1、1课时跟踪检测(九) 二次函数与幂函数一、题点全面练1幂函数 y f(x)经过点(3, ),则 f(x)是( )3A偶函数,且在(0,)上是增函数B偶函数,且在(0,)上是减函数C奇函数,且在(0,)上是减函数D非奇非偶函数,且在(0,)上是增函数解析:选 D 设幂函数的解析式为 y x ,将(3, )代入解析式得 3 ,解得3 3 ,所以 y x .故选 D.12 122已知函数 f(x) ax2 bx c,若 abc 且 a b c0,则它的图象可能是( )解析:选 D 由 abc 且 a b c0,得 a0, c0 的解集为( )A(2,1)B(0,3)C(1,2D(,0)(3,)解析:
2、选 B 根据 f(x)的图象可得 f(x)0 的解集为 x|10 的解集为(0,3)故选 B.4若 a 23, b23, c13,则 a, b, c 的大小关系是( )(12) (15) (12)A a0)是增函数, a23b23. y x是减函数,(12) (15) (12) a230 的解集是( )A(4,2) B(2,4)C(,4)(2,) D(,2)(4,)解析:选 C 依题意, f(x)图象是开口向上的抛物线,对称轴为 x1,方程ax2 bx c0 的一个根是 2,另一个根是4.因此 f(x) a(x4)( x2)( a0),于是 f(x)0,解得 x2 或 x0,根据根与系数的关系
3、可得 x1 x22, x1x21 ,ha| x1 x2| 2, x1 x2 2 4x1x2 4ha解得 a1, f(x) x22 x.(2)由题意得函数 g(x)在区间1,2上单调递增,又 g(x) f(x) kx x2( k2) x. g(x)图象的对称轴方程为 x ,k 22则 1,即 k0,故 k 的取值范围为(,0k 2210已知函数 f(x) ax2 bx c(a0, bR, cR)(1)若函数 f(x)的最小值是 f(1)0,且 c1, F(x)Error!求 F(2) F(2)的值;(2)若 a1, c0,且| f(x)|1 在区间(0,1上恒成立,试求 b 的取值范围解:(1)
4、由已知 c1, a b c0,且 1,b2a解得 a1, b2, f(x)( x1) 2, F(x)Error! F(2) F(2)(21) 2(21) 28.4(2)由题可知, f(x) x2 bx,原命题等价于1 x2 bx1 在(0,1上恒成立,即 b x 且 b x 在(0,1上恒成立1x 1x又 x 的最小值为 0, x 的最大值为2,1x 1x2 b0,故 b 的取值范围是2,0二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知函数 f(x) x2 x c,若 f(0)0, f(p)0 B f(p1)0,函数图象的对称轴为直线 x ,则 f(1)12 f(0)0,设 f(x)0 的两根分
5、别为 x1, x2(x10,则 f(p1)0.2已知幂函数 f(x)( n22 n2) xn23 n(nZ)的图象关于 y 轴对称,且在(0,)上是减函数,则 n 的值为( )A3 B1C2 D1 或 2解析:选 B 由于 f(x)为幂函数,所以 n22 n21,解得 n1 或 n3,当 n1时,函数 f(x) x2 为偶函数,其图象关于 y 轴对称,且 f(x)在(0,)上是减函数,所以 n1 满足题意;当 n3 时,函数 f(x) x18为偶函数,其图象关于 y 轴对称,而f(x)在(0,)上是增函数,所以 n3 不满足题意,舍去故选 B.3函数 f(x) x2 bx c 满足 f(x1)
6、 f(1 x),且 f(0)3,则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是( )A f(bx) f(cx) B f(bx) f(cx)C f(bx)f(cx) D与 x 有关,不确定解析:选 A 由题意知,函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称, b2,又 f(0)3, c3,则 bx2 x, cx3 x.易知 f(x)在(,1)上单调递减,在1,)上单调递增若 x0,则 3x2 x1, f(3x) f(2x);若 xf(2x) f(3x) f(2x),即 f(bx) f(cx)故选 A.4若函数 f(x) x22 ax2 在区间5,5上是单调函数,则实数 a 的取值范围为_解析:函数 f(x
7、)( x a)22 a2的图象的对称轴为直线 x a,因为 y f(x)在区间5,5上是单调函数,5所以 a5 或 a5,即 a5 或 a5.故实数 a 的取值范围是(,55,)答案:(,55,)5若函数 f(x) ax22 ax1 在1,2上有最大值 4,则 a 的值为_解析: f(x) a(x1) 21 a.当 a0 时,函数 f(x)在区间1,2上的值为常数 1,不符合题意,舍去;当 a0 时,函数 f(x)在区间1,2上是增函数,最大值为 f(2)8 a14,解得a ;38当 a0 在1,1上恒成立,只需Error! Error!x3.故选 B.7分离参数法方程 x2 ax20 在区间
8、1,5上有解,则实数 a 的取值范围为( )A. B(1,)(235, )C. D.235, 1 ( , 235解析:选 C 方程 x2 ax20 在区间1,5上有解转化为方程 a 在区间1,52 x2x上有解,即 y a 与 y 的图象有交点,又因为 y x 在1,5上是减函数,2 x2x 2 x2x 2x所以其值域为 ,故选 C.235, 1(三)难点专练适情自主选8函数 f(x) x23 x a, g(x)2 x x2,若 f(g(x)0 对 x0,1恒成立,则实数 a 的取值范围是( )6Ae,) Bln 2,)C2,) D.(12, 0解析:选 C 如图所示,在同一坐标系中画出 y
9、x21, y2 x, y x2 的图象,由32图象可知,在0,1上, x212 xx2 恒成立,即 12 x x2 ,当且仅当 x0 或 x132 32时等号成立,1 g(x) , f(g(x)0 f(1)013 a0 a2,即实数 a32的取值范围是2,),故选 C.9定义:如果在函数 y f(x)定义域内的给定区间 a, b上存在 x0(ax0b),满足f(x0) ,则称函数 y f(x)是 a, b上的“平均值函数” , x0是它的一个f b f ab a均值点,如 y x4是1,1上的平均值函数,0 就是它的均值点现有函数 f(x) x2 mx1 是1,1上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是_解析:因为函数 f(x) x2 mx1 是1,1上的平均值函数,设 x0为均值点,所以 m f(x0),f 1 f 11 1即关于 x0的方程 x mx01 m 在(1,1)内有实数根,解方程得 x01 或 x0 m1.20所以必有1 m11,即 0m2,所以实数 m 的取值范围是(0,2)答案:(0,2)7