1、1考点测试 7 函数的奇偶性与周期性高考概览本 考 点 是 高 考 的 必 考 知 识 点 ， 常 考 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 ， 分 值 5分 ， 中 等 难 度考纲研读1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性一、基础小题1若函数 f(x) 为奇函数，则实数 a( )x2x 1x aA B C D112 23 34答案 A解析 函数 f(x)的定义域为 xx 且 x a奇函数定义域关于原点对12称 a 故选 A122已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数，且是以 2 为周期的
2、周期函数，则 f(1) f(4) f(7)( )A1 B0 C1 D4答案 B解析 由题意知 f( x) f(x)且 f(x2) f(x)，所以 f(1) f(4) f(7) f(1) f(0) f(1)0故选 B3已知 f(x)为奇函数，在3，6上是增函数，且在3，6上的最大值为 8，最小值为1，则 2f(6) f(3)( )A15 B13 C5 D5答案 A解析 因为函数在3，6上是增函数，所以 f(6)8， f(3)1又因为函数为奇函数，所以 2f(6) f(3)2 f(6) f(3)28115故选 A4已知函数 f(x)为奇函数，当 x0 时， f(x) x2 x，则当 x0，所以 f
3、( x) x2 x，又函数 f(x)为奇函数，所以f(x) f( x) x2 x 2 ，所以当 x0 时， f(x) x2 x 2 ，最小值为 ，因为函数 f(x)为奇函数，(x12) 14 14所以当 xf(3) B f(2)f(5)C f(3)f(5) D f(3)f(6)答案 D3解析 由 y f(x4)为偶函数，得 f( x4) f(x4)，则 f(2) f(6)， f(3) f(5)，C 错误；又 f(x)在(4，)上为减函数，则 f(5)f(6)，即 f(3)f(2)，A 错误； f(5)f(2)，B 错误； f(3)f(6)，D 正确故选 D9已知函数 y f(x)是定义在 R
4、上的偶函数，且在(，0上是增函数，若不等式f(a) f(x)对任意 x1，2恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A(，1 B1，1C(，2 D2，2答案 B解析 因为函数 f(x)为偶函数，且在(，0上是增函数，所以函数 f(x)在0，)上是减函数，则不等式 f(a) f(x)对任意 x1，2恒成立等价于 f(a) f(x)max f(1)，所以| a|1，解得1 a1，即实数 a 的取值范围为1，1，故选 B10已知函数 f(x)满足 f(x y) f(x y)2 f(x)f(y)，且 f(0)0，则 f(x)( )A为奇函数 B为偶函数C为非奇非偶函数 D奇偶性不能确定答案 B解析 令
5、x y0，则 2f(0)2 f2(0)，又 f(0)0，所以 f(0)1令 x0，则 f(y) f( y)2 f(0)f(y)，即 f( y) f(y)，所以函数 f(x)是偶函数故选 B11若 f(x)( x a)(x4)为偶函数，则实数 a_答案 4解析 因为 f(x)( x a)(x4)为偶函数，所以 f(x) f( x)对于任意的 x 都成立，即( x a)(x4)( x a)( x4)，所以 x2( a4) x4 a x2(4 a)x4 a，所以a44 a，即 a412设函数 f(x) x3cosx1若 f(a)11，则 f( a)_答案 9解析 记 g(x) x3cosx，则 g(
6、x)为奇函数，故 g( a) g(a) f(a)110，故 f( a) g( a)19二、高考小题13(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1 x) f(1 x)若 f(1)2，则 f(1) f(2) f(3) f(50)( )A50 B0 C2 D50答案 C解析 因为 f(x)是定义域为(，)的奇函数，且 f(1 x) f(1 x)，所以f(1 x) f(x1)，所以 f(3 x) f(x1) f(x1)，所以 T4，因此 f(1) f(2) f(3) f(50)12 f(1) f(2) f(3) f(4) f(1) f(2)，因为 f(3) f(1)，4f(
7、4) f(2)，所以 f(1) f(2) f(3) f(4)0，因为 f(2) f(2) f(2)，所以f(2)0，从而 f(1) f(2) f(3) f(50) f(1)2，故选 C14(2017全国卷)函数 f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1 f(x2)1 的 x 的取值范围是( )A2，2 B1，1C0，4 D1，3答案 D解析 f(x)为奇函数， f( x) f(x) f(1)1， f(1) f(1)1故由1 f(x2)1，得 f(1) f(x2) f(1)又 f(x)在(，)单调递减，1 x21，1 x3故选 D15(2017天津高考)已知奇函数 f(x)在
