1、1课时跟踪检测(十二) 函数与方程一、题点全面练1设 f(x)是区间1,1上的增函数，且 f f 0，则方程 f(x)0 在区间(12) (12)1,1内( )A可能有 3 个实数根 B可能有 2 个实数根C有唯一的实数根 D没有实数根解析：选 C f(x)在区间1,1上是增函数，且 f f 0，(12) (12) f(x)在区间 上有唯一的零点12， 12方程 f(x)0 在区间1,1内有唯一的实数根2(2018濮阳一模)函数 f(x)ln(2 x)1 的零点位于区间( )A(2,3) B(3,4)C(0,1) D(1,2)解析：选 D f(x)ln(2 x)1 是增函数，且是连续函数，f(
2、1)ln 210， f(2)ln 410，根据函数零点的存在性定理可得，函数 f(x)的零点位于区间(1,2)上3(2019南宁模拟)设函数 f(x)ln x2 x6，则 f(x)零点的个数为( )A3 B2C1 D0解析：选 B 令 f(x)0，则 ln x2 x6，令 g(x)ln x(x0)， h(x)2 x6( x0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数 f(x)零点的个数，容易看出函数 f(x)零点的个数为 2，故选 B.4已知函数 f(x) xlog 3x，若 x0是函数 y f(x)的零点，且 0 x1 x0，则 f(x1)(1
3、5)的值( )A恒为正值 B等于 0C恒为负值 D不大于 0解析：选 A 因为函数 f(x) xlog 3x 在(0，)上是减函数，所以当 0 x1 x0(15)2时，有 f(x1) f(x0)又 x0是函数 f(x)的零点，因此 f(x0)0，所以 f(x1)0，即 f(x1)的值恒为正值，故选 A.5(2018黄山一模)已知函数 f(x)e |x| x|.若关于 x 的方程 f(x) k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是( )A(0,1) B(1，)C(1,0) D(，1)解析：选 B 方程 f(x) k 化为方程 e|x| k| x|.令ye |x|， y k| x|， y k
4、| x|表示过点(0， k)，斜率为 1 或1 的平行折线系，折线与曲线 ye |x|恰好有一个公共点时，有 k1，如图若关于 x 的方程 f(x) k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是(1，)6若方程 ln x x40 在区间( a， b)(a， bZ，且 b a1)上有一根，则 a 的值为( )A1 B2C3 D4解析：选 B 方程 ln x x40 的根为函数 f(x)ln x x4 的零点 f(x)的定义域为(0，)， f(x)在定义域上单调递增因为 f(2)ln 220， f(3)ln 310，所以 f(x)在区间(2,3)有一个零点，则方程 ln x x40 在区间(2,
5、3)有一根，所以 a2， b3.故选 B.7(2019哈尔滨检测)若函数 f(x) x2 ax b 的两个零点是1 和 2，则不等式af(2 x)0 的解集是_解析：函数 f(x) x2 ax b 的两个零点是1 和 2，即1,2 是方程 x2 ax b0 的两根，可得12 a，12 b，解得 a1， b2. f(x) x2 x2， af(2 x)0，即 4x22 x20，解得1 x .12答案： ( 1，12)8已知函数 f(x)Error! g(x)Error!则函数 f(g(x)的所有零点之和是_解析：由 f(x)0，得 x2 或 x2，由 g(x)2，得 x1 ，由 g(x)2，得3x
6、 ，所以函数 f(g(x)的所有零点之和是 1 .12 12 3 12 3答案： 12 39已知 y f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x0，)时， f(x) x22 x.(1)写出函数 y f(x)的解析式；3(2)若方程 f(x) a 恰有 3 个不同的解，求实数 a 的取值范围解：(1)设 x0，则 x0，所以 f( x) x22 x.又因为 f(x)是奇函数，所以 f(x) f( x) x22 x.所以 f(x)Error!(2)方程 f(x) a 恰有 3 个不同的解，即 y f(x)与 y a 的图象有 3 个不同的交点作出 y f(x)与 y a 的图象如图所示，故若方程 f
7、(x) a 恰有 3 个不同的解，只需1 a1，故实数 a 的取值范围为(1,1)10(2019济南月考)已知二次函数 f(x)的最小值为4，且关于 x 的不等式 f(x)0的解集为 x|1 x3， xR(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 g(x) 4ln x 的零点个数f xx解：(1)因为 f(x)是二次函数，且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为x|1 x3， xR，所以 f(x) a(x1)( x3) ax22 ax3 a，且 a0.所以 f(x)min f(1)4 a4， a1.故函数 f(x)的解析式为 f(x) x22 x3.(2)因为 g(x) 4ln x x 4
