1、1考点测试 8 二次函数与幂函数高考概览高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 ， 分 值 5分 ， 中 等 难 度考纲研读1了解幂函数的概念2结合函数 y x， y x2， y x3， y x1 ， y x 的图象，了解它们的变化情况123理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、基础小题1若二次函数 y2 x2 bx c关于 y轴对称，且过点(0，3)，则函数的解析式为( )A y2 x2 x3 B y2 x23C y2 x2 x3 D y2 x23答案 B解析 由题可知函数 y f(x)为偶函数，则 b0
2、又过点(0，3)，则 c3，故解析式为 y2 x23故选 B2若幂函数 y f(x)的图象过点(4，2)，则 f(8)的值为( )A4 B C2 D12 2答案 C解析 设 f(x) x ，由条件知 f(4)2，所以 24 ， ，所以 f(x) x ， f(8)12 128 2 故选 C12 23已知函数 f(x) x22 x m，若 f(x1) f(x2)(x1 x2)，则 f 的值为( )(x1 x22 )A1 B2 C m1 D m答案 C解析 由题意知，函数的对称轴为直线 x 1，所以 f f(1)x1 x22 (x1 x22 ) m1故选 C4函数 f(x)2 x26 x(2 x2)
3、的值域是( )A20，4 B(20，4)2C20， D20，92 92答案 C解析 由函数 f(x)2 x26 x可知，该二次函数的图象开口向下，对称轴为 x ，32当2 x0时，函数 f(x)的图象在其对称轴右侧单调递增，不满足题意；当 a2 x的解集为(1，3)若方程 f(x)6 a0 有两个相等的根，则实数 a( )A B1153C1 或 D1 或15 15答案 A解析 因为 f(x)2 x0的解集为(1，3)，设 f(x)2 x a(x1)( x3)，且 a0， mZ， m1，幂函数 f(x) x4， f(2)16故选 A10已知函数 f(x) ax22 x2，若对一切 x ，2， f
4、(x)0都成立，则实数 a的取12值范围为( )A， B，12 12C4，) D(4，)答案 B解析 由题意得，对一切 x ，2， f(x)0都成立，即12a 2 2 在 x ，2 上恒成立，而2 2 ，则实数 a的取2x 2x2 2x2 2x 1x 12 12 12 1x 12 12 12值范围为 ，故选 B1211若二次函数 f(x) x24 x t图象的顶点在 x轴上，则 t_答案 4解析 由于 f(x) x24 x t( x2) 2 t4 图象的顶点在 x轴上，所以 f(2) t40，故 t412若函数 y x23 x4 的定义域为0， m，值域为 ，则实数 m的取值范254， 4围是
5、_4答案 32， 3解析 因为 y x23 x4 2 ，且 f(0)4，值域为 ，所以(x32) 254 254， 40， m，即 m 又 f(m)4，则 0 m3，所以 m332 32 32二、高考小题13(2016全国卷)已知 a2 ， b4 ， c25 ，则( )43 25 13A bac B abcC bca D cab答案 A解析 因为 a2 4 ， c25 5 ，函数 y x 在(0，)上单调递增，所以 4 543 23 13 23 23 23，即 ac，又因为函数 y4 x在 R上单调递增，所以 4 4 ，即 ba，所以 bac故选23 25 23A14(2017浙江高考)若函数
6、 f(x) x2 ax b在区间0，1上的最大值是 M，最小值是 m，则 M m( )A与 a有关，且与 b有关 B与 a有关，但与 b无关C与 a无关，且与 b无关 D与 a无关，但与 b有关答案 B解析 解法一：设 x1， x2分别是函数 f(x)在0，1上的最小值点与最大值点，则m x ax1 b， M x ax2 b M m x x a(x2 x1)，显然此值与 a有关，与 b21 2 2 21无关故选 B解法二：由题意可知，函数 f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定随着 b的变动，相当于图象上下移动，若 b增大 k个单位，则最大值与最小值分别变为 M k， m k，