8、 R 上是增函数， g(x) xf(x)若a g(log 251)， b g(208 )， c g(3)，则 a， b， c 的大小关系为( )A a b c B c b aC b a c D b c a答案 C解析 依题意 a g(log 251)(log 251) f(log 251)log 251 f(log251) g(log251)因为奇函数 f(x)在 R 上是增函数，可设0 x1 x2，则 0 f(0) 时， f f 则 f(6)( )12 (x 12) (x 12)A2 B1 C0 D2答案 D解析 当 x 时，由 f f ，可得当 x0 时， f(x) f(x1)，所以 f(
9、6)12 (x 12) (x 12) f(1)，而 f(1) f(1)， f(1)(1) 312，所以 f(6) f(1)2，故选 D17(2018全国卷)已知函数 f(x)ln ( x)1， f(a)4，则 f( a)1 x2_答案 2解析 f(x) f( x)ln ( x)1ln ( x)1ln (1 x2 x2)1 x2 1 x222， f(a) f( a)2， f(a)4， f( a)218(2016江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1)上，5f(x)Error! 其中 aR若 f f ，则 f(5a)的值是_(52) (92)答案 25解析 f(x
10、)是周期为 2 的函数， f f f ， f f f 又 f f ，所以(52) ( 2 12) ( 12) (92) (4 12) (12) ( 52) (92)f f ，即 a ，解得 a ，则 f(5a) f(3) f(41) f(1)(12) (12) 12 110 351 35 25三、模拟小题19(2018河南洛阳一模)已知函数 y f(x)满足 y f( x)和 y f(x2)是偶函数，且 f(1) ，设 F(x) f(x) f( x)，则 F(3)( ) 3A B C D 3 23 43答案 B解析 由 y f( x)和 y f(x2)是偶函数知 f( x) f(x)，且 f(
11、x2) f( x2)，则 f(x2) f(x2)，则 f(x) f(x4)所以 F(3) f(3) f(3)2 f(3)2 f(1)2 f(1) 故选 B2320(2018河北石家庄一模)已知奇函数 f(x)在 x0 时单调递增，且 f(1)0，若f(x1)0，则 x 的取值范围为( )A x|02 B x|x2C x|x3 D x|x1答案 A解析 奇函数 f(x)在(0，)上单调递增，且 f(1)0，函数 f(x)在(，0)上单调递增，且 f(1)0，则11 时， f(x)0； x0 即11，解得 02，故选 A21(2018湖北荆州一模)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )A
12、ye xB ytan xC y x3 x D yln 2 x2 x答案 D解析 函数 ye x不是奇函数，不满足题意；函数 ytan x 是奇函数，但在整个定义6域内不是增函数，不满足题意；函数 y x3 x 是奇函数，当 x ， 时，33 33y3 x210 且 a1)是定义域为 R 的奇函数(1)求 k 的值；(2)若 f(1) ，不等式 f(3x t) f(2 x1)0 对 x1，1恒成立，求实数56t 的最小值解 (1) f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(0)2 k110，解得 k1(2)由(1)知 f(x) ax a x，因为 f(1) ，56所以 a ，解得 a 或 a (舍
13、去)，1a 56 23 32故 f(x) x x，23 32则易知函数 y f(x)是 R 上的减函数， f(3x t) f(2 x1)0， f(3x t) f(2x1)，3 x t2 x1， t x1，即 t x1 在1，1上恒成立，则 t2，即实数 t 的最小值是 22(2018安徽合肥质检)已知函数 f(x)Error!是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间1， a2上单调递增，求实数 a 的取值范围解 (1)设 x0，所以 f( x)( x)22( x) x22 x又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)，于是 x0，且 a1)(1)求函数 f(x) g(
14、x)的定义域；(2)判断函数 f(x) g(x)的奇偶性，并予以证明；(3)求使 f(x) g(x)1 时，01，不等式无解，综上，当 a1 时，使 f(x) g(x) x m 恒成立，求实数 m 的取值12范围解 (1)函数 f(x)是奇函数， f( x) f(x)，即 log log ， ，121 ax x 1 121 axx 1 1 ax x 1 x 11 ax整理得 1 x21 a2x2， a21，解得 a1，9当 a1 时， 1，不符合题意舍去，1 axx 1 a1(2)证明：由(1)可得 f(x)log ，121 xx 1设 x1， x2(1，)，且 x1x11， x1 x20， log ，即 f(x2)f(x1)121 x2x2 1 121 x1x1 1 f(x)是(1，)上的增函数(3)依题意得 mlog x在3，4上恒成立，设 u(x)log x， x3，4，121 xx 1 12 121 xx 1 12由(2)知函数 u(x)log x在3，4上单调递增，121 xx 1 12当 x3 时， u(x)有最小值，且 u(x)min u(3) ，所以 m 故实数 m 的取值98 98范围为， 9810
