1、1专题突破练(7) 概率与其他知识的交汇一、选择题1(2018太原五中测试)在区间1，5上随机地取一个数 m，则方程 4x2 m2y21 表示焦点在 y 轴上的椭圆的概率是( )A B C D15 14 35 34答案 B解析 由方程 4x2 m2y21，即 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得 0，即 ab，所以满足条件的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共 6 个基本事件，所以所求的概率为 P 故选 D69 235(2018湖北部分重点中学联考二)已知实数 a， b 是利用计算机产生的 01 之间的均匀随机数，设事件 A 为“( a1) 2 b2 ”，
2、则事件 A 发生的概率为( )14A B1 C D116 16 4 4答案 B解析 分别以 a， b 为横轴和纵轴建立平面直角坐标系，则符合题意的实数对( a， b)表示的平面区域为边长为 1 的正方形及其内部，其中使得事件 A 不发生的实数对( a， b)表示的平面区域为以(1，0)为圆心，半径为 的四分之一个圆及其内部，则事件 A 发生的概率为121 故选 B1 41221 166(2018江西重点中学盟校联考一)如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 区域中，M， N 分别为 OA， OB 的中点，在 M， N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以 OA， OB 为直径的圆，在扇
3、形 OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是( )3A1 B 2 12 1C2 D4 1答案 B解析 设以 OA， OB 为直径的两个圆相交于点 C，由题意， OA 的中点是 M，则 CMO90，设扇形 OAB 的半径为 OA r，则 S 扇形 OAB r2， S 半圆 OAC r2， S14 18OMC ，所以能够同时收到两个基站信号部分的面积为 2 S 半圆 OAC S12 r2 r2 r28 12OMC ，所以所求概率为 故选 B r28 r24 r28 r2414 r2 12 17(2018山西考前适应训练)甲、乙二人约定 7：10 在某处会面，甲在7：007：20 内
4、某一时刻随机到达，乙在 7：057：20 内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙 5 分钟的概率是( )A B C D18 14 38 58答案 C解析 设甲、乙到达约会地点的时刻分别是 x， y，则取值范围为Error!对应区域是以20 和 15 为边长的长方形，其中甲至少需等待乙 5 分钟满足 y x5，对应区域是以 15 为直角边的等腰直角三角形(如图中阴影部分(含边界)所示)，则所求概率为 1215152015故选 C38二、填空题8(2019成都模拟)甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为 甲 ， 乙 ，则 甲 乙 的概率是_x
5、 x x x4答案 25解析 乙的综合测评成绩为 86，87，91，92，94， 乙 90，污x86 87 91 92 945损处可取数字 0，1，2，9，共 10 种，而 甲 乙 发生对应的数字有 6，7，8，9，共 4x x种，故 甲 乙 的概率为 x x410 259(2018安徽联考)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数记为 b，设任意投掷两次使 l1： x ay3， l2： bx6 y3 平行的概率为 P1，不平行的概率为 P2，若点( P1， P2)在圆( x m)2 y2 的内部，则实数 m 的取值范围是_6572答案 6635 ，602418 1262
6、36243030故有 99%的把握认为物理成绩的好与不好和数学成绩有关12(2018湖南雅礼中学月考八)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 M 的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率 y 与月份代码 x 之间的关系求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 M 公司 2018 年 4 月份的市场占有率；(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车现有采购成本分别为 1000 元/辆和1200 元/辆的 A， B 两款车型可供选择，按规定每辆单车
7、最多使用 4 年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各 100 辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：7报废年限车型 1 年 2 年 3 年 4 年 总计A 20 35 35 10 100B 10 30 40 20 100经测算，平均每辆单车每年可以带来收入 500 元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的均值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考数据： (xi )(yi )35， (xi )217
8、56 i 1 x y 6 i 1 x参考公式：回归直线方程为 x ，y b a 其中 ， b n i 1xi xyi y n i 1xi x2 a y b x解 (1)由题意， 35， 16， 2，x y b 3517.5 162359，a y b x 2 x9，y 当 x7 时， 27923，y 即预测 M 公司 2018 年 4 月份(即 x7 时)的市场占有率为 23%(2)由频率估计概率，每辆 A 款车可使用 1 年、2 年、3 年、4 年的概率分别为02，035，035，01每辆 A 款车的利润均值为(5001000)02(10001000)035(15001000)035(2000
9、1000)01175(元)；每辆 B 款车可使用 1 年、2 年、3 年、4 年的概率分别为 01，03，04，02，每辆 B 款车的利润均值为(5001200)01(10001200)03(15001200)04(20001200)02150(元)，175150，应该采购 A 款车8 第 三 部 分 数 学 思 想 专 练函数与方程思想专练一、选择题1椭圆 y21 的两个焦点为 F1， F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，其一x24交点为 P，则| PF2|( )A B C D432 3 72答案 C解析 如图，令| F1P| r1，|F2P| r2，那么Error! Error
