1、1考点测试 39 数学归纳法高考概览高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 解 答 题 ， 分 值 12分 ， 中 等 以 上 难 度考纲研读1了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题一、基础小题1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验第一个值12n0等于( )A1 B2 C3 D0答案 C解析 边数最少的凸 n 边形是三角形2用数学归纳法证明“1 a a2 an ， a1， nN *”，在验证 n1 时，1 an 11 a左边是( )A1 B1 aC1 a a2 D1 a a2 a3答案 B解析 当 n1 时，代入原式有左边1 a故选
2、 B3对于不等式 n1( nN *)，某学生的证明过程如下：n2 n当 n1 时， 11，不等式成立12 1假设 n k(kN *)时，不等式成立，即 k1，则 n k1 时，k2 k (nN *)成立，其初始值至少应取( )12 14 12n 112764A7 B8 C9 D10答案 B解析 左边1 2 ，代入验证可知 n 的最小值是12 14 12n 11 12n1 12 12n 18故选 B7下列代数式(其中 kN *)能被 9 整除的是( )A667 k B27 k1C2(27 k1 ) D3(27 k)答案 D解析 当 k1 时，显然只有 3(27 k)能被 9 整除假设当 k n(
3、nN *)时，命题成立，即 3(27 n)能被 9 整除，那么 3(27 n1 )21(27 n)36，这就是说， k n1 时命题也成立由可知，命题对任何 kN *都成立故选 D38设 f(n) ， nN ，那么 f(n1) f(n)( )1n 1 1n 2 1n nA B12n 1 12n 2C D 12n 1 12n 2 12n 1 12n 2答案 D解析 f(n1) f(n) 1n 1 1 1n 1 2 1n 1 n 1n 1 n 1 1n 1 1n 2 1n n 12n 1 12n 2 1n 1 12n 1 12n 29用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时， xn yn能被 x y
4、整除”的第二步是( )A假使 n2 k1 时正确，再推 n2 k3 正确( kN *)B假使 n2 k1 时正确，再推 n2 k1 正确( kN *)C假使 n k 时正确，再推 n k1 正确( kN *)D假使 n k(k1)时正确，再推 n k2 时正确( kN *)答案 B解析 因为 n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第 k 个正奇数也成立，本题即假设 n2 k1 正确，再推第 k1 个正奇数，即 n2 k1 正确10已知 12333 243 3 n3n1 3 n(na b) c 对一切 nN *都成立，则 a， b， c 的值为( )A a ， b c B a b
5、 c12 14 14C a0， b c D不存在这样的 a， b， c14答案 A解析 等式对一切 nN *均成立， n1，2，3 时等式成立，即Error!整理得Error!解得 a ， b c 12 1411在数列 an中， a1 且 Sn n(2n1) an，通过计算 a2， a3， a4，猜想 an的表达式13是_答案 an12n 12n 1解析 因为 Sn n(2n1) an，当 n2，3，4 时，得出 a2 ， a3 ， a4 115 135 1634a1 ， a2 ， a3 ，13 113 115 135 135 157a4 163 179 an 12n 12n 112已知 f(
6、n)1 (nN *)，用数学归纳法证明 f(2n) 时， f(2k1 )12 13 1n n2 f(2k)_答案 12k 1 12k 2 12k 1解析 f(2k1 )1 ， f(2k)12 13 12k 12k 1 12k 2 12k 11 ，12 13 12k f(2k1 ) f(2k) 12k 1 12k 2 12k 1二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型三、模拟小题13(2018山东淄博质检)设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：当 f(k) k1 成立时，总能推出 f(k1) k2 成立，那么下列命题总成立的是( )A若 f(1)0当 n1 时， x110假