7、而( M k)( m k) M m，故与 b无关随着 a的变动，相当于图象左右移动，则 M m的值在变化，故与 a有关故选 B15(2016浙江高考)已知函数 f(x) x2 bx，则“ b0”是“ ff(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 记 g(x) ff(x)( x2 bx)2 b(x2 bx) 2 (x2 bxb2) b2452 (xb2)2 b24 b2 b24当 b0时， 0，即当 2 0 时， g(x)有最小值，且 g(x)b24 b2 (x b2) b24 b2min ，又 f(x)
8、2 ，所以 ff(x)的最小值与 f(x)的最小值相等，都为b24 (x b2) b24 ，故充分性成立另一方面，当 b0 时， ff(x)的最小值为 0，也与 f(x)的最小值b24相等故必要性不成立故选 A16(2015陕西高考)对二次函数 f(x) ax2 bx c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A1 是 f(x)的零点B1 是 f(x)的极值点C3 是 f(x)的极值D点(2，8)在曲线 y f(x)上答案 A解析 由已知得， f( x)2 ax b，则 f(x)只有一个极值点，若 A，B 正确，则有Error!解得 b 2
9、a， c3 a，则 f(x) ax22 ax3 a由于 a为非零整数，所以 f(1)4 a3，则 C错误而 f(2)3 a8，则 D也错误，与题意不符，故 A，B 中有一个错误，C，D 都正确若 A，C，D 正确，则有Error!由得Error!代入中并整理得 9a24 a 0，649又 a为非零整数，则 9a24 a为整数，故方程 9a24 a 0 无整数解，故 A错误649若 B，C，D 正确，则有Error!解得 a5， b10， c8，则 f(x)5 x210 x8，此时 f(1)230，符合题意故选 A17(2017北京高考)已知 x0， y0，且 x y1，则 x2 y2的取值范围
10、是_答案 12， 1解析 由 x y1，得 y1 x解 法 一 ：又 x0， y0，所以 0 x1， x2 y2 x2(1 x)22 x22 x12 2 (x12) 126由 0 x1，得 0 2 ，(x12) 14所以 x2 y21，即 x2 y2 12 12， 1x2 y2( x y)22 xy，解 法 二 ：已知 x0， y0， x y1，所以 x2 y212 xy因为 1 x y2 ，所以 0 xy ，xy14所以 12 xy1，12即 x2 y2 12， 1依题意， x2 y2可视为原点到线段 x y10( x0， y0)上的点的距离的解 法 三 ：平方，如图所示，故( x2 y2)
11、min 2 ，( x2 y2)max| OA|2| OB|21，故 x2 y2(| 1|2 ) 1212， 118(2018上海高考)已知 2，1， ，1，2，3若幂函数 f(x) x 为121奇函数，且在(0，)上递减，则 _答案 1解析 幂函数 f(x) x 为奇函数， 可取1，1，3，又 f(x) x 在(0，)上递减， 0，故 1三、模拟小题19(2018湖北黄冈中学质检)幂函数 y x1 ， y xm与 y xn在第一象限内的图象如图所示，则 m与 n的取值情况为( )A1 m0n1B1 n0m7C1 m0nD1 n0m1答案 D解析 在第一象限作出幂函数 y x， y x0的图象，
12、在(0，1)内作直线 x x0与各图象有交点，如图，由“点低指数大” ，知1 n0m1，故选 D20(2018河南安阳模拟)已知函数 f(x) x24 x a， x0，1，若 f(x)有最小值2，则 f(x)的最大值为( )A1 B0 C1 D2答案 A解析 f(x) x24 x a( x2) 2 a4，函数 f(x) x24 x a在0，1上单调递增，当 x0 时， f(x)取得最小值，当 x1 时， f(x)取得最大值， f(0) a2， f(1)3 a321，故选 A21(2018湖北荆州模拟)二次函数 f(x)满足 f(x2) f( x2)，又 f(0)3， f(2)1，若在0， m上
13、有最大值 3，最小值 1，则 m的取值范围是( )A(0，) B2，)C(0，2 D2，4答案 D解析 二次函数 f(x)满足 f(2 x) f(2 x)，其图象的对称轴是 x2，又 f(0)3， f(4)3，又 f(2)f(0)， f(x)的图象开口向上， f(0)3， f(2)1， f(4)3， f(x)在0， m上的最大值为 3，最小值为 1，由二次函数的性质知 2 m4故选D22(2018河南洛阳二模)已知点 a， 在幂函数 f(x)( a1) xb的图象上，则函数12f(x)是( )A奇函数 B偶函数C定义域内的减函数 D定义域内的增函数答案 A解析 点 a， 在幂函数 f(x)(
