1、1课时跟踪检测(六) 函数的单调性与最值一、题点全面练1下列函数中,在区间(1,1)上为减函数的是( )A y B ycos x11 xC yln( x1) D y2 x解析:选 D 函数 y2 x x在(1,1)上为减函数(12)2(2017全国卷)函数 f(x)ln( x22 x8)的单调递增区间是( )A(,2) B(,1)C(1,) D(4,)解析:选 D 由 x22 x80,得 x4 或 x2.因此,函数 f(x)ln( x22 x8)的定义域是(,2)(4,)注意到函数 y x22 x8 在(4,)上单调递增,由复合函数的单调性知, f(x)ln( x22 x8)的单调递增区间是(
2、4,)3若函数 f(x) x22 x m 在3,)上的最小值为 1,则实数 m 的值为( )A3 B2C1 D1解析:选 B 因为 f(x)( x1) 2 m1 在3,)上为增函数,且 f(x)在3,)上的最小值为 1,所以 f(3)1,即 22 m11, m2.故选 B.4函数 f(x) 的单调递增区间是( )x1 xA(,1) B(1,)C(,1),(1,) D(,1),(1,)解析:选 C 因为 f(x) 1 , 1 x 11 x 11 x所以 f(x)的图象是由 y 的图象沿 x 轴向右平移 1 个单位,然后沿 y 轴向下平移一1x个单位得到,而 y 的单调递增区间为(,0),(0,)
3、;1x所以 f(x)的单调递增区间是(,1),(1,)故选 C.5(2019赣州模拟)设函数 f(x)Error! g(x) x2f(x1),则函数 g(x)的单调递减区间是( )A(,0 B0,1)C1,) D1,0解析:选 B 由题知, g(x)Error!可得函数 g(x)的单调递减区间为0,1)26若函数 f(x) x2 a|x|2, xR 在区间3,)和2,1上均为增函数,则实数 a 的取值范围是( )A. B6,4113, 3C. D. 3, 22 4, 3解析:选 B 由于 f(x)为 R 上的偶函数,因此只需考虑函数 f(x)在(0,)上的单调性即可由题意知函数 f(x)在3,
4、)上为增函数,在1,2上为减函数,故 2,3,即 a6,4a27函数 y , x( m, n的最小值为 0,则 m 的取值范围是( )2 xx 1A(1,2) B(1,2)C1,2) D1,2)解析:选 D 函数 y 1,2 xx 1 3 x 1x 1 3x 1且在 x(1,)时单调递减,在 x2 时, y0;根据题意 x( m, n时 y 的最小值为 0,所以1 m0 且 a10, a1.故选 C.2已知函数 f(x)Error!是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围是( )A. B.14, 12) 14, 12C. D.(0,12 12, 1)解析:选 B 由对数函数的定义可得 a0
5、,且 a1.又函数 f(x)在 R 上单调,则二次函数 y ax2 x 的图象开口向上,14所以函数 f(x)在 R 上单调递减,故有Error! 即Error!所以 a .14, 1243已知函数 f(x)是定义在(0,)上的增函数,若 f(a2 a)f(a3),则实数 a 的取值范围为_解析:由已知可得Error!解得33,所以实数 a 的取值范围为(3,1)(3,)答案:(3,1)(3,)(二)技法专练活用快得分4构造法已知减函数 f(x)的定义域是实数集 R, m, n 都是实数如果不等式 f(m) f(n)f( m) f( n)成立,那么下列不等式成立的是( )A m n0C m n
6、0解析:选 A 设 F(x) f(x) f( x),由于 f(x)是 R 上的减函数, f( x)是 R 上的增函数, f( x)是 R 上的减函数, F(x)是 R 上的减函数,当 mF(n),即 f(m) f( m)f(n) f( n)成立因此,当 f(m) f(n)f( m) f( n)成立时,不等式 m n0, x0)1a 1x(1)求证: f(x)在(0,)上是增函数;(2)若 f(x)在 ,2 上的值域是 ,2,求 a 的值12 12解:(1)证明:设 x2x10,则 x2 x10, x1x20,因为 f(x2) f(x1) (1a 1x2) (1a 1x1) 0,所以 f(x2)
7、f(x1),1x1 1x2 x2 x1x1x2所以 f(x)在(0,)上是增函数(2)因为 f(x)在 ,2 上的值域是 ,2,12 12又由(1)得 f(x)在 ,2 上是单调增函数,12所以 f , f(2)2,(12) 12解得 a .258数学运算已知函数 f(x)lg ,其中 a 是大于 0 的常数(xax 2)(1)求函数 f(x)的定义域;(2)当 a(1,4)时,求函数 f(x)在2,)上的最小值;(3)若对任意 x2,)恒有 f(x)0,试确定 a 的取值范围解:(1)由 x 20,ax得 0,x2 2x ax当 a1 时, x22 x a0 恒成立,定义域为(0,);当 a
8、1 时,定义域为 x|x0 且 x1;当 01 1 a 1 a(2)设 g(x) x 2,当 a(1,4), x2,)时, g( x)1 0 恒ax ax2 x2 ax26成立,所以 g(x) x 2 在2,)上是增函数ax所以 f(x)lg 在2,)上是增函数(xax 2)所以 f(x)lg 在2,)上的最小值为 f(2)lg .(xax 2) a2(3)对任意 x2,)恒有 f(x)0,即 x 21 对任意 x2,)恒成立ax所以 a3x x2,令 h(x)3 x x2,而 h(x)3 x x2 2 在2,)上是减函数,所以 h(x)max h(2)2,所(x32) 94以 a2.即 a 的取值范围为(2,)7