 f(x2)0 的解集为3，1(1)求 m 的值；(2)若 a， b， c 都是正实数，且 m，求证： a2 b3 c9.1a 12b 13c(1)解 依题意 f(x2) m| x2|0，即| x2| m m2 x2 m， m1.(2)证明 1( a， b， c0)，1a 12b 13c a2 b3 c( a2 b3 c)(1a 12b 13c)3 9，(a2b 2ba) (a3c 3ca) (2b3c 3c2b)当且仅当 a2 b3 c，即 a3， b ， c1 时取等号3213
