1、1课时跟踪检测(六) 函数的单调性与最值一、题点全面练1下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是( )A y B ycos x11 xC yln( x1) D y2 x解析：选 D 函数 y2 x x在(1,1)上为减函数(12)2(2017全国卷)函数 f(x)ln( x22 x8)的单调递增区间是( )A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)解析：选 D 由 x22 x80，得 x4 或 x2.因此，函数 f(x)ln( x22 x8)的定义域是(，2)(4，)注意到函数 y x22 x8 在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知， f(x)ln( x22 x8)的单调递增区间是(
2、4，)3若函数 f(x) x22 x m 在3，)上的最小值为 1，则实数 m 的值为( )A3 B2C1 D1解析：选 B 因为 f(x)( x1) 2 m1 在3，)上为增函数，且 f(x)在3，)上的最小值为 1，所以 f(3)1，即 22 m11， m2.故选 B.4函数 f(x) 的单调递增区间是( )x1 xA(，1) B(1，)C(，1)，(1，) D(，1)，(1，)解析：选 C 因为 f(x) 1 ， 1 x 11 x 11 x所以 f(x)的图象是由 y 的图象沿 x 轴向右平移 1 个单位，然后沿 y 轴向下平移一1x个单位得到，而 y 的单调递增区间为(，0)，(0，)
3、；1x所以 f(x)的单调递增区间是(，1)，(1，)故选 C.5(2019赣州模拟)设函数 f(x)Error! g(x) x2f(x1)，则函数 g(x)的单调递减区间是( )A(，0 B0,1)C1，) D1,0解析：选 B 由题知， g(x)Error!可得函数 g(x)的单调递减区间为0,1)26若函数 f(x) x2 a|x|2， xR 在区间3，)和2，1上均为增函数，则实数 a 的取值范围是( )A. B6，4113， 3C. D. 3， 22 4， 3解析：选 B 由于 f(x)为 R 上的偶函数，因此只需考虑函数 f(x)在(0，)上的单调性即可由题意知函数 f(x)在3，
4、)上为增函数，在1,2上为减函数，故 2,3，即 a6，4a27函数 y ， x( m， n的最小值为 0，则 m 的取值范围是( )2 xx 1A(1,2) B(1,2)C1,2) D1,2)解析：选 D 函数 y 1，2 xx 1 3 x 1x 1 3x 1且在 x(1，)时单调递减，在 x2 时， y0；根据题意 x( m， n时 y 的最小值为 0，所以1 m0 且 a10， a1.故选 C.2已知函数 f(x)Error!是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是( )A. B.14， 12) 14， 12C. D.(0，12 12， 1)解析：选 B 由对数函数的定义可得 a0
5、，且 a1.又函数 f(x)在 R 上单调，则二次函数 y ax2 x 的图象开口向上，14所以函数 f(x)在 R 上单调递减，故有Error! 即Error!所以 a .14， 1243已知函数 f(x)是定义在(0，)上的增函数，若 f(a2 a)f(a3)，则实数 a 的取值范围为_解析：由已知可得Error!解得33，所以实数 a 的取值范围为(3，1)(3，)答案：(3，1)(3，)(二)技法专练活用快得分4构造法已知减函数 f(x)的定义域是实数集 R， m， n 都是实数如果不等式 f(m) f(n)f( m) f( n)成立，那么下列不等式成立的是( )A m n0C m n
6、0解析：选 A 设 F(x) f(x) f( x)，由于 f(x)是 R 上的减函数， f( x)是 R 上的增函数， f( x)是 R 上的减函数， F(x)是 R 上的减函数，当 mF(n)，即 f(m) f( m)f(n) f( n)成立因此，当 f(m) f(n)f( m) f( n)成立时，不等式 m n0， x0)1a 1x(1)求证： f(x)在(0，)上是增函数；(2)若 f(x)在 ，2 上的值域是 ，2，求 a 的值12 12解：(1)证明：设 x2x10，则 x2 x10， x1x20，因为 f(x2) f(x1) (1a 1x2) (1a 1x1) 0，所以 f(x2)
7、f(x1)，1x1 1x2 x2 x1x1x2所以 f(x)在(0，)上是增函数(2)因为 f(x)在 ，2 上的值域是 ，2，12 12又由(1)得 f(x)在 ，2 上是单调增函数，12所以 f ， f(2)2，(12) 12解得 a .258数学运算已知函数 f(x)lg ，其中 a 是大于 0 的常数(xax 2)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)当 a(1,4)时，求函数 f(x)在2，)上的最小值；(3)若对任意 x2，)恒有 f(x)0，试确定 a 的取值范围解：(1)由 x 20，ax得 0，x2 2x ax当 a1 时， x22 x a0 恒成立，定义域为(0，)；当 a
8、1 时，定义域为 x|x0 且 x1；当 01 1 a 1 a(2)设 g(x) x 2，当 a(1,4)， x2，)时， g( x)1 0 恒ax ax2 x2 ax26成立，所以 g(x) x 2 在2，)上是增函数ax所以 f(x)lg 在2，)上是增函数(xax 2)所以 f(x)lg 在2，)上的最小值为 f(2)lg .(xax 2) a2(3)对任意 x2，)恒有 f(x)0，即 x 21 对任意 x2，)恒成立ax所以 a3x x2，令 h(x)3 x x2，而 h(x)3 x x2 2 在2，)上是减函数，所以 h(x)max h(2)2，所(x32) 94以 a2.即 a 的取值范围为(2，)7