8、ln x2( x0)，x2 2x 3x 3x所以 g( x)1 .3x2 4x x 1 x 3x2令 g( x)0，得 x11， x23.当 x 变化时， g( x)， g(x)的取值变化情况如下.x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，)g( x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 当 0 x3 时， g(x) g(1)40.又因为 g(x)在(3，)上单调递增，因而 g(x)在(3，)上只有 1 个零点故 g(x)在4(0，)上只有 1 个零点二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1(2018德州期末)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)e x x3，则 f
9、(x)的零点个数为( )A1 B2C3 D4解析：选 C 因为函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，所以 f(0)0，即 0 是函数 f(x)的一个零点，当 x0 时， f(x)e x x3 为增函数因为 f(1)e 113e20， fe14 3 e14 0，所以当 x0 时， f(x)有一个零点根据对称性知，当 x0(14) 14 114时，函数 f(x)也有一个零点综上所述， f(x)的零点的个数为 3.2(2019六安模拟)已知函数 f(x)2 mx2 x1 在区间(2,2)上恰有一个零点，则实数 m 的取值范围是( )A. B.(18， 0) (0， 38 ( 38， 18)C. D
10、.38， 18) ( 18， 38解析：选 D 当 m0 时，函数 f(x) x1 有一个零点 x1，满足条件当 m0时，函数 f(x)2 mx2 x1 在区间(2,2)上恰有一个零点，需满足 f(2) f(2)0或Error! 或 Error!解得 m0 或 0 m ；无解；解得 m .综上可知18 38 38 m ，故选 D.18 383(2019沧州质检)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足： f(x) f(2 x)0； f(x2) f( x)；当 x1,1时， f(x)Error!则函数 y f(x) |x|在区(12)间3,3上的零点个数为( )A5 B6C7 D8解析：选 A 由
11、 f(x) f(2 x)0 可得 f(x)的图象关于点(1,0)对称；由 f(x2) f( x)可得 f(x)的图象关于直线 x1 对称如图，作出 f(x)在1,1上的图象，再由对称性，作出 f(x)在3,3上的图象，作出函数 y |x|在3,3上的图象，由图象(12)观察可得它们共有 5 个交点，即函数 y f(x) |x|在区间3,3上的零点个数为 5.故(12)5选 A.4函数 f(x) |x1| 2cos x(4 x6)的所有零点之和为_(12)解析：可转化为两个函数 y |x1| 与 y2cos x 在4,6上的交点的横坐标的(12)和，因为两个函数均关于 x1 对称，所以两个函数在
12、 x1 两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为 2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在 x1 两侧分别有 5 个交点，所以 5210.答案：10(二)难点专练适情自主选5已知函数 f(x)Error!若关于 x 的方程 f(x) kx 恰有 4 个不相等的实数根，则12实数 k 的取值范围是( )A. B.(12， e) 12， e)C. D.(12， ee (12， ee)解析：选 D 若关于 x 的方程 f(x) kx 恰有 4 个不相等的实数根，则 y f(x)的图12象和直线 y kx 有 4 个交点作出函数 y f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线12y kx 的下方12
13、 k1 0，解得 k .12 126当直线 y kx 和 yln x 相切时，设切点横坐标为 m，则 k ， m .此12 ln m 12m 1m e时， k ， f(x)的图象和直线 y kx 有 3 个交点，不满足条件，故所求 k 的取值范1m ee 12围是 ，故选 D.(12， ee)6(2018兰州一模)已知定义在 R 上的函数 y f(x)对任意的 x 都满足 f(x2) f(x)，当1 x1 时， f(x)sin x，若函数 g(x) f(x)log a|x|至少有 6 个零点，则 a 的取 2值范围是( )A. (5，) B. 5，)(0，15 (0， 15)C. (5,7) D. 5,7)(17， 15 (17， 15)解析：选 A 当 a1 时，作出函数 y f(x)与函数 ylog a|x|的图象，如图所示结合图象可知Error!故 a5；当 0 a1 时，作出函数 f(x)与函数 ylog a|x|的图象，如图所示结合图象可知Error!故 0 a .故选 A.157
