1、1考点测试 58 二项式定理高考概览 高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 ， 分 值 为 5分 ， 中 等 难 度考纲研读会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题一、基础小题1( x y)n的二项展开式中，第 m 项的系数是( )AC BCmn m 1nCC D(1) m1 Cm 1n m 1n答案 D解析 ( x y)n展开式中第 m 项的系数为 C (1) m1 m 1n2若 x3 n的展开式的所有二项式系数之和为 128，则 n( )1xA5 B6 C7 D8答案 C解析 由 2n128 得 n7故选 C3 4的展开式中的常数项为( )(2x1
2、x)A24 B6 C6 D24答案 D解析 二项展开式的通项 Tr1 C (2x)4 r rC 24 r(1) rx42 r，令r4 (1x) r442 r0，即 r2，故常数项为 C 22(1) 224故选 D244若二项式 n的展开式中第 5 项是常数项，则自然数 n 的值可能为( )(x2x)A6 B10 C12 D15答案 C解析 二项式 n的展开式的第 5 项为(x2x)T5C ( )n4 4，故 40，即 n12故选 C4n x (2x) n 425在 x2 5的展开式中 x 的系数为( )1x2A5 B10 C20 D40答案 B解析 Tr1 C x2(5 r)x rC x103
3、 r，令 103 r1，得 r3，故 T4C x10 x，所r5 r5 35以 x 的系数为 10故选 B6 x2 y5的展开式中 x2y3的系数是( )12A20 B4 C5 D20答案 A解析 x2 y5的展开式的通项 Tr1 12C x5 r(2 y)rC 5 r(2) rx5 ryr当 r3 时， x2y3的系数为r512 r5 12C 2(2) 320故选 A35127把(1 x)9的展开式按 x 的升幂排列，若第 m 项的系数最大，则 m 的值为( )A5 B4 C4 或 5 D5 或 6答案 A解析 (1 x)9展开式中第 r1 项的系数为 C (1) r，易知当 r4 时，系数
4、最大，r9即第 5 项系数最大8在(1 x)5(1 x)6(1 x)7(1 x)8的展开式中，含 x3的项的系数是( )A74 B121 C74 D121答案 D解析 展开式中含 x3项的系数为 C (1) 3C (1) 3C (1) 3C (1) 312135 36 37 389设 m 为正整数，( x y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a，( x y)2m1 展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a7 b，则 m( )A8 B7 C6 D5答案 C解析 由已知条件可得Error!因为 13a7 b，所以 13C 7C ，可得：m2 m 12132m2m 1m 2m 112m72m
5、12m2m 1m 2m 112mm 1即得 137 ，解得 m6故选 C2m 1m 110设 aZ，且 0 a15，若 519 a 能被 13 整除，则 a( )A0 B1 C12 D143答案 D解析 51 9 a(521) 9 aC 529C 528C 521 a 被 13 整除余09 19 89a1，结合选项可得 a14 时，51 9 a 能被 13 整除11已知( x2) n的展开式共有 5 项，则展开式中的第 4 项为_(系数部分用数字作答)答案 32 x解析 由展开式共有 5 项可知 n4，所以展开式中的第 4 项为 C x2332 x3412( x2 x1) 10的展开式中 x3
6、的系数为_答案 210解析 解法一：( x2 x1) 10 x2( x1) 10C (x2)10C (x2)9(x1)01 10C (x2)(x1) 9C (x1) 10，所以 x3的系数为C C C (C )210910 10 91089 10 710解法二：( x2 x1) 101( x2 x)10的展开式的通项公式为 Tr1 C (x2 x)r，r10对于( x2 x)r，通项公式为 Tm1 C x2r2 m( x)m，mr令 2r2 m m3，根据 0 m r， r， m 为自然数，求得Error!或Error!( x2 x1) 10展开式中 x3项的系数为C C (1)C C (1)
7、 39012021021012 3103二、高考小题13(2018全国卷) 5的展开式中 x4的系数为( )(x22x)A10 B20 C40 D80答案 C解析 由题可得 Tr1 C (x2)5 r rC 2rx103 r令 103 r4，则 r2，所以r5 (2x) r5C 2rC 2240，故选 Cr5 2514(2017全国卷)1 (1 x)6展开式中 x2的系数为( )1x2A15 B20 C30 D35答案 C解析 因为(1 x)6的通项为 C xr，所以 1 (1 x)6展开式中含 x2的项为 1C x2r61x2 26和 C x41x2 46因为 C C 2C 2 30，所以
8、1 (1 x)6展开式中 x2的系数为 30故26 46 266521 1x2选 C15(2017全国卷)( x y)(2x y)5的展开式中 x3y3的系数为( )4A80 B40 C40 D80答案 C解析 因为 x3y3 x(x2y3)，其系数为C 2240， x3y3 y(x3y2)，其系数为 C352380所以 x3y3的系数为 804040故选 C2516(2018浙江高考)二项式 8的展开式的常数项是_3x12x答案 7解析 8的展开式的通项 Tk1 C x kx k C x ，要使 Tk13x12x k88 k3 12 12kk8 8 4k3为常数，则 0， k2，此时 T3
9、C 7，故展开式的常数项为 78 4k3 122 2817(2018天津高考)在 x 5的展开式中， x2的系数为_12x答案 52解析 由题意得 Tr1 C x5 r r rC x5 r，令 5 2，得 r2，所以r512x 12 r5 32 3r2 rC 2C 故 x2的系数为 12 r5 12 25 52 5218(2017浙江高考)已知多项式( x1) 3(x2) 2 x5 a1x4 a2x3 a3x2 a4x a5，则 a4_， a5_答案 16 4解析 a4是 x 项的系数，由二项式的展开式得 a4C C 2C C 2216； a5是3 12 23 2常数项，由二项式的展开式得 a