10、!r2 故选 C722(2018湖北七校联考)已知 f(x)是奇函数并且是 R 上的单调函数，若函数y f(2x21) f( x)只有一个零点，则实数 的值是( )A B C D14 18 78 38答案 C解析 依题意，方程 f(2x21) f( x)0 只有 1 个解，故 f(2x21) f( x) f(x )有 1 解，所以 2x21 x ，即 2x2 x1 0 有唯一解，故 18(1 )0，解得 故选 C783设 a1，若对于任意的 x a，2 a，都有 y a， a2满足方程 logaxlog ay3，这时 a 的取值的集合为( )A a|11，由此解得 a2故选 B1294若 2x
11、5 y2 y5 x，则有( )A x y0 B x y0 C x y0 D x y0答案 B解析 原不等式可变形为 2x5 x2 y5 y即 2x x2 y y故设函数 f(x)(15) (15)2 x x， f(x)为增函数，所以 x y，即 x y0故选 B(15)5为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求 ACB60， BC 的长度大于1 米，且 AC 比 AB 长 05 米，为了稳固广告牌，要求 AC 越短越好，则 AC 最短为( )A1 米 B2 米32C(1 ) 米 D(2 ) 米3 3答案 D解析 由题意，设 BC x(x1)米， AC t(t0)米，则 AB AC05(
12、t05)米，在 ABC 中，由余弦定理得 AB2 AC2 BC22 ACBCcos60，即( t05) 2 t2 x2 tx，化简并整理得 t (x1)，即 t x1 2，因 x1，故x2 0.25x 1 0.75x 1t x1 22 当且仅当 x1 时取等号，此时 t 取最小值 2 故选 D0.75x 1 3 32 3二、填空题6设 a1， d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列 an的前 n 项和为 Sn，满足S5S6150，则 d 的取值范围是_答案 (，2 2 ，)2 2解析 由 S5S6150 得(5 a110 d)(6a115 d)150，即2a 9 a1d10 d210
13、， 81 d28(10 d21)0，解得 d2 或 d2 21 2 27若存在两个正实数 x， y，使得等式 x3e ay30 成立，其中 e 为自然对数的底数，yx则实数 a 的最小值为_答案 e327解析 由题意知 a ，设 t(t0)，则令 f(t) ，则 f( t) ，当 t3eyxyx3 yx ett3 ett 3t410时， f( t)0，当 00)，BDDC ABAC 32则 BC5 x，由 cos BDAcos ADC0 知 0，9x2 18 36182x 4x2 18 16122x解得 x1，所以 BC510已知各项均不相等的等差数列 an的前 5 项和 S520，且 a1，
14、 a3， a7成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)若 Tn为数列 的前 n 项和，且存在 nN *，使得 Tn a n1 0 成立，求实数1anan 1 的取值范围解 (1)设数列 an的公差为 d，则11Error!即 Error!又因为 d0，所以Error!所以 an n1(2)因为 ，1anan 1 1n 1n 2 1n 1 1n 2所以 Tn 12 13 13 14 1n 1 1n 2 12 1n 2 n2n 2因为存在 nN *，使得 Tn a n1 0 成立，所以存在 nN *，使得 (n2)0 成立，n2n 2即存在 nN *，使 成立n2n 22又 ，n2n 22
15、12n 4n 4且 (当且仅当 n2 时取等号)，12n 4n 4 116所以 即实数 的取值范围是， 116 11611设函数 f(x)ln x (a 为常数)ax 1(1)若曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线与 x 轴平行，求实数 a 的值；(2)若函数 f(x)在(e，)内有极值，求实数 a 的取值范围解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，1)(1，)，由 f(x)ln x 得 f( x) ，由于曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切ax 1 1x ax 12线与 x 轴平行，所以 f(2)0，即 0，所以 a 12 a2 12 12(2)因为 f( x) ，1x a
16、x 12 x2 2 ax 1xx 12若函数 f(x)在(e，)内有极值，则函数 y f( x)在(e，)内有异号零点，令 (x) x2(2 a)x1设 x2(2 a)x1( x )(x )，可知 1，不妨设 ，则 (0，1)， (1，)，若函数 y f( x)在(e，)内有异号零点，12即 y (x)在(e，)内有异号零点，所以 e，又 (0)10，所以 (e)e 2(2 a)e1e 2，所以实数 a 的取值范围是 e 2，1e 1e12(2018河南联考)在平面直角坐标系中，动点 M 到定点 F(1，0)的距离与它到直线 x2 的距离之比是常数 ，记 M 的轨迹为 T22(1)求轨迹 T
17、的方程；(2)过点 F 且不与 x 轴重合的直线 m 与轨迹 T 交于 A， B 两点，线段 AB 的垂直平分线与x 轴交于点 P，在轨迹 T 上是否存在点 Q，使得四边形 APBQ 为菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由解 (1)设 M(x， y)，根据动点 M 到定点 F(1，0)的距离与它到直线 x2 的距离之比是常数 ，22得 ，整理得 y21，x 12 y2|x 2| 22 x22轨迹 T 的方程为 y21x22(2)假设存在直线 m，设直线 m 的方程为 x ky1，由Error! 消去 x，得( k22) y22 ky10设 A(x1， y1)， B(x2，
18、y2)，则y1 y2 ， x1 x2 k(y1 y2)2 ，2kk2 2 4k2 2线段 AB 的中点 H 的坐标为 ( 2k2 2， kk2 2) PQ AB，直线 PQ 的方程为 y k ，kk2 2 (x 2k2 2)令 y0，解得 x ，即 P 1k2 2 ( 1k2 2， 0)设 Q(x0， y0)， P， Q 关于点 H 对称， ， (y00)， 2k2 2 12(x0 1k2 2) kk2 2 12解得 x0 ， y0 ，即 Q 3k2 2 2kk2 2 ( 3k2 2， 2kk2 2)点 Q 在椭圆上， 22 22，( 3k2 2) ( 2kk2 2)13解得 k212于是 ，即 ，1k2 2 1k 42直线 m 的方程为 y x 或 y x 42 42 42 42
