1、1综合检测二(标准卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 120 分钟，满分 150 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 A1,2,3,4， B x|x2 n， n A，则 A B 等于( )A1,4B2,3C2,4D1,2答案 C解析 把 n1,2,3,4 分别代入 x2 n，得 x2,4,6,8，即 B2
2、,4,6,8， A1,2,3,4， A B2,42设 i 是虚数单位，若复数 z ，则 等于( )i1 i zA. i B1 i12 12 12C1 i D. i12 12 12答案 A解析 复数 z ， z ，i1 i i1 i i 12 12 i2 .z12 i23设变量 x， y 满足约束条件Error!，则 z2 x y 的最小值为( )A3B2C1D2答案 B解析 绘制不等式组表示的可行域(阴影部分包含边界)，结合目标函数可得，目标函数在点A(1,0) 处取得最小值 z2 x y2.24.如图，在 OAB 中， P 为线段 AB 上的一点， x y ，且 2 ，则( )OP OA O
3、B BP PA A x ， y B x ， y23 13 13 23C x ， y D x ， y14 34 34 14答案 A解析 由题可知 ，又 2 ，所以 B ( )OP OB BP BP PA OP OB 23A OB 23OA OB O ，所以 x ， y ，故选 A.23A 13OB 23 135在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：94 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A9.4,0.484 B9.4,0.016C9.5,0.040 D9.5,0.016答案 D解析 根据平均值和方差的计算公
4、式知， (9.49.49.69.49.7)x159.5； s2 3(9.49.5) 2(9.69.5) 2(9.79.5) 20.016.故选 D.156阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 S 值为( )A15B37C83D177答案 B3解析 执行程序，可得S0， i1，不符合，返回循环；S2011， i3，不符合，返回循环；S2135， i5，不符合，返回循环；S25515， i7，不符合，返回循环；S215737， i9，符合，输出 S37.故选 B.7在公比为 q 的正项等比数列 an中， a41，则当 2a2 a6取得最小值时，log 2q 等于( )A. B C. D
5、14 14 18 18答案 A解析 2 a2 a62 2 2 ，当且仅当 q42 时取等号，所以 log2q 2a2a6 2a24 214log，故选 A.148.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为( )A. B. C. D.332 332 322 32答案 A解析 设 圆 的 半 径 为 r， 则 圆 的 面 积 S 圆 r2， 正 六 边 形 的 面 积 S 正 六 边 形 6 r2
6、sin6012 r2， 所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率3 32P ，故选 A.S正 六 边 形S圆 332r2 r2 3329已知某几何体的三视图如图所示，俯视图是由边长为 2 的正方形和半径为 1 的半圆组成，则该几何体的体积为( )4A8 B8 C4 D823 6 3 3答案 D解析 由三视图可知几何体为半圆锥与正方体的组合体，V2 3 1 228 .12 13 310在 ABC 中 ， 内 角 A， B， C 所 对 应 的 边 分 别 为 a， b， c， 且 asin 2B bsin A 0，若 a c 2， 则边 b 的最小值为( )A4B3 C2 D.3 3
7、3答案 D解析 根据 asin2B bsinA0，由正弦定理可得 sinAsin2Bsin BsinA0cos B ，1200， b0)的左、右两支x2a2 y2b2分别交于 M， N 两点，且 MF1， NF2都垂直于 x 轴(其中 F1， F2分别为双曲线 C 的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 1D.3 5 55 12答案 D解析 直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于 M， N 两点，且 MF1， NF2都垂直于 x 轴，根据双曲线的对称性，设点 M( c， y)， N(c， y)(y0)，则 1，即| y| ，且| MF1| NF2| y|，c2a2 y2b2
8、 c2 a2a5又直线 l 的倾斜角为 45，直线 l 过坐标原点，| y| c， c，整理得 c2 ac a20，c2 a2a即 e2 e10，解方程得 e .5 1212若不等式 2xlnx x2 ax3 对 x(0，)恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A(，0) B(，4C(0，) D4，)答案 B解析 2 xlnx x2 ax3 对 x(0，)恒成立， a x2ln x 对 x(0，)恒成立，3x令 f(x) x2ln x ，则 f( x)1 .3x 2x 3x2 x2 2x 3x2由 f( x)0 得 x1，即 f(x)在(1，)上为增函数；由 f( x)1 ，2 12 2 12
9、 2 2两圆外离，| PD|的最小值为 3 1 2 1，2 2 2| |的最小值为 4 2.PA PB 215.已知函数 f(x) Asin(x ) 的部分图象如图所示，则(A0， 0， | |0， a 2 an4 Sn3.2n7(1)求 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和1anan 1解 (1)由 a 2 an4 Sn3，可知 a 2 an1 4 Sn1 3，2n 2n 1可得 a a 2( an1 an)4 an1 ，即2n 1 2n2(an1 an) a a ( an1 an)(an1 an)，由于 an0，可得 an1 an2，又2n 1 2na 2 a14
10、a13，解得 a11(舍去)， a13，所以 an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，21通项公式为 an2 n1.(2)由 an2 n1 可知 bn ，设数列 bn的前 n1anan 1 12n 12n 3 12( 12n 1 12n 3)项和为 Tn，则 Tn b1 b2 bn Error!Error! .12 n32n 318(12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD， E 是PC 的中点，求证：(1)PA平面 EDB；(2)AD PC.证明 (1)连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE，底面 ABCD 是正方形， O 为 AC