7、设 n k 时， xk0，那么 n k1 时，若 xk1 0，则 00因此 xn0(nN *)所以 xn xn1 ln (1 xn1 )xn1 因此 00(x0)，2x2 xx 1函数 f(x)在0，)上单调递增，所以 f(x) f(0)0，因此 x 2 xn1 ( xn1 2)ln (1 xn1 )2n 1 f(xn1 )0，故 2xn1 xn (nN *)xnxn 12(3)因为 xn xn1 ln (1 xn1 ) xn1 xn1 2 xn1 ，所以 xn 12n 1由 2 xn1 xn得 2 0，xnxn 12 1xn 1 12 (1xn 12)所以 2 2 n1 2 n2 ，1xn
8、12 ( 1xn 1 12) (1x1 12)故 xn 12n 2综上， xn (nN *)12n 1 12n 22(2015江苏高考)已知集合 X1，2，3， Yn1，2，3， n(nN *)，设Sn( a， b)|a 整除 b 或 b 整除 a， a X， b Yn令 f(n)表示集合 Sn所含元素的个数6(1)写出 f(6)的值；(2)当 n6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明解 (1) f(6)13(2)当 n6 时，f(n)Error! (tN *)下面用数学归纳法证明：当 n6 时， f(6)62 13，结论成立；62 63假设 n k(k6)时结论成立，那么 n k
9、1 时， Sk1 在 Sk的基础上新增加的元素在(1， k1)，(2， k1)，(3， k1)中产生，分以下情形讨论：a若 k16 t，则 k6( t1)5，此时有f(k1) f(k)3 k2 3k 12 k 23( k1)2 ，结论成立；k 12 k 13b若 k16 t1，则 k6 t，此时有f(k1) f(k)1 k2 1( k1)2 ，结论成立；k2 k3 k 1 12 k 1 13c若 k16 t2，则 k6 t1，此时有f(k1) f(k)2 k2 2k 12 k 13( k1)2 ，结论成立；k 12 k 1 23d若 k16 t3，则 k6 t2，此时有f(k1) f(k)2
10、k2 2k2 k 23( k1)2 ，结论成立；k 1 12 k 13e若 k16 t4，则 k6 t3，此时有f(k1) f(k)2 k2 2k 12 k3( k1)2 ，结论成立；k 12 k 1 13f若 k16 t5，则 k6 t4，此时有f(k1) f(k)1 k2 1k2 k 137( k1)2 ，结论成立k 1 12 k 1 23综上所述，结论对满足 n6 的自然数 n 均成立二、模拟大题3(2018常德月考)设 a0， f(x) ，令 a11， an1 f(an)， nN *axa x(1)写出 a2， a3， a4的值，并猜想数列 an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结
11、论解 (1) a11， a2 f(a1) f(1) ；a1 aa3 f(a2) ；aa1 aa a1 a a2 aa4 f(a3) aa2 aa a2 a a3 a猜想 an (nN *)an 1 a(2)证明：易知， n1 时，猜想正确假设 n k(kN *)时猜想正确，即 ak ，ak 1 a则 ak1 f(ak) aaka aka ak 1 aa ak 1 a ak 1 a 1 ak 1 1 a这说明， n k1 时猜想正确由知，对于任何 nN *，都有 an an 1 a4(2018福建三明月考)已知 xi0(i1，2，3， n)，我们知道( x1 x2) 4 成立1x1 1x2(1)
12、求证：( x1 x2 x3) 9；1x1 1x2 1x3(2)同理我们也可以证明出( x1 x2 x3 x4) 16由上述几个不等式，1x1 1x2 1x3 1x48请你猜测一个与 x1 x2 xn和 (n2， nN *)有关的不等式，并用数学1x1 1x2 1xn归纳法证明解 (1)证法一：( x1 x2 x3) 1x1 1x2 1x33 3 93x1x2x331x11x21x3证法二：( x1 x2 x3) 1x1 1x2 1x33 x2x1 x1x2 x3x1 x1x3 x3x2 x2x332229(2)猜想( x1 x2 xn) ，1x1 1x2 1xn n2(n2， nN *)证明如下：当 n2 时，由已知得猜想成立假设当 n k 时，猜想成立，即(x1 x2 xk) k2，1x1 1x2 1xk则当 n k1 时，(x1 x2 xk xk1 ) 1x1 1x2 1xk 1xk 1( x1 x2 xk) 1x1 1x2 1xk( x1 x2 xk)1xk 1 xk1 11x1 1x2 1xk k2( x1 x2 xk)1xk 1 xk1 11x1 1x2 1xk k2 x1xk 1 xk 1x1 x2xk 1 xk 1x2 1 k222 1xkxk 1 xk 1xk 2 k个 2 k22 k1( k1) 2，所以当 n k1 时原式成立9结合可知，猜想成立
