1、1第八章 概率与统计考点测试 51 随机事件的概率高考概览高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 ， 分 值 为 5分 ， 低 等 难 度考纲研读1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率加法公式一、基础小题1从一批产品(其中正品、次品都多于 2 件)中任取 2 件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )恰好有 1 件次品和恰好有两件次品；至少有 1 件次品和全是次品；至少有 1 件正品和至少有 1 件次品；至少 1 件次品和全是正品A B C D答案 D解析 根据互斥事件概念可知选 D
2、2下列说法：频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；做 n 次随机试验，事件 A 发生 m 次，则事件 A 发生的频率 就是事件 A 发生的概率；mn百分率是频率，但不是概率；频率是不能脱离 n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值其中正确的是( )A BC D答案 B解析 由概率的相关定义知正确故选 B3从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A抽到一等品，事件 B抽到二等品，事件 C抽到三等品，且已知 P(A)065， P(B)02， P(C)01，则事件“抽到的2不是一等品”的概率为( )A07 B065 C0
3、35 D03答案 C解析 事件“抽到的不是一等品”与事件 A 是对立事件，由于 P(A)065，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为 P1 P(A)1065035选 C4甲、乙两位同学在国际象棋比赛中，和棋的概率为 ，乙同学获胜的概率为 ，则甲12 13同学不输的概率是( )A B C D12 13 16 23答案 D解析 因为乙获胜的概率为 ，所以甲不输的概率为 1 故选 D13 13 235正三棱锥 A BCD 的所有棱长均相等，从此三棱锥 6 条棱的中点中任意选 3 个点连成三角形，再把剩下的 3 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于( )A0 B C D
4、113 12答案 D解析 从三棱锥 6 条棱的中点中任意选 3 个点能组成两类三角形：一类是等边三角形，另一类是等腰三角形若任意选 3 个点连成等边三角形，则剩下的 3 个点也是等边三角形，且它们全等；若任意选 3 个点连成等腰三角形，则剩下的 3 个点也是等腰三角形，且它们全等这是必然事件，其概率为 1故选 D6设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件” ，结论乙：“概率满足 P(A) P(B)1” ，则甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 A B 为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)
5、P(B)1，充分性成立设掷一枚硬币 3 次，事件 A：“至少出现一次正面” ，事件B：“3 次出现正面” ，则 P(A) ， P(B) ，满足 P(A) P(B)1，但 A， B 不是对立事件，78 18必要性不成立故甲是乙的充分不必要条件7一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字 1，2，3，4，5，6将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示“向上的一面出现奇数” ，事件 B 表示“向上的一面出现的数字不超过 3”，事件 C 表示“向上的一面出现的数字不小于 4”，则( )3A A 与 B 是互斥而非对立事件B A 与 B 是对立事件C B 与 C 是互斥而非对立事件D B 与 C 是
6、对立事件答案 D解析 A B出现数字 1 或 3，事件 A， B 不互斥更不对立；B C ， B C ( 为必然事件)，故事件 B， C 是对立事件故选 D8对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A两次都击中飞机， B两次都没击中飞机， C恰有一次击中飞机， D至少有一次击中飞机，其中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是_答案 A 与 B， A 与 C， B 与 C， B 与 D B 与 D解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A B ， A C ， B C ， B D ，故 A 与 B， A 与 C， B 与 C， B 与 D 为互斥事件而 B D ， B D I，故
7、B 与 D 互为对立事件二、高考小题9(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 045，既用现金支付也用非现金支付的概率为 015，则不用现金支付的概率为( )A03 B04 C06 D07答案 B解析 设事件 A 为只用现金支付，事件 B 为只用非现金支付，事件 C 为既用现金支付也用非现金支付，则 P(A) P(B) P(C)1，因为 P(A)045， P(C)015，所以 P(B)04故选 B10(2018上海高考)有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是_(结果用最简分数表示
8、)答案 15解析 记 5 克、3 克、1 克砝码分别为 5，3，1，两个 2 克砝码分别为 2a，2 b，则从这五个砝码中随机选取三个，有以下选法：(5，3，1)，(5，3，2 a)，(5，3，2 b)，(5，1，2 a)，(5，1，2 b)，(5，2 a，2 b)，(3，1，2 a)，(3，1，2 b)，(3，2 a，2 b)，(1，2 a，2 b)，共 10 种，其中满足三个砝码的总质量为 9 克的有(5，3，1)，(5，2 a，2 b)，共 2 种，故所求概率 P 210 1511(2015江苏高考)袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球从中一次随机
9、摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为_4答案 56解析 记两只黄球为黄 A 与黄 B，从而所有的摸球结果为：(白、红)，(红、黄 A)，(红、黄 B)，(白、黄 A)，(白、黄 B)，(黄 A、黄 B)，共 6 种情况，其中颜色不同的有 5种情况，则所求概率 P 5612(2016四川高考)从 2，3，8，9 中任取两个不同的数字，分别记为 a， b，则logab 为整数的概率是_答案 16解析 所有的基本事件有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共 12 个，记“log ab
10、 为整数”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件有(2，8)，(3，9)，共 2 个， P(A) 212 16三、模拟小题13(2019福建泉州模拟)从含有质地均匀且大小相同的 2 个红球、 n 个白球的口袋中随机取出一球，若取到红球的概率是 ，则取得白球的概率等于( )25A B C D15 25 35 45答案 C解析 取得红球与取得白球为对立事件，取得白球的概率 P1 故选 C25 3514(2018河南新乡二模)已知随机事件 A， B 发生的概率满足条件 P(A B) ，某34人猜测事件 发生，则此人猜测正确的概率为( )A BA1 B C D012 14答案 C解析 事件 与事件 A
11、 B 是对立事件，事件 发生的概率为 P( )A B A B A B1 P(A B)1 ，则此人猜测正确的概率为 故选 C34 14 1415(2018湖南郴州第二次教学质量监测)甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是( )A1 B C D16 12 13答案 D解析 甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙5甲乙、丙乙甲，共 6 种，其中甲排在左边的站法为 2 种，甲排在左边的概率是 故26 13选 D16(2018福建漳州二模)甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加“论语知识大赛” ，决出第 1 名到第 5 名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“
12、虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名” ；对乙说“你当然不会是最差的” 从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )A B C D15 13 14 16答案 B解析 甲和乙都不可能是第一名，第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，这三个人获得第一名是等概率事件，丙是第一名的概率是 故选 B1317(2018云南昆明质检)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为 ，乙夺得冠军的概率为 ，那么中国队夺得女子乒乓球单37 14打冠军的概率为_答案 1928解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙
13、夺得冠军” ，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 37 14 1928一、高考大题1(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频
14、数分布表：最高气温 10，15) 15，20) 20，25) 25，30) 30，35) 35，40)6天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 06，所以这种酸奶一天的需求量不超过2 16 3690300 瓶的概率的估计