14、a1) xb的图象上， a11，解得 a2，则 2b12， b1， f(x) x1 ，函数 f(x)是定义域(，0)(0，)上的奇函数，且128在每一个区间内是减函数故选 A23(2018河南南阳模拟)设函数 f(x) mx2 mx1，若对于 x1，3， f(x) m4 恒成立，则实数 m的取值范围为( )A(，0 B0，57C(，0)0， D，57 57答案 D解析 由题意， f(x) m4 对于 x1，3恒成立，即 m(x2 x1)5 对于x1，3恒成立当 x1，3时， x2 x11，7，不等式 f(x) m4 等价于m 当 x3 时， 取最小值 ，若要不等式 m 对于 x1，3恒5x2
15、x 1 5x2 x 1 57 5x2 x 1成立，则必须满足 m ，因此，实数 m的取值范围为，故选 D57 5724(2018湖北武汉模拟)幂函数 y x ，当 取不同的正数时，在区间0，1上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点 A(1，0)， B(0，1)，连接 AB，线段 AB恰好被其中的两个幂函数 y xa， y xb的图象三等分，即有 BM MN NA，那么 a ( )1bA0 B1 C D212答案 A解析 BM MN NA，点 A(1，0)， B(0，1)，所以 M ， N ，分别代入1323 2313y xa， y xb，得alog ， blog ， a log 0故选 A
16、1323 2313 1b 1323 1log2313一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型9二、模拟大题1(2018湖南祁阳二模)已知幂函数 f(x)( m1) 2xm24 m2 在(0，)上单调递增，函数 g(x)2 x k(1)求 m的值；(2)当 x1，2)时，记 f(x)， g(x)的值域分别为集合 A， B，设 p： x A， q： x B，若 p是 q成立的必要条件，求实数 k的取值范围解 (1)依题意得，( m1) 21 m0 或 m2，当 m2 时， f(x) x2 在(0，)上单调递减，与题设矛盾，舍去， m0(2)由(1)得， f(x) x2，当 x1，2)时， f(
17、x)1，4)，即 A1，4)，当 x1，2)时， g(x)2 k，4 k)，即 B2 k，4 k)，因 p是 q成立的必要条件，则 BA，则Error! 即Error!得 0 k12(2018河北邯郸一中月考)已知函数 f(x) x24 ax2 a6， xR(1)若函数的值域为0，)，求 a的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数 f(a)2 a|a3|的值域解 f(x) x24 ax2 a6( x2 a)22 a64 a2(1)函数值域为0，)，2 a64 a20解得 a1 或 a 32(2)函数值域为非负数集，2 a64 a20，即 2a2 a30，解得1 a 32 f(a)2 a|a3
18、|2 a(a3) 2 ，(a32) 174 f(a)在 上单调递减， 1，32 f(a)4，194即 f(a)的值域为 194， 43(2018河南信阳一中月考)已知函数 f(log2x) x22 x(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若方程 f(x) a2x4 在区间(0，2)内有两个不相等的实根，求实数 a的取值范围10解 (1)设 tlog 2x， tR，则 x2 t，f(t)2 2t22 t4 t2 t1 f(x)4 x2 x1 (2)方程 f(x) a2x4 在区间(0，2)内有两个不相等的实根，4 x(2 a)2x40 在(0，2)有两个不相等实根令 2x m，则 m(1，4)，
19、 h(m) m2(2 a)m4， h(m)0 在(1，4)上有两个不相等的实根，Error! 解得 6a74(2018河北正定中学质检)已知二次函数 f(x) x22 bx c(b， cR)(1)若 f(x)0 的解集为 x|1 x1，求实数 b， c的值；(2)若 f(x)满足 f(1)0，且关于 x的方程 f(x) x b0 的两个实数根分别在区间(3，2)，(0，1)内，求实数 b的取值范围解 (1)设 x1， x2是方程 f(x)0 的两个根由韦达定理，得Error!由条件知 x1， x2就是1，1，即Error!所以 b0， c1(2)由题知， f(1)12 b c0，所以 c12 b记 g(x) f(x) x b x2(2 b1) x b c x2(2 b1) x b1，由 g(x)的图象，得Error!解得 b 故 b的取值范围为 ，15 57 155711
