1、1考点测试 52 古典概型高考概览高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 ， 分 值 为 5分 ， 中 等 难 度考纲研读1理解古典概型及其概率计算公式2会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率一、基础小题1某银行储蓄卡上的密码是一个 6 位数号码，每位上的数字可以在 09 这 10 个数字中选取某人未记住密码的最后一位数字，如果随意按密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是( )A B C D1106 1105 1102 110答案 D解析 只考虑最后一位数字即可，从 0 到 9 这 10 个数字中随机选一个的概率为 1102一只蚂蚁在如图所
2、示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为( )A B12 13C D38 58答案 B解析 该树枝的树梢有 6 处，有 2 处能找到食物，所以获得食物的概率为 26 133天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率可利用计算机产生 0 到 9 之间的整数值的随机数，如果我们用 1，2，3，4 表示下雨，用 5，6，7，8，9，0 表示不下雨，顺次产生的随机数如下：2907 966 191 925 271 932 812 458 569 683631 257 393 027 556 488
3、 730 113 137 989则这三天中恰有两天下雨的概率约为( )A B C D1320 720 920 1120答案 B解析 由题意知这 20 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191，271，932，812，631，393，137，共 7 组随机数，所求概率为 7204给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个给甲打电话的概率是( )A B C D16 13 12 23答案 B解析 给三人打电话的不同顺序有 6 种可能，其中第一个给甲打电话的可能有 2 种，故所求概率为 P 26 135小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M， I， N 中的一个
4、字母，第二位是 1，2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A B C D815 18 115 130答案 C解析 ( M，1)，( M，2)，( M，3)，( M，4)，( M，5)，( I，1)，( I，2)，( I，3)，(I，4)，( I，5)，( N，1)，( N，2)，( N，3)，( N，4)，( N，5)，事件总数有 15 种正确的开机密码只有 1 种， P 故选 C1156某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )A一定不会淋雨
5、B淋雨机会为34C淋雨机会为 D淋雨机会为12 14答案 D解析 用 A， B 分别表示下雨和不下雨，用 a， b 表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为( A， a)，( A， b)，( B， a)，( B， b)，则当( A， b)发生时就会被雨淋到，淋雨的概3率为 P 故选 D147某汽车站每天上午均有 3 辆开往 A 景点的分上、中、下等级的客车某天王先生准备在该汽车站乘车去 A 景点，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为( )A B C D16 13 12 23
6、答案 C解析 共有 6 种发车顺序：上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、中、上；下、上、中(其中画线的表示王先生所乘的车)，所以他乘上上等车的概率为 ，故选 C36 128一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为 27 个同样大小的小正方体，从中任取一个，它恰有一个面涂有红色的概率是_答案 29解析 研究涂红后的正方体的六个面，发现每个面中仅最中间那块只有一个面涂有红色，故所求概率为 627 29二、高考小题9(2018全国卷)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的2 人都是女同学的概率为( )A06 B05 C04 D03答案 D解析 设 2 名男
7、同学为 A1， A2， 3 名女同学为 B1， B2， B3，从以上 5 名同学中任选 2 人总共有 A1A2， A1B1， A1B2， A1B3， A2B1， A2B2， A2B3， B1B2， B1B3， B2B3共 10 种可能，选中的2 人都是女同学的情况共有 B1B2， B1B3， B2B3共三种可能，则选中的 2 人都是女同学的概率为 P 03故选 D31010(2017天津高考)有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A B C D45 35 25 15答案 C4解
8、析 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，其中取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，所以所求概率 P 故选 C410 2511(2017全国卷)从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A B C D110 15 310 25答案 D解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的基本事件总数为5525，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为
9、 10，所求概率P 故选 D1025 2512(2016江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是_答案 56解析 先后抛掷 2 次骰子，所有可能出现的情况共 36 个，其中点数之和不小于 10 的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共 6 个，从而点数之和小于 10 的有 30 个，故所求概率 P 3036 56三、模拟小题13(2018广东茂名第一次综合测试)在 1，2，3，6 这组数据中随机取出三个数，则数字 2 是这三个不同数字的平均数的概