15、值为 06(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y64504450900；若最高气温位于区间20，25)，则 Y63002(450300)4450300；若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450100，所以， Y 的所有可能值为 900，300，100Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为08，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0836 25 7 4902(2016全国卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上
16、年度出险次数 0 1 2 3 4 5保费 085 a a 125 a 15 a 175 a 2a随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数 0 1 2 3 4 5频数 60 50 30 30 20 10(1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费” 求 P(A)的估计值；(2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”求 P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值7解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2由所给数据知一年内出险次数小于 2 的频率为 055，故 P(A)的估计值为6
17、0 50200055(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4由所给数据知一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为 03，故 P(B)的估计值为 0330 30200(3)由所给数据得保费 085 a a 125 a 15 a 175 a 2a频率 030 025 015 015 010 005调查的 200 名续保人的平均保费为085 a030 a025125 a01515 a015175 a0102 a00511925 a因此，续保人本年度平均保费的估计值为 11925 a二、模拟大题3(2018河南洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
18、排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上概率 01 016 03 03 01 004求：(1)至多 2 人排队等候的概率是多少？(2)至少 3 人排队等候的概率是多少？解 记“无人排队等候”为事件 A， “1 人排队等候”为事件 B， “2 人排队等候”为事件 C， “3 人排队等候”为事件 D， “4 人排队等候”为事件 E， “5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A， B， C， D， E， F 互斥(1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 G A B C，所以 P(G) P(A) P(B) P(C)0101603056(2)解法一：记“至少 3 人排队等候”
19、为事件 H，则 H D E F，所以 P(H) P(D) P(E) P(F)0301004044解法二：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H)1 P(G)04484(2018山西太原一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过 1 kg 的包裹收费 10 元；质量超过 1 kg 的包裹，除 1 kg 收费 10 元之外，超过 1 kg 的部分，每 1 kg(不足 1 kg，按 1 kg 计算)需再收 5 元该公司对近 60 天，每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数(近似处理) 50 15
20、0 250 350 450天数 6 6 30 12 6(1)某人打算将 A(03 kg)， B(18 kg)， C(15 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过 30 元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取 5 元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用前台工作人员每人每天揽件不超过 150 件，工资 100 元，目前前台有工作人员 3 人，那么公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润是否更有利？解 (1)由题意，寄出方式有以下三种可能：所有 3 种可能中，有 1 种可能快递费未超过 30 元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为 13(2)由
21、题目中的天数得出频率，如下：包裹件数范围01001012002013003014004015009包裹件数(近似处理) 50 150 250 350 450天数 6 6 30 12 6频率 01 01 05 02 01若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数(近似处理) 50 150 250 350 450实际揽件数 50 150 250 350 450频率 01 01 05 02 01平均揽件数500115001250053500245001260故公司每日利润为 260531001000(元)；若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司每日揽
22、件数情况如下：包裹件数(近似处理) 50 150 250 350 450实际揽件数 50 150 250 300 300频率 01 01 05 02 01平均揽件数500115001250053000230001235故公司平均每日利润为 23552100975(元)综上，公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利5(2018河北石家庄质检)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 6 座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为 a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下
23、表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素 浮动比率A1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 10%A2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 20%10A3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 30%A4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0%A5 上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 上浮 10%A6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 30%某机构为了研究某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 60 辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 A1 A2 A3 A4
24、A5 A6数量 10 5 5 20 15 5(1)求一辆普通 6 座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车假设购进一辆事故车亏损 5000 元，一辆非事故车盈利 10000 元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：若该销售商店内有六辆(车龄已满三年)该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率；若该销售商一次购进 120 辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值解 (1)一辆普通 6 座以下私家车第四年续保时保费高于基
25、本保费的频率为 15 560 13(2)由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车，设为 b1， b2，四辆非事故车设为 a1， a2， a3， a4从六辆车中随机挑选两辆车共有(b1， b2)，( b1， a1)，( b1， a2)，( b1， a3)，( b1， a4)，( b2， a1)，( b2， a2)，( b2， a3)，(b2， a4)，( a1， a2)，( a1， a3)，( a1， a4)，( a2， a3)，( a2， a4)，( a3， a4)，总共 15 种情况其中两辆车恰好有一辆事故车共有( b1， a1)，( b1， a2)，( b1， a3)，( b1， a4)，( b2， a1)，(b2， a2)，( b2， a3)，( b2， a4)，总共 8 种情况所以该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率为 815由统计数据可知，该销售商一次购进 120 辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40 辆，非事故车 80 辆，所以一辆车盈利的平均值为 (5000)40100008011205000 元11