10、5C C 2243 2三、模拟小题19(2019山东滨州模拟)(2 x)n的展开式中所有二项式系数和为 64，则 x3的系数为( )A160 B20 C20 D160答案 A解析 由(2 x)n的展开式中所有二项式系数和为 64，得 2n64，即 n6(2 x)6的通项为 Tr1 C 26 r( x)r(1) rC 26 rxr，取 r3，可得 x3的系数为r6 r6(1) 3C 23160故选 A3620(2018山东烟台模拟)已知 x3 n的展开式的各项系数和为 243，则展开式中 x72x的系数为( )A5 B40 C20 D105答案 B解析 由 x3 n的展开式的各项系数和为 243
11、得 3n243，即 n5， x3 n x32x 2x5，则 Tr1 C (x3)5 r r2 rC x154 r，令 154 r7，得 r2，展开式中 x7的2x r5 2x r5系数为 22C 40故选 B2521(2018河南信阳二模)( x21) 2 5的展开式的常数项是( )1xA5 B10 C32 D42答案 D解析 由于 2 5的通项为 C 5 r(2) rC (2) rx ，故1x r5 1x r5 r 52(x21) 2 5的展开式的常数项是 C (2)C (2) 542故选 D1x 15 522(2018山东枣庄二模)若( x2 a)x 10的展开式中 x6的系数为 30，
12、则 a 等于( )1xA B C1 D213 12答案 D解析 x 10展开式的通项公式为 Tr1 C x10 r rC x102 r，令1x r10 1x r10102 r4，解得 r3，所以 x4项的系数为 C ；令 102 r6，解得 r2，所以 x6项的310系数为 C ，所以( x2 a)x 10的展开式中 x6的系数为 C aC 30，解得 a2故选2101x 310 210D23(2018河北邯郸二模)在 x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3x64，则 x3的系数为( )A15 B45 C135 D405答案 C解析 令 x n中 x 为 1，得各项系数和为 4n，
13、又展开式的各项的二项式系数和为3x2n，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64， 64，解得 n6，二项式的展4n2n开式的通项公式为 Tr1 C 3rx6 r，令 6 r3，求得 r2，故展开式中 x3的系r632 32数为 C 32135故选 C2624(2018福州一模)若(1 x x2)6 a0 a1x a2x2 a12x12，则6a2 a4 a12( )A284 B356 C364 D378答案 C解析 令 x0，则 a01；令 x1，则 a0 a1 a2 a123 6；令 x1，则 a0 a1 a2 a121两式左右分别相加，得 2(a0 a2 a12)3 61730，所以a
14、0 a2 a12365，又 a01，所以 a2 a4 a12364故选 C25(2018广东肇庆三模)已知(1 ax)(1 x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a( )A1 B2 C1 D2答案 A解析 解法一：(1 ax)(1 x)5(1 ax)(15 x10 x210 x35 x4 x5)，其展开式中 x2的系数为 105 a5，解得 a1故选 A解法二：展开式中含 x2的项为 C x2( ax)C x10 x25 ax2(105 a)x2，展开式25 15中 x2的系数为 105 a5， a126(2018湖南湘潭三模)若(1 x)(12 x)8 a0 a1x a9x9， xR，则a
15、12 a222 a929的值为( )A2 9 B2 91 C3 9 D3 91答案 D解析 (1 x)(12 x)8 a0 a1x a2x2 a9x9，令 x0，得 a01；令 x2，得a0 a12 a222 a9293 9， a12 a222 a9293 91故选 D27(2018广东广州一模)已知二项式 2x2 n的所有二项式系数之和等于 128，那么1x其展开式中含 项的系数是( )1xA84 B14 C14 D84答案 A解析 由二项式 2x2 n的展开式中所有二项式系数的和是 128，得 2n128，即1xn7，2 x2 n2 x2 7，则 Tr1 C (2x2)7 r r(1) r
16、27 rC x143 r令1x 1x r7 1x r7143 r1，得 r5展开式中含 项的系数是4C 84故选 A1x 5728(2018湖南长沙四县联考) 8的展开式中的有理项共有_项(x 124x)答案 37解析 8的展开式的通项为 Tr1 (x 124x)C ( )8 r r rC x (r0，1，2，8)，为使 Tr1 为有理项， r 必须r8 x ( 124x) ( 12) r816 3r4是 4 的倍数，所以 r0，4，8，故共有 3 个有理项29(2018福州质检)若 n的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该(x1x)展开式中 的系数为_1x2答案 56解析 因
17、为展开式中的第 3 项和第 7 项的二项式系数相等，即 C C ，所以 n8，所2n 6n以展开式的通项为 Tk1 C x8 k kC x82 k，令 82 k2，解得 k5，所以k8 (1x) k8T6C 2，所以 的系数为 C 5658(1x) 1x2 5830(2018甘肃会宁月考)190C 90 2C 90 3C (1)10 210 310k90kC 90 10C 除以 88 的余数是_k10 10答案 1解析 190C 90 2C 90 3C (1) k90kC 90 10C (190)10 210 310 k10 101089 10(881) 1088 10C 889C 881前 10 项均能被 88 整除，余数是10 9101本考点在近三年高考中未涉及此题型8