10、率是( )A B C D14 13 12 34答案 A解析 在 1，2，3，6 中随机取出三个数，所有的可能结果为(1，2，3)，(1，2，6)，(1，3，6)，(2，3，6)，共 4 种，其中数字 2 是这三个不同数字的平均数的结果有(1，2，3)，共 1 种由古典概型概率公式可得所求概率为 P 故选 A1414(2018山东济南二模)某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中有编号为 1，2，3，4，5 的五个形状、大小完全相同的小球，从中任取两球，若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖；否则不中奖，则中奖的概率为( )A B C D110 15 310 255答案 C解析 由题得试验的所有
11、基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共 10 个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事件有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共 3 个，由古典概型的概率公式得 P 故选 C31015(2018石家庄重点高中摸底考试)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为 x， y， z，当且仅当 yx， yz 时，称这样的数为“凸数”(如 243)，现从集合1，2，3，4中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )A B C D23 13 16 112答案 B解析 从集合1，2，3，
12、4中取出三个不相同的数组成一个三位数共有 24 个结果：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，其中是“凸数”的是132，142，143，231，241，243，341，342，共 8 个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为 故选 B824 1316(2018山西孝义一模)从装有大小材质完全相同的 3 个红球和 3 个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是( )A B C D23 12 25 13答案 C解析 记 3 个
13、红球分别为 a， b， c，3 个黑球分别为 x， y， z，则随机取出两个小球共有 15 种可能： ab， ac， ax， ay， az， bc， bx， by， bz， cx， cy， cz， xy， xz， yz，其中两个小球同色共有 6 种可能， ab， ac， bc， xy， xz， yz，根据古典概型概率公式可得所求概率为 ，故选 C615 2517(2018江西南昌二模)在周易中，长横“_”表示阳爻，两个短横“_”表示阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有 238 种组合方法，这便是系辞传所说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦” ，有放回地取阳爻和阴爻一次有 2 种不同
14、的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是( )A B C D18 14 38 12答案 C解析 由题意知，所有可能出现的情况有：(阳，阳，阴)，(阳，阴，阳)，(阴，阳，6阳)，(阴，阴，阳)，(阴，阳，阴)，(阳，阴，阴)，(阳，阳，阳)，(阴，阴，阴)，共 8种，恰好出现两个阳爻、一个阴爻的情况有 3 种，利用古典概型的概率计算公式，可得所求概率为 故选 C3818(2018广东深圳一调)两名同学分 3 本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得 3 本书的概率为( )A B C D1
15、2 14 13 16答案 B解析 记三本不同的书为 a， b， c，两人分书的基本结果用( x， y)表示，有(0， abc)，(a， bc)，( b， ac)，( c， ab)，( ab， c)，( ac， b)，( bc， a)，( abc，0)，共 8 种情况，其中一人没有分到书，另一人分得 3 本书有两种情况，所以一人没有分到书，另一人分得 3本书的概率为 ，故选 B28 14一、高考大题1(2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分
16、别抽取多少人？(2)设抽出的 7 名同学分别用 A， B， C， D， E， F， G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概率解 (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3 人，2 人，2 人(2)从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 A， B， A， C，A， D， A， E， A， F， A， G， B， C， B， D， B，
17、E， B， F， B， G， C， D，C， E， C， F， C， G， D， E， D， F， D， G， E， F， E， G， F， G，共 21种由(1)，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A， B， C，来自乙年级的是D， E，来自丙年级的是 F， G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为 A， B， A， C， B， C， D， E， F， G，共 5 种所以事件 M 发生的7概率 P(M) 5212(2017山东高考)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1， A2， A3和 3 个欧洲国家B1， B2， B3中选择 2 个国家去