11、中点，在 PAC 中， E 是 PC 的中点， OE PA， OE平面 EDB， PA平面 EDB， PA平面 EDB.(2)侧棱 PD底面 ABCD， AD底面 ABCD， PD AD，底面 ABCD 是正方形， AD CD，又 PD CD D， PD， CD平面 PCD，8 AD平面 PCD，又 PC平面 PCD， AD PC.19(12 分)十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了 100 个蜜柚进行测重，其质量分布在区间 内(单位：克)，统计质量1500， 3000的数据作
12、出其频率分布直方图如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在 ， 的蜜柚中随机抽取 5 个，再从1750， 2000) 2000， 2250)这 5 个蜜柚中随机抽 2 个，求这 2 个蜜柚质量均小于 2000 克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有 5000 个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A所有蜜柚均以 40 元/千克收购；B低于 2250 克的蜜柚以 60 元/个收购，高于或等于 2 250 的以 80 元/个收购请你通过计算为该村选择收益最好的方案解 (1)由 题 得 蜜 柚 质 量 在 1 750,2 000)
13、和 2 000， 2 250)的 比 例 为 2 3， 分 别 抽 取 2 个和 3 个 记抽取质量在1750,2000)的蜜柚为 A1， A2，质量在2000,2250)的蜜柚为 B1， B2， B3，则从这 5 个蜜柚中随机抽取 2 个的情况共有以下 10 种：A1A2， A1B1， A1B2， A1B3， A2B1， A2B2， A2B3， B1B2， B1B3， B2B3，其中质量均小于 2000 克的仅有 A1A2这 1 种情况，故所求概率为 .110(2)方案 A 好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在1500,1750)的频率为 2500.00040.1，同理，蜜柚质量在
14、1 750,2 000)，2 000,2 250)，2 250，2 500)，2 500,2 750)，2 750,3 000的频率依次为 0.1，0.15，0.4,0.2,0.05，若按方案 A 收购：根据题意各段蜜柚个数依次为 500,500,750,2000,1000,250，于是总收益为Error!Error!Error!401000 250(67)2(78)2 (89)3(910)25028(1011)4 (1112)140100092550(2630511528423) 457500(元)，若按方案 B 收购：蜜柚质量低于 2250 克的个数为(0.10.10.15)5000175
15、0，蜜柚质量高于 2250 克的个数为 500017503250，收益为 1750603250802502073134365000 元，方案 A 的收益比方案 B 的收益高，应该选择方案 A.20(12 分)已知椭圆 E： 1( ab0)的离心率为 ， P( ，1)为椭圆上一点x2a2 y2b2 63 3(1)求 E 的方程；(2)已知斜率为 ，不过点 P 的动直线 l 交椭圆 E 于 A， B 两点证明：直线 AP， BP 的斜率33和为定值(1)解 由题知Error!解得 a26， b22.即所求 E 的方程为 1.x26 y22(2)证明 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，设
16、 l 的方程为 y x m(m0)33易知，斜率为 且经过 P 关于 x 轴的对称点( ，1)时，直线与椭圆相切，33 3此时只有一个交点，不合题意，则 x1 且 x2 .3 3联立方程组Error!得2x22 mx3 m260， 4812 m20，即 m(2,0)(0,2)3所以 x1 x2 m， x1x2 .33m2 62所以 kPA ， kPB .y1 1x1 3 y2 1x2 3即 kPA kPB y1 1x1 3 y2 1x2 3 ，233x1x2 m 2x1 x2 23m 1x1x2 3x1 x2 3因为 x1x2( m2)( x1 x2)2 (m1)0，233 3故 kPA kP
17、B0.所以直线 AP， BP 的斜率和为定值21(12 分)已知函数 f(x)(2 a)(x1)2ln x(a 为常数)(1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间；10(2)若函数 y f(x)， x 的图象与 x 轴无交点，求实数 a 的最小值(0，12)解 (1) a1 时， f(x) x2ln x1， f( x)1 ，2x由 f( x)0 得 x2； f( x)0 成立，(0，12)即 x 时， a2 .(0，12) 2lnxx 1令 l 2 ， x ，(x)2lnxx 1 (0， 12)则 l( x) ，2lnx 2x 2x 12再令 m(x)2ln x 2， x ，2x (0， 12
18、)m( x) m 22ln20， l( x)0 在 上恒成立，(12) (0， 12) l(x)在 上为增函数， l(x)2 恒成立，只要 a24ln2，)，(12) 2lnxx 1实数 a 的最小值为 24ln2.请在第 2223 题中任选一题作答22(10 分)直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为 6cos .(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A， B，若点 P 的坐标为(2,1)，求| PA| PB|的最
19、小值解 (1)由 6cos 得 26 cos ，化为直角坐标方程为 x2 y26 x，即( x3)2 y29.(2)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 t22(sin cos )t70.11由 4(sin cos )2470，故可设 t1， t2是上述方程的两根，所以 t1 t22(cos sin )， t1t27，又由直线过点(2,1)，故结合参数的几何意义得|PA| PB| t1| t2| t1 t2| 2 ，当4sin cos 2 28 32 4sin2 7sin2 1 时取等号所以| PA| PB|的最小值为 2 .723(10 分)设函数 f(x)|2 x a| x a|(a0)(1)当 a1 时，求 f(x)的最小值；(2)若关于 x 的不等式 f(x)0，所以5x 5x0a6.12