18、旅游(1)若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1但不包括 B1的概率解 (1)由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1， A2， A1， A3， A2， A3， A1， B1， A1， B2， A1， B3， A2， B1， A2， B2，A2， B3， A3， B1， A3， B2， A3， B3， B1， B2， B1， B3， B2， B3，共 15 个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有： A1， A2， A1， A3， A2，
19、A3，共 3 个则所求事件的概率为 P 315 15(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1， B1， A1， B2， A1， B3， A2， B1， A2， B2， A2， B3， A3， B1， A3， B2，A3， B3，共 9 个包括 A1但不包括 B1的事件所包含的基本事件有： A1， B2， A1， B3，共 2 个，则所求事件的概率为 P 293(2016山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为 x， y奖励规则如
20、下：若 xy3，则奖励玩具一个；若 xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由8解 用数对( x， y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 与点集S( x， y)|xN， yN，1 x4，1 y4一一对应因为 S 中元素的个数是 4416，所以基本事件总数 n16(1)记“ xy3”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件数共 5 个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)所以 P(A) ，即小亮获得玩具的概率为 516 5
21、16(2)记“ xy8”为事件 B， “3 ，38516所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率二、模拟大题4(2018安徽合肥第二次教学质量检测)某班级甲、乙两个小组各有 10 位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的成绩如下：甲组：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98；乙组：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82(1)画出这两个小组同学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的成绩差异较大，并说明理由；(2)从这两个小组成绩在 90 分以上的同学中，随机选取 2 人在全班介绍学习经验，求选出的 2 位同学不在同一个小组的概率解 (1)茎叶图如图：由茎叶图中
22、数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以甲9组同学的成绩差异较大(也可通过计算方差说明， s 1016， s 374， s s )2甲 2乙 2甲 2乙(2)设甲组成绩在 90 分以上的三位同学为 A1， A2， A3；乙组成绩在 90 分以上的三位同学为 B1， B2， B3从这 6 位同学中选出 2 位同学，共有 15 个基本事件，列举如下：(A1， A2)，( A1， A3)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， B3)；(A2， A3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A2， B3)；(A3， B1)，( A3， B2)，( A3， B3
23、)；(B1， B2)，( B1， B3)；(B2， B3)其中，从这 6 位同学中选出的 2 位同学不在同一个小组的基本事件有 9 个，所以所求概率 P 915 355(2018江西新余一中第七次模拟)某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按 200 元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 5 次及以上收费比例 1 095 090 085 080该公司从注册的会员中，随机抽取了 100 位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 5 次及以上频
24、数 60 20 10 5 5假设汽车美容一次，公司成本为 150 元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这 100 位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出 8 人，再从这 8 人中抽出 2 人发放纪念品，求抽出的 2 人中恰有 1 人消费两次的概率解 (1)100 位会员中，至少消费两次的会员有 40 位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为 0440100(2)该会员第 1 次消费时，公司获得的利润为 20015050(元)，10第 2 次消费时，公司获得的利润为
25、20009515040(元)，所以，公司获得的平均利润为 45(元)50 402(3)因为 2010554211，所以用分层抽样方法抽出的 8 人中，消费 2 次的有 4 人，分别设为 A1， A2， A3， A4，消费 3 次的有 2 人，分别设为 B1， B2，消费 4 次和 5次及以上的各有 1 人，分别设为 C， D，从中抽出 2 人，抽到 A1的有A1A2， A1A3， A1A4， A1B1， A1B2， A1C， A1D，共 7 种；去掉 A1后，抽到 A2的有 A2A3， A2A4， A2B1， A2B2， A2C， A2D，共 6 种；去掉 A1， A2， A3， A4， B1， B2后，抽到 C 的有： CD，共 1 种，总的抽取方法有765432128 种，其中恰有 1 人消费两次的抽取方法有 444416 种，所以，抽出的 2 人中恰有 1 人消费两次的概率为 1628 4711
